2026年春初三数学中考专题复习练习：三角函数（含解答）

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1．为了加强海上巡航检查能力，某海警船甲、乙在如图所示的海域进行航行检查训练．为同一平面内的四座小岛．岛位于岛正西方向，岛位于岛北偏西方向海里处，岛位于岛的正北方向，岛位于岛北偏西方向（参考数据：，）．
(1)求小岛间的距离（结果精确到海里）；
(2)甲、乙两海警船同时从岛出发前往岛进行巡航检查训练，甲海警船沿航行，乙海警船沿航行，甲海警船的速度与乙海警船的速度之比为．两海警船同时到达岛处，求小岛间的距离（结果保留小数点后一位）．
【答案】(1)小岛间的距离为海里；
(2)小岛间的距离为海里．
【分析】本题主要考查勾股定理中方位角的应用、所对的直角边等于斜边的一半、解一元二次方程等，能够理解方位角的角度进行应用时解决本题的关键．
（1）先过点作交于点，通过方位角，得出各个角的角度，再用所对的直角边等于斜边的一半求出边的关系，最后用勾股定理求解即可．
（2）过点作交于点，通过方位角，得出各个角的角度，再用所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理结合求出边，然后用速度比求出路程比，最后用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：过点作交于点，
∵岛位于岛正西方向，岛位于岛的正北方向，
∴．
∵岛位于岛北偏西方向海里处，
∴，．
∴，
∵，
∴．
∵中，，，
∴，，
∴．
∵岛位于岛北偏西方向，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵，，，
∴，
解得，
∴，
将，代入得：
．
答：小岛间的距离为海里．
（2）解：过点作交于点，
∵岛位于岛正西方向，岛位于岛的正北方向，
∴．
∵岛位于岛北偏西方向海里处，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∵中，，，
∴，
∴ ．
∵甲海警船的速度与乙海警船的速度之比为．两海警船同时到达岛处，
设甲海警船的速度为，乙海警船的速度为，时间，
∴甲海警船的路程为，乙海警船的路程为．
∵，
∴甲海警船的航行路程与乙海警船的航行路程之比也为，
∴设，，
∴，．
∵中，，，，，
∴根据勾股定理：，
，
解得（舍），．
∴．
答：小岛间的距离为海里．
2．某中学组织学生进行研学活动．如图，学生到达基地大门处后按组分两条线路进行参观体验，最后前往宣讲中心处集合．经勘测，处在处的正北方，手工制作区在处的南偏西方向且距离处400米处，农耕体验区在处的正西方，农耕体验区也在处的正南方600米处，户外拓展区在处的南偏东方向，户外拓展区也在处的北偏东方向．（参考数据：，，）

(1)求户外拓展区与基地大门之间的距离．（结果精确到）
(2)已知第一组学生沿线路①参观体验，在户外拓展区处的活动时间为40分钟，第二组学生沿线路②参观体验，在农耕体验区处的活动时间为25分钟，在手工制作区处的活动时间为20分钟，若两组学生步行的平均速度均为70米/分，请通过计算说明哪一组学生先到达宣讲中心处．
【答案】(1)户外拓展区与基地大门之间的距离约为米
(2)第一组学生先到达宣讲中心处，计算见解析
【分析】此题考查了解直角三角形应用，矩形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键．
（1）过点作于点，过点作于点；求出．证明四边形为矩形，得到，．
则．，则，即可得到答案；
（2）分别求出线路②和线路①的长度，得到答案后比较即可；
【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点；

由题可知：，，，，，
在中，∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴．
在中，∵，
∴．
在中，∵，
∴，，
∴（米）
答：户外拓展区与基地大门之间的距离约为890.7米．
（2）在中，∵，
∴．
由（1）可知：四边形为矩形，
∴，
∴线路②：．
∵，，
∴线路①：．
∴第一组学生共用时：（分钟）
∴第二组学生共用时：（分钟）
∵
∴第一组学生先到达宣讲中心处．
