2023年湖南省衡阳市中考数学模拟试卷（含解析）

2023年湖南省衡阳市中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在、、、这四个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  某村通过直播带货对产出的稻虾米进行线上销售，连续天的销量单位：袋分别为：，，，，，，，这组数据的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

4.  某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是(    )

A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 四棱柱

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  不等式组的解集在数轴上可表示为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，与位似，点为位似中心，相似比为：若的周长为，则的周长是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，依据尺规作图的痕迹，计算的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  我国古代数学著作孙子算经中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，内接于，是的直径若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，连接，下列结论错误的是(    )

A.
B.
C.  的面积是
D. 点在上，当时，
 

12.  中国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时，用个全等的直角三角形拼成正方形如图，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为，为直角三角形中的一个锐角，则(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  因式分解：______．

14.  年月日，编号为的大飞机首飞成功．数据显示，大飞机的单价约为元，数据用科学记数法表示为______．

15.  已知关于的方程有一个根为，则另一个根为______ ．

16.  一个圆锥高为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为______．

17.  今年月日是第个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占、“语言表达”占、“形象风度”占、“整体效果”占进行计算，小芳这四项的得分依次为，，，，则她的最后得分是______分．

18.  农夫将苹果树种在正方形的果园内．为了保护苹果树不怕风吹，他在苹果树的周围种针叶树．在下图里，你可以看到农夫所种植苹果树的列数和苹果树数量及针叶树数量的规律：当为某一个数值时，苹果树数量会等于针叶树数量，则为______．

 

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
如图：▱中，、为对角线上两点且求证：≌．

21.  本小题分
如图是长沙九龙仓国际金融中心，位于长沙市黄兴路与解放路交会处的东北角，投资亿元人民币，总建筑面积达万平方米，中心主楼高，是目前湖南省第一高楼，大楼顶部有一发射塔，已知和处于同一水平面上有一高楼，在楼底端点测得的仰角为，，在顶端点测得的仰角为，

求两楼之间的距离；
求发射塔的高度．

22.  本小题分
某校为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级名学生每天的自主学习情况，该校领导随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图图，图，请根据统计图中的信息回答下列问题：
本次调查的学生人数是        人；
扇形统计图中“自主学习时间为小时”的扇形的圆心角的度数是        ；
请估算，该校九年级自主学习时间不少于小时的学生有多少人？
老师想从学习效果较好的位同学分别记为、、，其中为小华随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小华的概率．

 

23.  本小题分
为打造校园劳动实践基地，某学校计划在月份购进甲、乙两种植株进行培育已知甲植株的单价是乙植株单价的，用元购买的甲植株数量比用元购买的乙植株数量多株．
求甲、乙植株的单价分别是多少元．
该学校决定购买甲、乙两种植株共株，其中乙植株的数量不超过甲植株数量的，如何购进两种植株才能使费用最低，最低费用是多少？

24.  本小题分
如图，以边为直径的经过点，是上一点，连结交于点，且，．
试判断与的位置关系，并说明理由；
若点是弧的中点，已知，求的值．

25.  本小题分
如图，四边形中，，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动过点作于点，连接交于点，连接，设运动时间为秒．

连接、， ______ ， ______ ，用含的代数式表达，当 ______ 时，四边形为平行四边形；
将沿翻折，得到在运动过程中，是否存在某时刻，使四边形为菱形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
设四边形的面积为，求与的函数关系式；是否存在某一时刻，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

26.  本小题分
如图，、是平面直角坐标系中两点，其中为常数，且，为轴上一动点，以为边在轴上方作矩形，使，画射线，把绕点逆时针旋转得，连接，抛物线过、两点．
填空：______，用表示点的坐标：______；
当抛物线的顶点为，抛物线与线段交于点，且时，与是否相似？说明理由；
若与原点重合，抛物线与射线的另一个交点为，过作垂直轴，垂足为：
求、、满足的关系式；
当为定值，抛物线与四边形有公共点，线段的最大值为，请你探究的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
最小的数是，
故选：．
根据负数小于，正数大于比较实数的大小即可得出答案．
本题考查了实数大小比较，掌握负数小于，正数大于是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形，关键是掌握好轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为，，，，，，，
这组数据出现次数最多的是，
所以众数为，
最中间的数据是，
所以中位数是，
故选：．
根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项，圆柱的底面是圆，故该选项不符合题意；
选项，圆锥的底面是圆，故该选项不符合题意；
选项，三棱柱的底面是三角形，侧面是三个长方形，故该选项符合题意；
选项，四棱柱的底面是四边形，故该选项不符合题意；
故选：．
根据常见立体图形的底面和侧面即可得出答案．
本题考查了几何体的展开图，掌握棱柱的底面是边形是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用二次根式的加法的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，二次根式的加法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

