2025-2026学年山东青岛市崂山区一模九年级数学试题（含解析）中考模拟

这是一份2025-2026学年山东青岛市崂山区一模九年级数学试题（含解析）中考模拟，共17页。试卷主要包含了第1张 第2张等内容，欢迎下载使用。
说明：
1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题，第Ⅰ卷为选择题，共9小题，27分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，93分．
2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．
第Ⅰ卷（共27分）
一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）
1. 的绝对值是（ ）
A. 2026B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，进行计算即可．
【详解】解：∵ 负数的绝对值等于它的相反数，且，
∴ ．
2. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此分析判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
3. 青岛胶东国际机场于2021年8月12日正式通航．2026年春运期间（2月2日至3月13日），该机场旅客吞吐量达到3060000人次．将3060000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：.
4. 若一种机器零部件如图所示，则该零部件的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据左视图是从左面看到的图形，进行求解即可．
【详解】解：该零部件的左视图为：
5. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：A、(−x3y2)2=(−1)2⋅(x3)2⋅(y2)2=x6y4，原计算错误；
B、x2(1−x2)=x2⋅1−x2⋅x2=x2−x4，原计算错误；
C、，原计算错误；
D、2x⋅4x2=(2×4)⋅x1+2=8x3，正确.
6. 如图，在矩形中，，，是上的动点，于点，于点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设相交于点，连接，可得，即得，再利用解答即可求解．
【详解】解：如图，设相交于点，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴，
∵于点，于点，
∴，
又∵，
∴，
∴．
7. 在直角坐标系中，将点绕原点按顺时针方向旋转到，则的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点作轴于点，可得是等腰直角三角形，，又根据旋转得，点落在轴的正半轴上，进而即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴于点，则，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∵将点绕原点按顺时针方向旋转到，
∴，点落在轴的正半轴上，
∴A'2,0．
8. 如图，是的直径，是的弦，连接，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接，根据圆周角定理进行求解即可.
【详解】解：连接，则，，
∵是的直径，
∴，
∴.
9. 如图，将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处．若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作于点，则，根据矩形的判定和性质、折叠的性质、中点的定义得到，设，在中，进一步利用勾股定理进行解答即可．
【详解】解：如图，过点作于点，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴
∵将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处．
∴，
设，则，
∴MN=CM−NC=32−3−x=x−32，
在中，，即x2=x−322+22，
解得
即的长为．
第Ⅱ卷（共93分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
10. 计算的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】先分别化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
此题考查了二次根式的加减法，正确掌握二次根式的化简及加减法计算法则是解题的关键．
11. “双减”政策实施后，某校为了解学生课后服务参与情况，随机抽取了5名同学，记录他们一周内（周一至周五，每天最多参加1次）参加课后服务的次数（单位：次），数据如下：3，4，4，4，5，则这组数据的方差为________．
【答案】0.4
【解析】
【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差的计算公式代入计算即可得到结果.
【详解】解：x=3+4+4+4+55=4，
∴s2=15[(3−4)2+3×(4−4)2+(5−4)2]=0.4.
12. 如图，点A是双曲线上一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为B，C两点，与双曲线分别交于D，E两点，若四边形的面积为5，则________．
【答案】
【解析】
【分析】由反比例函数的几何意义得，，，再根据即可求出k的值．
【详解】解：∵D，E在反比例函数的图像上且图像在第二象限，
∴，，
∵点A是双曲线上一点，且图像在第二象限，
∴，
∵，
∴，解得：．
13. 如图，一个正六边形的边长为3，连接对角线，交于点P，则的值为________．
【答案】2
【解析】
【分析】由正六边形的性质得，，可得，则，过点作于点，求得，，，可得，求出，即可得出结论．
【详解】解：∵六边形是正六边形，
∴，，
∴，
∴，
过点作于点，如图，
∴，，，
∴，，
设，则，
由勾股定理得，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴．
14. 如图，某模具是大半圆内部挖去小半圆而成．为了求该模具的面积，在图中作一条平行于大半圆直径且与小半圆相切的切线，分别交大半圆于A，B两点，已知，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】用大半圆的面积减去小半圆的面积进行求解即可．
【详解】解：作，连接，则，
设小半圆的圆心为，作，
∵，与小半圆相切，
∴，为小半圆的半径，
设大半圆的半径为，小半圆的半径为，则，
∴，
∴阴影部分的面积为．
15. 抛物线的顶点是，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：
①；
②；
③对于任意实数t，总有不等式；
④若方程的两个根为，，则．
其中正确的是________（只写序号）．
【答案】①④##④①
【解析】
【分析】根据图象判断①，对称轴和特殊点判断②，最值判断③，对称性判断④即可．
【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向下，
∴，
∵抛物线的顶点是，
∴对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点和之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点和之间，
∴抛物线与轴的交点在轴的上方，
∴，
∴；故①正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点在点和之间，
则当时，，
∵，
∴，故②错误；
∵抛物线的开口向下，顶点是，
∴当时，函数有最大值为，
∴对于任意实数t，总有不等式；故③错误；
∵抛物线与x轴的一个交点A在点和之间，与x轴的另一个交点在点和之间，
∴方程的两个根在和之间，
∴．故④正确；
综上：正确的是①④．
三、作图题（本大题满分4分）
16. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段a．
求作：矩形，使它的对角线，交于点O，且，．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据矩形的性质，结合，得到为等边三角形，作线段的中点，作线段，以为圆心，为半径画圆，确定点，再以为圆心，为半径画圆，与⊙B,⊙D的交点，确定点，点，连接，根据对角线互相平分且相等的四边形为矩形，即可得到矩形.