3．周末小明和小亮准备去公园做义务安全员．如图，A，B，C，D，E为同一平面内的五个景点．已知景点C位于景点A的正北方向，景点D位于景点C的南偏东方向且距离C处400米处，景点E位于景点C的正西方向，景点D位于景点A的东北方向，景点B位于景点A的正西方600米处．（参考数据：，，，）
(1)求景点A到景点C的距离（结果用根号表示）；
(2)小明从景点C出发，沿正西方向巡视，小亮从景点B出发，沿正东方向巡视，两人速度相同，当小明到达P处时，小亮刚好到达边上的Q处，此时，P处到景点A的距离与Q处到景点A的距离相等，求的长度（结果保留整数）．
【答案】(1)米
(2)632米
【分析】本题考查勾股定理、矩形的性质：
（1）过作于F，利用勾股定理可得，再求出即可；
（2）设，表示出，在中利用勾股定理求出x．过P作于G，在中，利用勾股定理即可求出．
【详解】（1）解：由题可知，，，
如图，过作于F：
，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即景点A到景点C的距离为米；
（2）解：如图：
设，则，，
由（1）知，
在中，，
则，解得，
∴，
过P作于G，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
即的长度为632米．
4．如图，处位于处正北方向7千米处，处位于处的正东方向，处位于处南偏东方向6千米处，处在处的东北方向．（参考数据：，）
(1)求与之间的距离（结果保留小数点后一位）；
(2)甲，乙两人相约跑步，甲从处出发，沿某方向匀速直线运动，乙从处出发，沿正南方向匀速直线运动．甲的速度是乙的速度的1.5倍，两人同时出发，在上某处相遇．当两人相遇时，乙一共跑了多少千米？（结果保留小数点后一位）
【答案】(1)千米
(2)3.5千米
【分析】（1）如图所示，过点D作于点E，过点C作于点F，解直角三角形求出，，然后求出，证明出四边形是矩形，得到，证明出是等腰直角三角形，得到，进而求解即可；
（2）如图所示，设甲，乙两人在点G处相遇，根据题意得到，设，则，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图所示，过点D作于点E，过点C作于点F，
∵
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形
∴
∵，
∴是等腰直角三角形
∴
∴（千米）；
（2）如图所示，设甲，乙两人在点G处相遇，
∵甲的速度是乙的速度的1.5倍，两人同时出发，
∴甲的路程是乙的路程的1.5倍，
∴
设，则
由（1）得，，
∴，
∵
∴
∴，
，（舍去）．
∴当两人相遇时，乙一共跑了3.5千米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
5．2025年重庆“新年第一跑”活动在渝北区中央公园中央广场举办，活动方开辟出了两条经典路线．如图是两条跑步路线的平面示意图，已知终点在起点的东北方向．路线从起点出发向北偏东的方向先跑过一段山路到达补给点 ，再沿正东方向跑一段步道即可到达终点；路线从起点出发沿北偏东的方向跑过一段山路到达补给点，再沿正北方向的步道跑米即可到达终点C．（参考数据：）
(1)求的长度；（结果精确到米）
(2)某班有两位同学小轩和小鹏参加了跑步活动，小轩选择路线，他的平均速度为米分钟，小鹏选择了路线，他的平均速度为米分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达终点？（结果精确到）
【答案】(1)的长度约为米
(2)小鹏会先到达终点
【分析】本题考查解直角三角形的应用—方位角问题，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）如图，过点D作于点E，在中，求出（米），在中，求出（米），进而求解即可；
（2）如图，过点A作交的延长线于点F，首先得到米，在中，求出米，在中，求出米，得到（米），然后分别求出小轩走路线①需要的时间和小鹏走路线②需要的时间，进而比较求解即可．
【详解】（1）如图，过点D作于点E，
由题意，得，，米
在中，（米）．
在中，（米）
（米）．
答：的长度约为米；
（2）如图，过点A作交的延长线于点F，
由题意，知，
由（1）知米，
在中，米
在中，米，
米
（米）
在中，（米），
小轩走路线①需要的时间为：（分钟）．
小鹏走路线②需要的时间为：（分钟）．