6.【答案】 

【解析】解：，由得，，由得，，
故不等式组的解集为：．
在数轴上表示为：
．
故选：．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：与位似，相似比为：．
：：，
的周长为，
的周长是，
故选：．
根据位似图形是相似图形，相似三角形的周长比等于相似比，可以求得的周长．
本题考查位似变换，解答本题的关键是明确相似三角形的周长比等于相似比．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
．
由作法可知，是的平分线，
．
由作法可知，是线段的垂直平分线，
，
，
．
故选：．
先根据矩形的性质得出，故可得出的度数，由角平分线的定义求出的度数，再由是线段的垂直平分线得出的度数，根据三角形内角和定理得出的度数，进而可得出结论．
本题考查的是作图基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设城中有户人家，利用鹿的数量城中人家户数城中人家户数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】
解：设城中有户人家，
依题意得：，
解得：，
所以城中有户人家．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故选：．
连接，由是的直径，得，又，可得，而，故是等腰直角三角形，即可求出答案．
本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握圆周角定理和等腰直角三角形三边的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象交于点，
，故A正确，不符合题意；
，
把代入得：
，
解得，故B正确，不符合题意；
轴，，
 的面积是，故C正确，不符合题意；
当时，中，随的增大而减小，
时，，故D错误，符合题意，
故选：．
由反比例函数的图象交于点，可得，判断A正确；把代入，判定B正确；由反比例函数中的几何意义可判断C正确；根据的增减性可D错误．
本题考查反比例函数，一次函数的交点问题，解题的关键是掌握函数图象上点坐标的特征，求出和的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：由已知可得，
大正方形的面积为，
设直角三角形的长直角边为，短直角边为，
则，，
解得，或，不合题意，舍去，
，
故选：．
根据题意和题目中的数据，可以先求出大正方形的面积，然后设出小直角三角形的两条直角边，再根据勾股定理和两直角边的关系可求得直角三角形的两条直角边的长，然后即可求得的值．
本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是求出直角三角形的两条直角边长．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
原式提取公因式进行因式分解即可．
本题主要考查了因式分解提公因式法，找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留把家守；提负要变号，变形看奇偶．
 

14.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用科学记数法的定义解决．
考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．
 

15.【答案】 

【解析】解：设方程的另一个根为，
则，
解得：，
故答案为：．
根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：这个圆锥的底面圆的半径，
所以这个圆锥的侧面积．
故答案为：．
先利用勾股定理计算出这个圆锥的底面圆的半径，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

17.【答案】 

【解析】解：她的最后得分是分，
故答案为：．
根据加权平均数的定义列式计算可得．
本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：第个图形中苹果树的棵树是，针叶树的棵树是，
第个图形中苹果树的棵树是，针叶树的棵树是，
第个图形中苹果树的棵树是，针叶树的棵树是，
第个图形中苹果树的棵树是，针叶树的棵树是，
，
所以，第个图形中苹果树的棵树是，针叶树的棵树是，
苹果树的棵数与针叶树的棵数相等，
，
解得舍去，．
故答案为：．
观察图形不难发现，苹果树的棵树为相应序号的平方，再求出各个图形中针叶树的棵树，并找出规律写出第个图形中的棵树的表达式，然后列出方程求解即可．
本题是对图形变化规律的考查，仔细观察图形，写出苹果树与针叶树的棵树的变化规律并写出第个图形中的表达式是解题的关键．
 

19.【答案】解：



． 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

20.【答案】证明：，
，
即，
▱中，，，
，
≌． 

【解析】首先可以得到，然后利用平行四边形性质可以得到，，接着利用平行线的性质可以得到，组利用全等三角形的判定方法即可证明题目结论．
本题主要考查了平行四边形的性质，同时也考查了三角形全等的判定，解题的关键是利用平行四边形的性质得到全等三角形的全等条件．
 

21.【答案】解：过点作于点，

，，
，
由矩形的性质可知：，
故两楼之间的距离为；
在中，
，
，
，
故发射塔的高度为． 

【解析】过点作于点，由于，，所以，由矩形的性质可知：．
根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
 

