山东省济南市商河县2026年九年级学业水平第一次模拟考试 数学（含解析）

这是一份山东省济南市商河县2026年九年级学业水平第一次模拟考试 数学（含解析），文件包含统计与概率二项分布超几何分布正态分布专项训练原卷版docx、统计与概率二项分布超几何分布正态分布专项训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座号和准考证号等填写在答题卡和试卷指定的位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 的倒数是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据倒数的定义，即若两个数的乘积为“1”，那么这两个数互为倒数，据此即可解答．
【详解】解：的倒数是．
2. 如图，该几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是指从上面往下面看到的图形进行分析，作答即可．
【详解】解：依题意，该几何体的俯视图是，
故选：C．
3. 据科学家统计，目前地球上已经被定义、命名的生物约有1500万种左右，数字1500万用科学记数法表示为（ ）
A. 1.5×103B. 1.5×106C. 1.5×107D. 15×106
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：1500万＝15000000＝1.5×107．
故选：C．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的表现形式.
4. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义和轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用完全平方公式、平方差公式、同底数幂乘法法则、合并同类项法则逐一判断选项即可.
【详解】解：逐一判断各选项：
对于A选项，根据完全平方公式可得：
∴ A错误.
对于B选项，根据平方差公式可得：，等式左右相等
∴ B正确.
对于C选项，根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
∴ C错误.
对于D选项，与所含相同字母的次数不同，不是同类项，不能合并，
∴ D错误.
6. 如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．根据平行线的性质解答即可．
【详解】解：如图，两条入射光线平行，
，
，
，
故选：C．
7. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同分母分式减法法则计算后，约分化简即可得到结果．
【详解】解：∵原式为同分母分式的减法，根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，
∴ ，
对分子提取公因式得 ，
∴ 原式．
8. 假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟和雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么只雏鸟中恰好只雄鸟只雌鸟的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键．
先画出树状图，展示所有等可能的结果，再找出只雏鸟中恰好只雄鸟只雌鸟的结果数，然后根据概率公式计算概率即可．
【详解】解：根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中只雏鸟中恰好只雄鸟只雌鸟的结果有种，
只雏鸟中恰好只雄鸟只雌鸟的概率，
故选：．
9. 如图，在平行四边形中，以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与，交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线，与边交于点H，最后以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点M．若，，则点A，M之间的距离为（ ）
A. 9B. 6C. 10D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了作图基本作图，菱形的判定与性质，勾股定理，证明四边形是菱形是解题的关键．
连接、，设交于点，根据题意证明四边形是菱形，从而得出的长，再根据勾股定理即可得出结果．
【详解】解：如图，连接、，设交于点，
由题意可知，是的角平分线，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
以为圆心，长为半径画弧，交于点，
，
，
又∵，
四边形是平行四边形，
又∵，
四边形是菱形，
，，，
，
，
．
故选：A．
10. 抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤若，是一元二次方程的两个根，且，则．其中正确的有（ ）个

A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由图可知：，即可判断①；根据，，得出抛物线对称轴为直线，则，当时，，即可判断②；根据抛物线的对称轴为直线，得出当时，该二次函数取最小值，即可判断③；连接，令对称轴与y轴相交于点E，根据等腰直角三角形的性质得出，则，设该抛物线的解析式为，把代入得：，求出a的值，即可判断④；根据，是一元二次方程的两个根，得出抛物线与直线相交于，即可判断⑤．
【详解】解：由图可知：
∵开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
∵抛物线交轴于，，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
当时，，
整理得：，故②不正确，不符合题意；
当时，，
当时，，
由②可知，抛物线的对称轴为直线，
∴当时，该二次函数取最小值，
∵，
∴，即，故③不正确，不符合题意；
连接，令对称轴与y轴相交于点E，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
设该抛物线的解析式为，
把代入得：，
解得：，故④正确，符合题意；

∵，是一元二次方程的两个根，
∴抛物线与直线相交于，
∵抛物线交轴于，，
∴，故⑤不正确，不符合题意；
综上：正确的有①④，共2个，
故选：A．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象与系数的关系，正确识别图象，根据图象判断式子的正负的方法．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．
11. 分解因式： _______.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】解：．
故答案为.