，小鹏会先到达终点．
6．“书香润泽心灵，阅读丰富人生”，重庆市少年儿童图书馆焕新亮相于重庆园博园附近．如图，、、、在同一平面内．图书馆在的东北方向上，且在少年宫的北偏西60°方向上，园博园正门在的正南方向千米处，且在少年宫的南偏西方向1千米处．（参考数据：，，）
(1)求图书馆与少年宫之间的距离（结果保留根号）；
(2)小依和小钟相约图书馆阅读，小依从少年宫出发，沿着方向匀速运动，同时小钟从园博园正门出发，沿北偏东某方向匀速直线运动，两人在上某处相遇后再一起前往图书馆．已知小钟速度为小依速度的倍，求两人的相遇点距目的地的距离．（结果保留小数点后两位）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用；
（1）如图，过作于，过作于，过作于，由题意可得，，，，，即可得到，，，，设，则，，根据，解得，最后根据求解即可；
（2）设两人在上的点相遇后再一起前往图书馆，过作于，过作于，设小依运动路程，则小钟运动路程，在中，得到，，则，，再根据，列方程解得，最后代入两人的相遇点距目的地的距离计算即可．
【详解】（1）解：如图，过作于，过作于，过作于，则四边形为矩形，
∴，，
由题意可得，，，，，
∴中，，，
∴，，
解得，，
∴，
∵中，，
∴，
设，则，，
∵中，，，
∴，，
解得，
∴；
（2）解：设两人在上的点相遇后再一起前往图书馆，过作于，过作于，则四边形为矩形，
∴，，
设小依运动路程，
∵小钟速度为小依速度的倍，
∴小钟运动路程，
∵中，，，
∴，，
∴，，
中，，
∴，
整理得，
解得，
∵，
∴，
∴两人的相遇点距目的地的距离．
7．如图，在同一平面内，今年国庆，小明和小红两位同学都在某景区游玩，他们决定在游客中心汇合，已知景点位于景点的正北方向，游客中心位于景点的正东方向，景点位于游客中心的西北方向6千米，景点位于点的北偏东方向且在游客中心的正北方向．（参考数据：）
(1)求的长度（结果保留一位小数）；
(2)小明从景点乘坐索道沿着方向前往游客中心，小红从景点乘坐观光车沿着方向前往游客中心，若小明和小红同时出发，索道和观光车均保持匀速行驶，并且索道的速度是观光车速度的倍，上下车和上下索道的时间忽略不计，在运动过程中，当小明位于小红的北偏东时，小红与游客中心的距离是多少？（结果保留一位小数）
【答案】(1)千米
(2)千米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点作于点，则，在中， 可得，在中，可得，即可求解；
（2）设，则，可得，在中，可得，从而得到，在中，可得，可求出，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，
在中，，
，
由题可得，，
在中，
，
千米，
即的长度为千米．
（2）解：如图，由题意，设，则，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
即，
解得：，
∴千米，
即小红与游客中心点的距离是千米．
8．2025年重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）赛事正酣，小陈与爸爸作为忠实球迷，计划从社区球迷广场A出发，前往体育场D观看一场关键比赛．已知社区球迷广场A在体育场D的南偏东方向．出发前两人商定分头行动：爸爸需先前往社区球迷广场A正西方向的球迷用品店B购买助威充气棒，随后从B向正北方向前往D，小陈则先从A沿北偏西方向步行600米到达取球票点C，再从C沿南偏西方向步行至D．（参考数据：，，）
(1)求的长度．（结果保留根号）
(2)若小陈步行的平均速度为100米/分，小陈爸爸步行的平均速度为80米/分，不考虑购买充气棒和取票的时间，请通过计算说明谁先到达体育场D处．（结果精确到0.1）
【答案】(1)米
(2)小陈先到达体育场D处
【分析】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是理解题意；
（1）由题意易得，，作于点H．然后根据三角函数可进行求解；
（2）由（1）可知：，然后可得，进而问题可求解．
，
【详解】（1）解：由图可知：，，
作于点H．如图所示：
在中，，
在中，米，
答：的长度为米．
（2）解：由（1）可知：，
∴．
在中，，
，
分，
分；
∵，
∴小陈先到达体育场D处．