【详解】解：如图，矩形即为所求；
四、解答题（本大题共9小题，共71分）
17. 按要求完成下列计算：
（1）解不等式组；
（2）化简．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即可；
（2）通分，化为同分母，再进行计算即可．
【小问1详解】
解：x−3x−1≤1①2x+73≥−1②
由①，得；
由②，得；
∴不等式组的解集为：；
【小问2详解】
解：原式
．
18. 某中学开展“生态青岛”知识竞答，准备了3张完全相同的卡片，正面主题分别为：A无废城市建设；B美丽海湾保护；C青岛蓝天行动．竞答时选手要先将卡片背面朝上搅匀，随机抽取1张记录后不放回，再抽取第2张，抽到的两个主题均要作答．
（1）第一次抽到“B美丽海湾保护”的概率为________；
（2）请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，求抽到的两张卡片中有“A无废城市建设”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）画出表格，利用概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：第一次抽到“B美丽海湾保护”的概率为；
【小问2详解】
解：由题意，列表如下：
共有6种等可能的结果，其中有A卡片的结果有4种，
∴．
19. 随着航空技术的发展，飞机已成为人们出行的重要交通工具．在某次飞机降落过程中，垂直下降的距离与水平距离之比一直保持（即每垂直下降1米，水平向前飞行20米）．小明先后两次观测山顶：第一次观测时，飞机在点P处，测得山顶A的俯角为；第二次观测时，飞机降落到点Q处，测得山顶A的俯角为，此时飞机飞行的水平距离为2000米．求第二次观测飞机到山顶的垂直距离．（，，，，，）
【答案】1500m
【解析】
【分析】延长交于点，则，根据垂直下降的距离与水平距离之比一直保持，求出的长，设，解直角三角形和直角三角形，进行求解即可.
【详解】解：延长交于点，由题意可知：∠BAQ=37°,∠CAP=23°,BC=2000，四边形为矩形，DQBC=1:20，
∴PC=BD=BQ+DQ，DQ=2000×120=100，
设，则AC=AB+BC=2000+x，
在Rt△ABQ中，BQ=AB·tan37°≈3x4，
∴PC=BD=BQ+DQ=34x+100，
在中，CP=AC·tan23°，即34x+100≈0.42000+x，
解得，
∴BQ=34x=1500；
答：第二次观测飞机到山顶的垂直距离的长为1500米.
20. 为科学预防近视，引导学生爱护视力，某校组织开展“科学用眼”知识竞赛．现从七年级、八年级参赛学生中各随机抽取50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩（用x表示）分为四个等级：为“不合格”，为“合格”，为“良好”，为“优秀”．下面给出了部分信息：
七年级被抽取学生的竞赛成绩在“良好”等级的有：82，83，84，84，84，84，85，86，87，88．
八年级被抽取学生的竞赛成绩在“合格”等级的有：72，74，75，77，78．
两组数据的平均数、中位数、众数：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：________，________；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级各有400人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”（）的总共有多少人？
【答案】（1）82.5，26
（2）八年级的成绩更好，见解析
（3）232人
【解析】
【分析】（1）根据中位数的确定方法求出，根据扇形图中各部分的百分比之和为1，求出的值；
（2）根据中位数和众数作决策即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可.
