河南许昌市襄城县苏豫学校等2025-2026学年高三下学期仿真模拟考试数学试题（Word版附解析）

这是一份河南许昌市襄城县苏豫学校等2025-2026学年高三下学期仿真模拟考试数学试题（Word版附解析），共6页。试卷主要包含了 等差数列的前项和为，，，则， 函数， 如图，双曲线等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，，（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数值域和解一元二次不等式，结合交集运算即可.
【详解】由题意得：，，
所以.
2. 若复数满足，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算求出复数z，再根据复数模的计算公式，即得答案.
【详解】由，得，
所以.
3. 已知正态分布，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
详解】由正态分布满足，则，
所以.
4. 直线与圆：交于，两点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式，结合余弦二倍角公式可得.
【详解】圆：圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离，
设，则，
由余弦的二倍角公式得：.
5. 已知，，在上的投影向量的坐标为，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【详解】，得，即，解得.
6. 等差数列的前项和为，，，则（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先利用关系式，化简求得，进而用求和公式化简求得结果.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，显然.
由题意得：，
解得：.
，
显然，解得.
7. 函数（，），若在上恒成立，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由题意结合导数计算可得与有公共零点，再结合韦达定理与对数运算性质计算即可得解.
【详解】令，则，
则当时，，当，，
则在上单调递减，在上单调递增，
又，当时，，当时，，
故有两个零点、；
由在上恒成立，
则时，需，时，需，
又在上单调递减，在上单调递增，
则当、为与的公共零点时，有在上恒成立，
则有，且有，
则.
故选：C.
8. 如图，双曲线（，）的左、右顶点分别为，，右焦点为，点是双曲线右支上异于点的任意一点，直线与直线的交点为，并且双曲线右支上任意一点与右焦点的距离和点到直线的距离的比等于离心率，若，则双曲线的离心率为（）
A. B. 2C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】结合双曲线的第二定义、相似三角形、角平分线定理，通过线段比例关系推导几何性质，最终建立关于离心率的方程求解.
【详解】因为，即，
可得，.
设点到直线距离为，则，
过作准线的垂线，垂足为；过作准线的垂线，垂足为，
，，因此，可得，所以由相似三角形性质：，
，，
所以，即为的角平分线，所以，
所以，
即直线为线段的中垂线，所以，即，
即，解得.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. 若，则D. 存在，使得
【答案】ABC
【解析】
【分析】由二项分布的概率计算公式计算可判断AB；由二项分布的期望计算公式计算可判断C；由二项分布的方差计算公式计算可判断D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，，
若，则，即，
因为，，
所以，解得，故B正确；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，，
当且仅当时，有最大值为，故D错误.
故选：ABC
10. 函数（，，）的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为B.
C. 函数为偶函数D. 在区间上，函数存在8个零点
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用图象可知，可判断AB，化简，根据余弦函数性质可判断C；令，计算可判断D.
【详解】对于A，易得，设最小正周期为，，
得，，A选项错误；
对于B，将代入，（），
解得（），由于，所以，B选项正确；
对于C，因为
所以，
函数的定义域为R，满足，故为偶函数，C选项正确；
对于D，令（），解得（），
令，解得，，
故可取到8个整数值，即函数存在8个零点，选项正确，
11. 在平面直角坐标系中，动点满足到两个定点，距离的倒数和是一个定值，即，称动点的轨迹为“曲线”.下列说法正确的是（ ）
A. “曲线”至少有两条对称轴
B. 若“曲线”与轴有交点，则的最小值为2
C. “2025曲线”在圆的外部
D. 若“曲线”没有点在椭圆的内部，则的最大值为1
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定条件，求出“曲线”的方程，再利用对称性、不等式性质及椭圆定义逐项分析判断.
【详解】设，则“曲线”的方程为：，
对于A，将点，分别代入“曲线”的方程，方程成立，
因此“曲线”关于轴，轴均对称，A正确；
对于B，若“曲线”与轴有交点，则，，B错误；
对于C，由“2025曲线”，即，得，即，
则“2025曲线”在以点为圆心，为半径的圆外，C正确；
对于D，设“曲线”与轴正半轴的交点坐标为，得，
若，当时，解得，
此交点在椭圆内部，不符合题意，于是，
，
则，而，为椭圆两个焦点，
又点不在椭圆的内部，则恒成立，即，因此，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若（）的展开式中存在常数项，则的最小值为______.
【答案】5
【解析】
【详解】展开式的通项为：，
令，得，因为，所以当时，取得最小值5.
13. 袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中3个红球，2个蓝球.每次从中不放回地摸取一个小球，直至将某种颜色的小球全部取出.则摸球结束时摸出3个小球的概率为______.
【答案】##0.3
【解析】
【详解】摸出的3个小球有三种情况：依次为红红红、蓝红蓝、红蓝蓝，
则概率为.