9．如图为某公园平面图，小明沿路线跑步运动，小刚沿路线跑步运动，已知点G位于点A正东方向，点B位于点A正北方向，点C位于点B东北方向，，点D位于点G北偏西方向，点E位于点D北偏西方向，且，已知 米， 米， 米，（参考数据
(1)求的距离．（结果保留到个位）
(2)若小明和小刚同时出发，小明刚开始以速度4米/秒匀速跑步，当跑步到点C时由于体力下降，此时小明速度降为2米/秒继续匀速跑到点E，小刚以速度3米/秒匀速跑步至点E，请通过计算说明他们谁先到达点E．
【答案】(1)的距离为840米
(2)小明先到达点E
【分析】（1）过点C作交于点F，交于点H，交于点I，交于点J，于点K，证明四边形为矩形，四边形为正方形，为等腰直角三角形，设，根据相关性质以及勾股定理求出，，，的长根据，求出x的值，进而得出结果；
（2）利用他们没人所走的距离除以速度得出时间进行比较即可．
【详解】（1）解：如图，过点C作交于点F，交于点H，交于点I，交于点J，于点K，
则四边形为矩形，
设，
点D位于点G北偏西方向，点E位于点D北偏西方向且，
，
，
，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
米，
米，
点C位于点B东北方向，
，
米，
米，
，
解得：，
，
，
米；
（2）由（1）可知米，
小明走到E点所用时间为秒，
小刚走到E点所用时间为秒，
，
小明先到达点E．
【点睛】本题考查了方位角，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的计算，等腰三角形的判定与性质，有理数混合运算的应用，准确作出辅助线，求出相关边长是解题关键．
10．某景区使用无人机对观光热气球进行航拍．如图，A，B，C，D位于同一平面，B在A的正东方向2千米处，C在B的南偏东方向，且在A的南偏东方向，D在C的正西方向，且在A的南偏西方向．某一时刻，位于A的航拍无人机需要沿着的路线前往C处进行拍摄．（参考数据：，，）
(1)求的长度（结果保留根号）；
(2)航拍无人机从A出发的同时，观光热气球从B出发沿着飞往C处继续游览，无人机的速度是热气球速度的3倍．无人机的镜头仅在与热气球的直线距离不超过1千米时，能够保障清晰拍摄．请问热气球飞离B处多少千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球（结果保留一位小数）？
【答案】(1)
(2)1.6千米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用等，熟练掌握相关知识点，利用辅助线构建直角三角形是解题的关键．
（1）过B作于点E，则，解求出，即可解答；
（2）由题意可知，无人机在上飞行时，距气球超过1千米不能清晰拍摄，则令其距离恰好为1千米进行计算，设无人机在上的M处，距气球N刚好1千米，即，过N作于点K，设，则，利用解直角三角形和线段的和差，表示出，再利用勾股定理建立方程，即可得解．
【详解】（1）解：由题可知，千米，，，
则中，，
∴，千米，
如图，过B作于点E，则，
在中，（千米），
∴（千米），
答：的长度为千米；
（2）解：由题意可知，无人机在上飞行时，距气球超过1千米不能清晰拍摄，
如图，设无人机在上的M处，距气球N刚好1千米，即，过N作于点K，则，
设，
∵无人机的速度是热气球速度的3倍
∴，
∵B在A的正东方向，D在C的正西方向，即，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
在中，，
∴，，
∴，
在中，，
即
解得，
∵，
∴（千米）；
答：热气球飞离B处1.6千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球．
11．小月和小黄升入大学后，想利用假期来一场说走就走的旅行．如图，，，是四个必打卡的景点，而且沿途的风景也很美丽，该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，也在的南偏西方向，在的北偏东方向．（参考数据：，）
(1)求南环线的长度（结果保留小数点后一位）；