12. 如图，是一个抽奖的转盘，线条宽度忽略不计，把转盘平放后转动转盘上的指针，指针落在一等奖区域的概率是________ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查几何概率，解题关键是利用了“概率=相应的面积与总面积之比”进行求解．
根据阴一等奖区域所在扇形圆心角的度数除以进行求解．
【详解】解：由题意得，指针落在一等奖区域的概率，
故答案为：．
13. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键
【详解】解：∵，
∴，
∵与是以点为位似中心的位似图形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14. 某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量（）与汽车行驶路程（）的关系，当两款新能源电动汽车的行驶路程相等时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多12，则此时它们行驶的路程均为________．
【答案】300
【解析】
【分析】本题考查了从函数的图象获取信息，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，设的函数解析式分别为，利用待定系数法求出的函数解析式，再结合款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多12，建立方程求解，即可解题．
【详解】解：由图知，过点，
设的函数解析式分别为，
又过点，过点，
，
解得，
的函数解析式分别为，
款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多12，
，
解得，
故答案为：300．
15. 在矩形中，，，点E在边上，且，将矩形沿过点E的直线折叠，点C、D的对应点分别为、，折痕与边交于点F，当点B、、恰好在同一直线上且时，的长为________．
【答案】1.5
【解析】
【分析】本题考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．由折叠的性质得，，，在中，由，得，连接，设，则，再利用勾股定理求得即可．
【详解】解：如图，，
∴点在的上方，
，
由，
得，
解得，
故．
三、解答题：本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先计算乘方、绝对值、三角函数、零次幂、负指数幂，再进行实数的混合计算即可．
【详解】解：原式
17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】；，，
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，再求不等式组的解集，最后写出所有整数解即可．
【详解】解：，
解不等式①，
，
解不等式②，
，
不等式组的解集为．
所有整数解为，，．
18. 如图，在菱形中，点E，F分别在，上，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定及性质，由菱形的性质得到，，再由等角的补角相等得到，即可证得，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
19. 如图1是一种路灯的实物图，由灯杆和灯管支架两部分构成，图2是它的示意图，灯杆与地面垂直，灯管支架与灯杆的夹角．，在路灯正前方的点处测得．，，．（结果精确到．参考数据：，，）
（1）求灯杆的长度．
（2）求灯管支架的长度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】 本题考查解直角三角形，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握解直角三角形的应用，矩形的性质，进行解答，即可．
（1）根据解直角三角形，，解出，即可；
（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据矩形的判定和性质，则，，，求出，根据等角对等边，则，设，根据，求出；再根据，即可．
【小问1详解】
解：∵灯杆与地面垂直，
∴，
在中，
∵，
∴，
答：灯杆的长度为．
【小问2详解】
解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，
∵，
∴，即,
∴，
∵，
∴．
答：灯管支架的长度约为．
20. 如图，在中，，以边为直径作交于点，过点作于点，，的延长线交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，且，求的半径与线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）的半径为6，
【解析】
【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用直角三角形的边角关系定理列出比例式即可求得圆的半径，利用相似三角形的判定和性质列出比例式即可求得的长．
【小问1详解】
证明：连接，如图，
，
．
，
．
．
∴,
，
．
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：在中，
，，
，
．
即的半径为6．
，
，
．
，，
∴，
∴，
，
，
．
本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定和性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
21. 【项目背景】
为响应国家“全民健身”号召，学校鼓励学生积极参与体育活动．现针对初三年级学生的体育锻炼情况展开调查，了解学生每周参与体育锻炼的时长和喜爱的体育项目，为学校后续开展体育活动、优化体育课程提供参考依据．
【数据收集与整理】
从初三年级的名学生中，随机调查了部分学生作为样本，调查他们每周参与体育锻炼的时长（单位：小时）．将收集到的数据进行如下分组：
A组：；B组：；C组：；D组：；E组：．
整理样本数据，并绘制如下统计图
【数据分析与运用】
【任务1】：本次随机调查的学生人数是 人；扇形统计图中， ： ；并补全条形统计图．
【任务2】：下列结论一定正确的是 （填正确结论的序号）．
①样本数据的中位数在C组；②样本数据的众数在D组；③扇形统计图中，B组所对的圆心角的度数为．
【任务3】：学校规定，每周体育锻炼时长不少于小时的学生，体育成绩可获得额外加分鼓励．请估计初三年级名学生中，能获得体育成绩加分的学生人数．
【答案】任务1：；；．条形统计图见详解．
任务2：①③．
任务：人．
【解析】
【分析】任务1：根据E组有人，占总人数的百分比是，即可求得本次随机调查的学生人数，进而得到B组人数，D组人数即可补全条形统计图，再由A组有人，可得，．
任务2：根据，，可判断①正确；再根据C组和D组均占总人数的百分比的最多，可判断②错误；由B组所占百分比为，可得B组所对的圆心角的度数为，可判断③正确．
任务：根据D组和E组的学生占总人数的，即可估计名学生中，能获得体育成绩加分的学生人数．
【详解】解：任务1：∵E组有人，占总人数的百分比是，
∴本次随机调查的学生人数是（人），
∴B组人数为（人），D组人数为（人），
故补全条形统计图如下：
∵A组有人，
∴A组占总人数的百分比是，即，
∴C组占总人数的百分比是，即，
故答案为：；；．
任务2：∵，，
∴样本数据的中位数在C组，即①正确；
∵C组占总人数的百分比是，D组占总人数的百分比是，
∴样本数据的众数在C组和D组，即②错误；
∵B组所占百分比为，
∴扇形统计图中，B组所对的圆心角的度数为，即③正确；
故答案为：①③．
任务：根据题意可得D组和E组的学生每周体育锻炼时长不少于小时，
∵D组和E组的学生占总人数的，
∴名学生中，能获得体育成绩加分的学生人数为：（人）．