【小问1详解】
解：1625，
故七年级成绩的中位数落在良好等级，将数据从大到小排序后，第25和第26个数据分别为83,82，
∴a=1283+82=82.5；
八年级被抽取学生的竞赛成绩在“合格”等级的百分比为，
∴m%=1−60%−10%−4%=26%，
∴；
【小问2详解】
解：八年级的成绩更好，理由如下：
两个年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级成绩的中位数和众数均比七年级的大，故八年级的成绩更好；
【小问3详解】
解：400×1650+400×26%=232（人）；
答：估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”（）的总共有232人.
21. 如图，在中，，点M为的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接．
（1）求证：；
（2）当时，四边形是________形，请证明．
【答案】（1）见解析 （2）正方，见解析
【解析】
【分析】（1）平行四边形的性质，得到证明，得到，根据，等量代换，即可得出结论；
（2）先证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，进而得到四边形是菱形，再根据，即可得到四边形是正方形.
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：当时，四边形是正方形．
证明：由（1）知，，
又，
四边形是平行四边形，
∵
∴是直角三角形，
由（1）可知，，
，
四边形是菱形，
∵，
，
，
∴菱形是正方形．
22. 问题：某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持上端到屋顶和下端到墙角的距离相等，钢丝绳长度的最小值为多少米？

小明收集了该简易房屋的相关数据，将该问题转化为数学问题：如图②，屋顶是等腰三角形，墙是矩形，其中米，，点M在上，点N在上，钢丝绳始终保持．求的最小值．
（1）小明决定从简单情形出发试试看：如图③，在等边三角形中，，点M，N分别在边，上，且，求的最小值．请你在下面小明思路的基础上完成．
解：过点C，M分别作，的平行线，并交于点P，作射线，
∵四边形是平行四边形，
∴，；
经证明当时，最小，此时最小．
请你求出的最小值，写出求解过程．
解决：
（2）请你借助小明的探究解决问题，直接写出图②中钢丝绳的最小值．
【答案】（1）
（2）米
【解析】
【分析】（1）先证明，得出点P在射线上，根据垂线段最短，得出当时，最小，根据直角三角形性质得出；
（2）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，求出，得出点H总是射线上，说明当时，最小，此时最小，作于点R，根据直角三角形的性质和勾股定理，求出结果即可．
【小问1详解】
解：过点C，M分别作，的平行线，并交于点P，作射线，
∵四边形是平行四边形，
∴，；
，
∴，
∴，
在等边中，，
∴，
∵，
∴，
∴点P在射线上，
∵垂线段最短，
∴当时，最小，
∵在中，，
，
线段长度的最小值为；
【小问2详解】
解：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，如图所示：
四边形是平行四边形，
，
，
，
∴，
四边形是矩形，
，
，
，
∴，
，
，
∴∠DAC=∠ADC=12×180°−120°=30°，
，
∴点H总是射线上，
当时，最小，此时最小，
作于点R，
在中，米，，
（米），
（米），
米，
在中，，
∴为等腰直角三角形，
（米），
线段长度的最小值为米．
23. 2026年马年春节联欢晚会中《武》《奶奶的最爱》等机器人表演节目火爆全网，让机器人成为新春热点．某文化演艺公司计划采购A，B两种型号的表演机器人，用于各类文艺演出的舞台呈现．据了解，A型机器人的单价比B型机器人的单价低3000元，用580000元购买A型机器人的数量和用640000元购买B型机器人的数量相同．
（1）求A，B两种型号表演机器人的单价各是多少元；
（2）该文化演艺公司计划购买A，B两种型号的表演机器人共25台，且A型机器人的购买数量不超过B型机器人购买数量的3倍，购买A型机器人多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
【答案】（1）A型机器人的价格为29000元，则B型机器人的价格为32000元
（2）故购买A型机器人18台，购买B型机器人7台时，费用最低，最低费用746000元
【解析】
【分析】（1）设A型机器人的价格为x元，则B型机器人的价格为元，根据用580000元购买A型机器人的数量和用640000元购买B型机器人的数量相同，列出方程进行求解即可；
（2）根据题意，A型机器人买了台，采购费用为，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数的解析式，利用一次函数的性质，求最值即可．
【小问1详解】
解：设A型机器人的价格为x元，则B型机器人的价格为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根且符合题意，
此时，
答：A型机器人的价格为29000元，则B型机器人的价格为32000元．
【小问2详解】
解：根据题意，A型机器人买了台，则购买B型机器人的数量为台，
根据题意，得a≤3(25−a)，解得a≤754，
采购费，
由k=−3000