(2)小月选择走北环线，小黄选择走南环线，两人同时从景点出发，小黄在途中发现小月的相机电池落在自己背包里了，于是小黄决定到之后前往与小月汇合，已知小黄的步行速度与小月的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求北环线的长度．（结果保留小数点后一位）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点作于点，可得和的度数，进而求出的度数，再根据解直角三角形求出、、、的长度，从而求得南环线的长度即可；
（2）过点作的延长线于点可得和，设小黄步行速度为，则小月步行速度为，两人步行时间为小时，再根据解直角三角形求出、、的长度，利用小黄和小月两人同时到达景点，则步行时间相等，列出方程，求得和的关系，再利用勾股定理得到，解出的长度，从而得出北环线的长度即可．
【详解】（1）解：过点作于点，如图：
、、
，
，，
，，
，
答：南环线的长度为；
（2）解：过点作的延长线于点，如图所示：
、，
设小黄步行速度为，则小月步行速度为，两人步行时间为小时，
，
、，
，
在中，由勾股定理得，，
由于小黄与小月两人同时到达景点，
则，
整理得，，
，
解得，
因此北环线的长度为
答：北环线的长度为．
【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理、方位角，一元二次方程的应用，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键．
12．第十二届世界城市日在重庆举办，“半山崖线步道”及“嘉陵江滨江路”吸引了众多游客打卡，小玉打卡了半山崖线步道，小雅打卡了嘉陵江滨江路、如图，，，，， 在同一平面内，他们同时从步行出发，约定在处汇合．小玉先从沿南偏东的方向游览千米到达处，然后继续向的北偏东方向游览到达处，最后沿着 的北偏东方向到达处，且小玉在和两地都停留了分钟拍照、小雅先从沿正东方向游览至处并停留分钟拍照，再沿的南偏东方向到达处，恰好在的正北方向 千米处．
(1)求，两地之间的距离（结果保留根号）；
(2)若小玉游览速度为千米时，小雅游览速度为千米时，请问小玉和小雅谁先到达处？通过计算说明（结果保留小数点后一位，参考数据：，）．
【答案】(1)，两地之间的距离为；
(2)小玉先到达 处．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方位角问题，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）过作于点，过作于点，则有四边形是矩形，所以，，在中，，得，在，，从而求解；
（）过作于点，过作于点，延长，交于点，过作于点，则，由题意得，，，则，，所以，由（）得四边形是矩形，，，在，，，则，所以，，在，，然后分别求出小玉所花时间和小雅所花时间，最后比较即可．
【详解】（1）解：如图，过作于点，过作于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
由题意得，，，，，
∴，
∴在中，，
∴，
在，，
∴，两地之间的距离为；
（2）解：如图，过作于点，过作于点，延长，交于点，过作于点，则，
由题意得，，，
则，，
∴，
由（）得四边形是矩形，，，
在，，，
∴，
∴，，
在，，
∴ 小玉所花时间为：
；
小雅所花时间为：
，
∵，
∴小玉先到达 处．
13．如图， 甲、乙两架救援无人机从 点出发沿不同的路线前往点，甲无人机沿路线前往，乙无人机沿路线前往．已知调度中心在的正北方向，、、三点位于同一直线上，位于的北偏东方向，且在 的正东方向，位于的西北方向，且位于的正西方向千米处，位于的正北方向，位于的正东方向且位于的西北方向．（ ，，）
(1)求之间的距离；（结果保留根号）
(2)救援过程中，受地形影响，在调度中心定位两架无人机存在信号盲区，当距离调度中心千米外均为信号盲区，两架无人机速度相同，请通过计算说明甲、乙无人机谁呆在信号盲区的时间更长? （结果保留一位小数）
【答案】(1)千米
(2)甲无人机呆在信号盲区的时间更长．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形．
根据等腰直角三角形的性质可知千米，利用锐角三角函数求出的长度，再利用等腰直角三角形的性质求出的长度；
分别求出甲、乙无人机在信号盲区飞行的路程，根据路程判断．
【详解】（1）解：位于的正西方向，在的正北方向，、、三点位于同一直线上，
位于的正北方向，
，
，
，
千米，
，
，
，
千米，
，
千米，
千米；
（2）解：千米，
