福建省同安第一中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（含答案解析）

这是一份福建省同安第一中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（含答案解析），共15页。试卷主要包含了解答题，填空题，多选题，单选题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题
1. 已知椭圆经过点，左、右焦点分别为，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的左顶点为，下顶点为，是椭圆在第一象限上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点.
（ⅰ）求证：四边形的面积为定值；
（ⅱ）求面积的最大值.
2. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若为棱上一点，满足，求平面与平面夹角的正弦值.
3. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为3.
(1)求的方程；
(2)已知点，不垂直于轴的直线与抛物线交于两点，若直线关于轴对称，求证：直线过定点并写出定点坐标.
4. 设正项数列的前项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前项和，求证：
5. 已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的增区间和极小值.
二、填空题
6. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支和右支分别交于，两点，设、分别为、的内切圆半径，则内切圆圆心的横坐标为_______________；、的内切圆半径比值_______________.
7. 已知点在直线：上，过作圆：的两条切线，切点为，，则的最大值为___________________.
8. 已知数列中，，，前n项和为，若，则______ .
三、多选题
9. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线，下部分曲线构成，曲线的一个焦点为，是“心形”曲线上的动点，下列说法正确的是（ ）
10. 如图，圆锥的轴截面是一个等边三角形，且侧面积为，为底面的一条直径，点是母线上靠近的三等分点，点为上的动点，则（ ）
11. 为等比数列的前项和，为的公比（），，，则（ ）
四、单选题
12. 若直线与圆相切，则下列说法错误的是（ ）
13. 如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为米，塔底的直径为米，塔顶直径为米，最小直径处距塔底的垂直距离米，则该冷却塔的垂直高度约为（其中）（ ）
14. 圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
15. 在数列中，，若数列是公差为2的等差数列，则（ ）
16. 已知，设椭圆与双曲线的离心率分别为.若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
17. 已知平面的一个法向量，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（ ）
18. 已知递增的等比数列满足，，则的公比（ ）
19. 已知，则 （ ）
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．曲线的方程为
B．的最大值为
C．若直线与曲线有2个交点，则的取值范围为
D．曲线上的点到直线的距离的最小值是
A．无论点运动到上哪一点，都不能使平面
B．三棱锥的体积与圆锥的体积的最大比值为
C．若点为的中点时，直线，所成角的余弦值为
D．若点为的中点时，点到平面的距离为
A．
B．是和的等差中项
C．
D．
A．
B．数列为等差数列
C．圆可能经过坐标原点
D．数列的前10项和为23
A．米
B．米
C．米
D．米
A．
B．
C．
D．
A．36
B．32
C．20
D．16
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．6
B．3
C．2
D．
A．1
B．
C．
D．