本题考查了条形统计图基础及应用，中位数，众数，用样本估计总体，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22. 某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元．
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8 000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，则要购进A型、B型汽车各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元
（2）购进2辆A型汽车，15辆B型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，掌握知识点是解题的关键．
（1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w元，则该公司购进辆B型汽车，利用总利润=每辆A型汽车的销售利润型汽车的购进数量+每辆B型汽车的销售利润型汽车的购进数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【小问1详解】
解：设每辆型汽车的进价是万元，每辆型汽车的进价是万元．
根据题意得：
解得．
答：每辆型汽车的进价是25万元，每辆型汽车的进价是10万元；
【小问2详解】
解：设该公司购进辆型汽车，全部售出后获得的总利润为元．
则该公司购进辆型汽车，根据题意得：
，即，
，
随的增大而减小，
又均为正整数，购进汽车数量为正整数，
∴m为正整数，也为正整数。
要使为整数，m必须为偶数。
∵，解得。
∴m可取的值为2，4，6，
的最小值为2，
此时（辆）．
当时，取得最大值，最大值为（元），
答：购进2辆型汽车，15辆型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元．
23. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过B、C两点，为直角三角形，轴，轴，，．
（1）反比例函数的表达式为______，点B的坐标为______；
（2）点M是y轴正半轴上的动点，连接、：
①当为最小值时，求点M坐标：
②点N是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求所有满足条件的点N的坐标．
【答案】（1），
（2）①，②或
【解析】
【分析】利用待定系数法求得反比例函数的解析式，即可求得点B 的坐标；
①作关于轴的对称点，连接交轴于，由于C和关于轴对称，有，当，，共线时，最小，即最小，最小值为的长度，利用待定系数法求得直线的解析式为，即可求得点M的坐标；②设，，当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，可证明，则，，列出；当为直角顶点时，过作轴于，过作于，同理可得，，列出，解得n即可．
【小问1详解】
解：∵，，
，
将代入得：
，
解得，
反比例函数的表达式为，
在中，令得，
的坐标为；
【小问2详解】
解：①作关于轴的对称点，连接交轴于，此时最小，如图：
，关于轴对称，
，
当，，共线时，最小，即最小，最小值为的长度，
由（1）知，，
，
设直线的解析式为，
，解得，
则直线的解析式为，
当时，，
则点M的坐标为；
②设，，
当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，如图：
的等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
，
解得，
；
当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图：
同理可得，，
，
解得或（舍去），
；
综上所述，的坐标为或．
本题主要考查函数和几何的结合，涉及待定系数法求解析式、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质以及等直角三角形的性质，解题的关键是熟悉函数的性质．
24. 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，经过点A的直线l与y轴的负半轴交于点D，与抛物线交于点E，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图②，点P是抛物线上位于x轴下方的一动点，连接，与直线l交于点Q，设和的面积为和，求的最大值；
（3）如图③，将抛物线沿直线翻折得到抛物线，且直线l与抛物线有且只有一个交点，求m的值．
【答案】（1）；
（2）的最大值为；
（3）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）结合（1）求得直线l的解析式为，过点P作轴，交于点M，则，易得即，由和的底在同一直线上，且有相同的高，故，由（1）可知，设，则，则，因为的最大值为，代入即可求解；
（3）求得抛物线的顶点坐标为，将沿直线翻折得，故将抛物线：沿直线翻折得到抛物线为，即，令即，由直线l与抛物线有且只有一个交点，则，即可求解．
【小问1详解】
解：将点和点代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为:；
【小问2详解】
∵，，
则，
设直线l的解析式为，
，
解得:，
可得直线l的解析式为：，
过点P作轴，交于点M，
则，
∴，
∴，
和的底在同一直线上，且有相同的高，
则，
∴，
由（1）可知，，
∴，
设，
则，
，
∴的最大值为，
则的最大值为，
∴的最大值为；
【小问3详解】
抛物线的顶点坐标为：
，
将沿直线翻折得：，
故将抛物线：沿直线翻折，
得到抛物线：，
即：，
令，
即
，
又∵直线l与抛物线有且只有一个交点，
∴，
∴．
本题考查了代入法求一次函数、二次函数解析式，一次函数与二次函数综合，相似三角形的判定和性质，翻折问题，交点情况即一元二次方程解的情况；解题的关键是熟练掌握相关性质，灵活求解．
25. 综合与探究
【问题背景】北师大版数学八年级下册第12题（以下图片框内）．
【初步探究】
（1）我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化．如图1，在与中，，，．求证：．

【类比探究】
（2）如图2，在边长为3的正方形中，点，分别是，上的点，且．连接，，，若，求的长．
【拓展应用】
（3）如图3，在四边形中，，，，，，请直接写出的长．
【答案】（1）见解析（2）（3）8
【解析】
【分析】（1）证明即可；
（2）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图：证出，得出，然后设，利用勾股定理列方程解出x，即可得解；
（3）如图，过作，且，连接，并延长交于，先证明，然后再求出，的值即可得解．
【详解】（1），
，
，，
，
；
（2）四边形是正方形，
，
把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图：
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，
即：，
，边长为3的正方形，
，，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
即；
（3）的长为8，
如图，过作，且，连接，并延长交于，
∴，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
．
本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，直角函数等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．如图，，均是顶角为的等腰三角形，，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而互相得到？