甲无人机从飞往处时均有信号，
如下图所示，设千米，
位于的正北方向，位于的正东方向，
，
四边形是矩形，
千米，千米，
则千米，
千米，
甲无人机在信号盲区飞行的路程为千米，
如下图所示，设千米，过点作，，
则，
千米，
千米，
千米，
千米，
千米，
，，
千米，
千米，
同理可得：千米，
千米，
乙无人机在信号盲区的路程是千米；
，
甲无人机呆在信号盲区的时间更长．
14．为提升全民体重管理意识和技能，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点出发，目的地在点的东北方向处点，点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，点在点的东南方向，且在点的南偏西方向．（参考数据：）
(1)求的长度（结果保留根号）；
(2)甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点．
【答案】(1)；
(2)甲先到达点 ．
【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键．
（1）先证明为等腰直角三角形，根据解直角三角形求出，，即可求解；
（2）通过解直角三角形求出长，再分别求出甲，乙到达点的时间，比较即可得出答案．
【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点，如图：
由题意可得：，，，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）解：如图：
在中，，
∴，
∴，
∴甲到达所用的时间为：，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴乙到达所用的时间为：，
∵，
∴甲先到达点．
15．如图，港口在货物集散地的南偏东度方向的海里处，在货物集散地的南偏西度方向上，且位于的正西方向上，小镇位于的西北方向，且在的北偏东度方向上．（参考数据：，，）
(1)求的距离（结果保留小数点后一位）；
(2)现在，货船都停靠在港口，其中货船甲要将集散地的货物运往小镇，货船乙要将集散地的货物运往小镇，已知货船甲的速度是海里每小时，货船乙的速度是海里每小时，两货船同时出发，不计装货时间，请问哪艘货船先到达小镇（结果保留小数点后两位）？
【答案】(1)54.6海里
(2)货船乙先到达
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形，利用三角函数和边长关系进行计算．
（1）过点作，分别在和中，利用三角函数求出、，进而求出的距离；
过点A作，设，分别在和中表示出、，结合的长度求出，再分别计算货船甲、乙的路程和时间，比较时间判断哪艘货船先到达．
【详解】（1）解：过点作于点．构造如图所示，
解：由题意，海里，作。交于点，
在中，，
，
，
，
，，
，
，
又，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的距离为54.6海里．
（2）过点作于点．
由题意，，，设海里，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
，，
，
由（1）得，
，
，
货船乙先到达．
16．国庆假期，小明和小蓝怀着对革命历史的崇敬，从某红色景区入口．开启红色之旅．因参观的景点不同，两人决定各自沿不同路线参观，再到达位于入口A正东方向的景点处汇合．如图为路线平面示意图，小明从入口出发，沿北偏东方向走到达景点，参观24分钟，接着沿东南方向到达景点、小蓝从入口出发，沿北偏东方向到达景点，参观15分钟后，沿南偏西方向到达景点．（参考数据：，，
(1)求入口与景点之间的距离；（结果精确到）
(2)若小明步行的速度为，小蓝步行的速度为，且两人同时出发，请计算并说明小明和小蓝谁先到达景点？（结果精确到）
【答案】(1)
(2)小蓝先到
【分析】该题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，理解题意是解题的关键．
（1）根据题意可得，，，如图，过点作，求出，，再根据勾股定理即可求解．
（2）如图，过点作交的延长线于点，则，根据，求出，从而求出，根据（1）可得，再分别算出小明和小蓝的步行时间，比较即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可得，，，