22.【答案】解：；
；
该校九年级自主学习时间不少于小时的学生有人，
答：九年级自主学习时间不少于小时的学生有人；
列表如下：

由列表可得，共有种等可能的结果，选中小华的有种，
． 

【解析】

【分析】
由小时人数及其所占百分比可得总人数；
减去其他三个时间段的百分比即为自主学习时间为小时的百分比，再乘以即可；
总人数乘以样本中小时、小时所占百分比之和可得答案；
列表得出所有等可能结果和选中小华的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，用到的知识点是用样本估计总体、频数、频率、总数之间的关系等，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
【解答】
解：本次调查的学生人数是人，
故答案为：；
小时人数所占百分比为，
“自主学习时间为小时”的扇形的圆心角的度数是，
故答案为：；
见答案；
见答案．  

23.【答案】解：设乙植株单价是元，则甲植株单价为元，
由题意可得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：甲植株的单价是元，乙植株的单价是元；
设购买甲植株棵，则购买乙植株棵，总费用为元，
由题意可得：，
随的增大而增大，
乙植株的数量不超过甲植株数量的，
，
解得，
当时，取得最小值，此时，，
答：购买甲植株棵，购买乙植株棵时，总费用最低，最低费用为元． 

【解析】根据甲植株的单价是乙植株单价的，用元购买的甲植株数量比用元购买的乙植株数量多株，可以列出相应的分式方程，然后求解，注意分式方程要检验；
根据题意，可以写出费用与购买甲种植株数量的函数解析式，然后根据一次函数的性质求最值即可．
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一元一次不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
 

24.【答案】解：如图，是的切线．
证明如下：
连结，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．

连结，
是的直径，
，
又为弧的中点，
，
，．
，，
∽，
，
． 

【解析】连结，根据圆周角定理可得，然后计算出和的度数，进而可得，从而证明是的切线；
连结，首先求出，然后可得长，再证明∽，进而可得，然后可得的值．
此题主要考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，关键是掌握切线的判定定理和相似三角形的判定与性质定理．
 

25.【答案】     

【解析】解：根据题意可得，，
，
，
四边形为平行四边形，，
，
解得：，
当时，四边形为平行四边形；
故答案为：，，；
存在．
理由如下：将沿翻折得，
，，
当时，四边形为菱形，
，
解得，
，四边形为菱形；
设，则，
，
∽，
，
，
，


，
函数解析式为；
存在某一时刻，使四边形的面积与的面积相等，理由如下：
根据题意知：，
整理，得：，
解得舍去，；
所以时，四边形的面积与的面积相等．
由，知，从而得，根据四边形为平行四边形知，据此列出方程求解可得；
由沿翻折得，知，，据此得时有四边形为菱形，从而列出关于的方程，解之可得．
设，则，由知∽，据此得，即，从而求出，再根据可得函数解析式；根据题意知，解之求出的值即可．
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握平行四边形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理及翻折变换的性质．
 

26.【答案】  ； 
∽，理由如下：
由已知得：，，
，
，
为抛物线的顶点，
设抛物线的对称轴为直线，即点和点是关于对称轴对称的点，
抛物线过点，
，
：：：，
，
∽；
当点与点重合时，，
抛物线过点，，
，
整理得：，即；
抛物线与四边形有公共点，
抛物线过点时的开口最大，过点时的开口最小，
若抛物线过点，此时的最大值为，
，
整理得：，即抛物线解析式为，
由，可得直线解析式为，
联立抛物线与直线解析式得：，
解得：，，即，
令，即，
当时，；
若抛物线过点，则，
解得：，
，
，
则抛物线与四边形有公共点时的范围为． 

【解析】

解：，，，，即，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
由旋转的性质得：，即，，
，
；
故答案为：；，；
见答案；
见答案．
【分析】
由与的坐标求出与的长，根据表示出的长，由题意，表示出，得到，即三角形为等腰直角三角形，即可求出所求角的度数；由旋转的性质得：，即可确定出坐标；
∽，理由如下：根据题意表示出与的坐标，由，表示出点坐标，由抛物线的顶点为，可知点和点关于对称轴对称，得到与的关系式，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证；
当与原点重合时，把与坐标代入，整理即可得到，，的关系式；
抛物线与四边形有公共点，可得出抛物线过点时的开口最大，过点时的开口最小，分两种情况考虑：若抛物线过点，此时的最大值为，求出此时的值；若抛物线过点，求出此时的值，即可确定出抛物线与四边形有公共点时的范围．
此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定与性质，直线与抛物线的交点，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．