14. 空间向量四点共面定理：已知，，为空间中的一组基底，空间中任一向量（，，），若，，，四点共面，则.如图所示，正方体的棱长为2，点，分别为，的中点，则三棱锥的体积为______.
【答案】##
【解析】
【分析】连接交平面于点，利用给定结论及空间向量基本定理可得，再利用三棱锥的体积求解即可.
【详解】
连接，与平面交于点，
设，则有，
由于，，三点共线，设，
另一方面，易得，
显然，，
可得，即，
所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知函数（，，）在处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）分析函数的单调性.
【答案】（1）2 （2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义结合切线方程建立关于的方程求解即可；（2）求出函数的导数，分类讨论，判断导数正负，即可求得答案.
【小问1详解】
函数的定义域为，，
由题意得：，解得：，所以.
【小问2详解】
由（1）得：，
①当时，即，在区间上恒成立，
函数在区间上单调递增；
②当时，若，，函数在区间上单调递增；
若，，函数在区间上单调递减.
16. 已知等比数列的前项和为，对任意，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件结合等比数列性质可确定等比数列公比，进而求出，即可求得答案；
（2）结合（1）的结论可得的表达式，利用裂项相消求和法，即可求得答案.
【小问1详解】
当时，，
当时， ①， ②，
①－②得，即，
由于数列为等比数列，则等比数列公比，所以，
即得，解得，
所以数列是首项，公比的等比数列，通项公式为；
【小问2详解】
，
.
17. 如图所示，一大一小的两圆方程为：和，点为小圆上的任意一点（不在轴上），点，过点作的垂线与大圆交于，两点，点，分别在线段，上，以，为圆心，，为半径的圆均与大圆内切.设圆，圆的半径分别为，（）.
（1）求的最大值；
（2）证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设，通过正弦定理求解即可.
（2）由大圆和圆内切，得到，再由余弦定理求解即可.
【小问1详解】
设，在中，，，
由正弦定理得：，即，
易得，则，所以，
当且仅当时，取得最大值.
【小问2详解】
在中，，，，
因为大圆和圆内切，所以，
由余弦定理得：，
解得： ①，
同理可得： ②，
由①②可得：，即.
18. 如图，在三棱锥中，等边三角形的边长为2，，，点为的中点，设二面角，的平面角分别为，.
（1）证明：；
（2）当时，求平面与平面夹角的余弦值；
（3）若，求的最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理得到平面，利用线面垂直的定义得到；
（2）利用空间向量法求解，求出平面的法向量和平面的法向量，设平面与平面的夹角为，利用向量的数量积求出计算即可得到所求；
（3）利用线面垂直的定义由平面得到，利用线面垂直的判定定理得到平面，利用线面垂直的定义得到.过点作，利用线面垂直的判定定理得到平面，从而利用线面垂直的定义得到.利用二面角的定义得到，用表示，，，，，从而得到，由得到，将其代入，从而得到的最小值.
【小问1详解】
设的中点为，连接，，
因为为等边三角形，为的中点，则，
又因为，，分别为，的中点，
，所以，平面，
则平面，平面，所以；
【小问2详解】
过点作平面的垂线，建立如图所示空间直角坐标系，
过点作，垂足为，
由（1）得，，易得，，
则，，，
取平面的法向量，设平面的法向量，
，，
，即，解得：，
设平面与平面的夹角为，
则；
【小问3详解】
由（1）得，平面，平面，则，结合，
平面，所以平面，平面，故.
过点作，垂足为，平面，
所以平面，，则.
，，，
，，
，
因为，即，
所以，当且仅当时，等号成立，
综上所述，的最小值为.
19. 如图，过点的直线与抛物线（）交于，两点，，直线，分别与抛物线的准线交于点，.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过抛物线的焦点作直线，的垂线，垂足分别为，，证明：直线过定点；
（3）是否存在经过点，的圆，与轴的两个交点的横坐标均为整数？若存在，求出这两个交点坐标，若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）存在，两交点坐标和或和
【解析】
【分析】（1）设直线的方程为：，联立方程，利用，即可求出，
（2）写出直线和直线的方程，求出点和点坐标，最后写出直线的方程，化简即可，
（3）设圆方程为：和设圆与轴的两个交点分别为，，将问题转化为，为一元二次方程的两根即可求出.
【小问1详解】
设直线的方程为：，联立方程：，得：，
设，，则有：，，
，解得：，
所以抛物线的标准方程为：；
【小问2详解】
焦点，直线的方程：，
则直线的方程为：，联立方程：，
解得，同理得：，
当直线斜率不存在时，即点与点重合，不符合题意，
设直线的斜率为，
，
则直线的方程为
，所以直线过定点；
【小问3详解】
易得：，，
假设满足条件的圆存在，设其方程为：
（），
将，代入得：，
并化简得：，
设圆与轴的两个交点分别为，，
则有，，
显然，为一元二次方程的两根，
则有，，即，，
由于均为整数，所以或，