如图，过点作，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图，过点作交的延长线于点，
则，
∴，
∴，
解得：，
∴，
根据（1）可得，
∴小明步行时间，
小蓝步行时间，
，
∴小蓝先到．
17．如图，四边形是某湿地公园的环湖步道，点，，，在同一平面，经测量，点在点的正西方向，点在点的北偏东方向，点在点的西南方向，点在点的南偏西方向，且、两地相距400米，、长度小于300米（参考数据：，，）
(1)求两地的距离（结果保留根号）；
(2)小王和小李同时出发，小王从点出发沿慢跑，小李从出发沿步行，小王与小李的速度之比为，若他们在点相遇，求的距离（结果保留整数）．
【答案】(1)米
(2)203
【分析】本题考查了解直角三角形中方向角的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
（1）过点作，交的延长线于点，在中求出，，在中得到，从而得到结果；
（2）过点作的平行线，交于点，过点作于点，过点作于点，依题意得，在中求出，在中得到，，在中，由勾股定理列方程即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点，
依题意得：，，
．
．
．
，．
．
．
答：两地的距离为米．
（2）解：∵小王与小李的速度之比为，
．
设，则，
如图，过点作的平行线，交于点，过点作于点，过点作于点，
依题意得，，
，
．
．
．
，．
．
．
，
．
．
．
．
．
．
，．
在中，，
即，解得，
，
．
．
答：的距离为203米．
18．寒假来临，小南和小北相约去湖边划船游玩．小南到达游船起点处时，小北还未到达，小南先乘坐游船出发到处欣赏湖中小岛，再到处停靠2分钟接收游客后继续游湖．小南乘坐游船出发2分钟后，小北才到达并决定沿湖先步行到达正东方向处，再跑步去游船停靠点处和小南汇合．已知在北偏东30°方向上且米，在北偏东60°方向上，且在的西北方向180米处．
(1)求游船起点处与处的距离（结果保留根号）；
(2)游船的平均速度为30米/分，小北的步行速度为60米/分，跑步速度为150米/分，请用计算说明小北能否在处登上游船？（在处停留欣赏湖中小岛时间忽略不计，结果精确到0.1，参考数据：，，）
【答案】(1)米；
(2)小北能在处登上游船
【分析】此题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定和性质、二次根式的混合运算等知识
（1）过点B作于点E，作于点G，作于点F，证明四边形是矩形，则求出米，米，得到，则米，得到米， 即根据即可求出答案；
（2）分别计算游船行驶加上靠岸停留时间，小北到达游船停靠点的时间加上晚出发的时间，比较后即可得到答案．
【详解】（1）解：过点B作于点E，作于点G，作于点F，
则
∴四边形是矩形，
∴
在中，，米，
∴米，米，
在中，，米，
∴，
∴米，
在中，，
∴米， 米
∴米，
即游船起点处与处的距离为米；
（2）∵（分钟），
且
∴小北能在处登上游船
19．某送货司机在各站点间上门送货的平面路线如图所示：．已知点B在点A的北偏东方向处，点C在点B的正东方处，点D在点C的南偏东方向，点D在点A的正东方．(参考数据：，，)
(1)求线段CD的长度；(结果精确到0.01km)
(2)已知送货司机在送货过程中全程保持10m/s的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A点运送到D点，则送货司机按既定路线进行运送能否按时送达？(送货司机在各站点停留的时间忽略不计)
【答案】(1)
(2)能
【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，正确构造直角三角形从而利用解直角三角形的相关知识求解是解题的关键．
（1）分别过点B、C作于E，于F，得到四边形是矩形，，利用，求出，即，从而利用求出；
（2）先算出总路程，再除以速度得到送货时间，与16分钟比较即可得解．
【详解】（1）分别过点B、C作于E，于F，
依题意可知：，，，，，
∴，
∴四边形是矩形，，
∵，，
∴
又∵，
∴
（2）16分钟秒，
∵，，，
∴，
∴从A点运送到D点的时间为：，
∴送货司机按既定路线进行运送能按时送达．
