河南许昌市襄城县第三高级中学等校2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题

这是一份河南许昌市襄城县第三高级中学等校2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.x−125的展开式中x2的系数为( )
A. 52B. −52C. 54D. −54
2.已知直线y=12x是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线，则C的离心率为( )
A. 62B. 52C. 32D. 54
3.已知an是等比数列，且a6=6,a9=9，则a3=( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
4.已知函数fx=x3+x，则limΔx→0f(1−Δx)−f(1)2Δx=( )
A. 4B. −4C. 2D. −2
5.已知数列an的通项公式为an=n−23n−19，前n项和为Sn，当Sn取得最小值时，n=( )
A. 1B. 2C. 6D. 7
6.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点A1,4在C上，P是C上的动点，Q−4,y0为直线l:x=−4上一定点，P到l的距离为d，若d+PQ取得最小值时点P与A重合，则y0=( )
A. 163B. 323C. 12D. 24
7.若数列an满足a1=2,a2=1，且an+an+2anan+2=2an+1，则i=1naiai+1=( )
A. 4n2+nB. 4n+4nC. 4nn+1D. 2nn+1
8.若当x>0时，ex−a+ax>0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. −∞,−1∪0,+∞B. −1,+∞
C. −∞,−e2∪−1,+∞D. −e2,+∞
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导正确的是( )
A. 若fx= x，则f'x=12 x
B. 若fx=lg2x，则f'x=12lnx
C. 若fx=sin2x，则f'x=cs2x
D. 若fx=sinx+csxsinx，则f'x=−1sin2x
10.已知an是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，则下列说法正确的是( )
A. 若a3+a7=0，则S5=S4
B. 若d0，点F1−a,0,F2a,0，我们把满足PF1⋅PF2=a2的点P的轨迹称为双纽线，如图所示，设Px,y，则y的最大值为 ，x2+y2的最大值为 .(两空均用字母a表示)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
证明：
(1)An+1n+1−Ann=n2An−1n−1；
(2)Cn+1m=Cnm+Cnm−1．
16.(本小题15分)
已知等差数列an的前n项和为Sn，且S58=a2=5．
(1)求an及Sn；
(2)若数列a1,a3,ak1,ak2,ak3,⋯,akn,⋯是等比数列，求kn．
17.(本小题15分)
如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点P在棱DD1上．
(1)证明：BP⊥AC；
(2)求A1P2+BP2的最小值及A1P2+BP2取最小值时平面A1BP与平面B1CD1夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0经过点M2,0,N1,32．
(1)求C的方程；
(2)过点P0,2且斜率为k的直线与C交于A，B两点．
(ⅰ)若k=1，求▵AMB的面积；
(ⅱ)若直线AB外的点Gm,0满足∠GAB=∠GBA，求实数m的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数fnx=xn+1−2x+1n∈N∗．
(1)若f2x在区间a,a+1上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)讨论fnx在0,+∞上的零点个数；
(3)若当n≥2时，fnx在0,+∞上的所有零点之积为cn，证明：cn+112，
x1+x2=−16k4k2+3,x1x2=44k2+3，
(ⅰ)当k=1时，|AB|= 1+k2|x1−x2|= 2 (x1+x2)2−4x1x2
= 2× −1672−4×47=12 27，
又点M到直线AB的距离d=|2k+2| k2+1=4 2=2 2，
所以▵AMB的面积S=12d⋅|AB|=12×2 2×12 27=247.
(ⅱ)由题意知k≠0．
因为∠GAB=∠GBA，所以GA=GB．
取AB的中点Qx0,y0，连接GQ，
则GQ⊥AB，x0=x1+x22=−8k4k2+3，y0=kx0+2=64k2+3.
因为kGQ⋅k=−1，
所以k=−1kGQ=−x0−my0=−−8k4k2+3−m64k2+3，
整理得m=−2k4k2+3=−24k+3k，
当k>12时，4k+3k≥2 4k×3k=4 3，当且仅当k= 32时取等号，所以− 36≤m