20．如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发沿不同路线向C港运送货物，甲货轮沿路线运送货物，乙货轮沿路线运送货物．已知D位于A的正北方50海里处，C位于D的正东方，B位于A的东南方向，E位于B的正北方，C位于E北偏东方向海里处，且位于B的北偏东方向．（参考数据：，）
(1)求C与D之间的距离．（结果保留根号）
(2)受恶劣天气的影响，C港失去了甲、乙两艘货轮的位置信息，C港立即让位于E处的信号塔定位甲、乙两艘货轮，若距离信号塔30海里范围内均能成功定位，其中甲货轮平均速度为20海里每小时，乙货轮平均速度为25海里每小时，请通过计算说明信号塔先定位到哪艘货轮？（结果保留一位小数）
【答案】(1)C与D之间的距离为海里
(2)信号塔先定位到乙货轮
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，结合图形构造直角三角形是解题的关键．
（1）作于点，延长交于点，根据题意得出
，推出海里，在中利用余弦的定义求出海里，海里，进而得出的长，通过证明四边形是矩形，得出，，在中利用正切的定义求出，即可求解；
（2） 由（1）得，海里，海里，根据垂线段最短的性质可知当甲货轮在路线上时，信号塔不能定位甲货轮，设信号塔定位到甲货轮的位置为点，连接，利用勾股定理求出海里，计算出信号塔定位到甲货轮所需时间，作于点，利用三角函数的知识得出海里，根据垂线段最短的性质可知当乙货轮在路线上时，信号塔不能定位乙货轮，设信号塔定位到乙货轮的位置为点，连接，作于点，利用勾股定理求出海里，计算出信号塔定位到乙货轮所需时间，比较二者的时间即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，作于点，延长交于点，则，
由题意得，，，，，
，
，
（海里），
在中，，，
（海里），（海里），
（海里），
，
四边形是矩形，
海里，，
海里，
在中，，
∴海里，
∴海里，
∴海里，
答：C与D之间的距离为海里．
（2）解：由（1）得，海里，海里，
点到直线的距离为海里，
，
当甲货轮在路线上时，信号塔不能定位甲货轮，
设信号塔定位到甲货轮的位置为点，连接，则海里，
（海里），
海里，
信号塔定位到甲货轮所需时间为（小时），
作于点，则，
，
，
（海里），
，
当乙货轮在路线上时，信号塔不能定位乙货轮，
设信号塔定位到乙货轮的位置为点，连接，则海里，
作于点，则，
（海里），（海里），
（海里），
（海里），
在中，，
海里，
信号塔定位到乙货轮所需时间为（小时），
，
信号塔先定位到乙货轮．
21．周末小南和小开相约爬山（图为山的截面图，山脚处的点、在同一水平线上），在处测得山顶的仰角为，在处测得山顶的仰角为，斜坡米，坡度为，水平观景步道米，山顶到山底的垂直高度为米．（参考数据：，，，）
(1)求的长度；
(2)入口在水平道路中点处，若小南和小开从点同时出发，小南由的线路到达山顶，小开由的线路到达山顶，若小南的平路速度为米分，小南的爬山速度为米分，小开的平路速度为米分，小开的爬山速度为米分（小开在斜坡，斜坡的速度相同），请问谁先到达山顶处？请通过计算说明理由．（结果保留小数点后一位）
【答案】(1)米
(2)小开先到达山顶处，理由见解析
【分析】本题考查了解直角三角形——坡度，仰角问题，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）过作于点，过作于点，延长交于点，则，则有四边形是矩形，所以，根据题意可得米，米，，然后通过坡度，解直角三角形即可求解；
（）由（）得，米，米，米，求出米，则米，再求出（米），再通过“时间路程速度”，然后比较即可．
【详解】（1）解：如图，过作于点，过作于点，延长交于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
根据题意可得米，米，，
∵斜坡坡度为，
∴，
设，，
∴，
解得：，
∴米，米，
∴米，
∴（米），
在中，，
∴，
∴米；
（2）解：小开先到达山顶处，理由，
由（）得，米，米，米，
在中，，
∴，
∴米，
∴（米），
∴米，
在中，，米，
∴米，
∴（米），
∴（米），
∵为中点，
∴（米），
∴小南先到达山顶处的时间为：
（分）；
小开先到达山顶处的时间为：
（分），
∵，
∴小开先到达山顶处．