2026年江苏省宿迁市泗洪县九年级第二次模拟测试数学试题（含解析）中考模拟

这是一份2026年江苏省宿迁市泗洪县九年级第二次模拟测试数学试题（含解析）中考模拟，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0即可求解．
【详解】解：因为-+＝0，
所以-的相反数是．
故选：D．
本题考查求一个数的相反数，掌握相反数的性质是解题关键．
2. 若数据2，，4，8的平均数是4，则这组数据的中位数和众数是（ ）
A. 2和3B. 3和2C. 2和2D. 2和4
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均数的计算公式先求出x的值，再根据中位数和众数的概念进行求解即可．
【详解】解：∵数据2，x，4，8的平均数是4，
∴这组数的平均数为
解得：x=2；
所以这组数据是：2，2，4，8，
则中位数是
∵2在这组数据中出现2次，出现的次数最多，
∴众数是2；
故选：B．
此题考查了平均数、中位数和众数，平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数；据此先求得x的值，再将数据按从小到大排列，将中间的两个数求平均值即可得到中位数，众数是出现次数最多的数．
3. 已知为实数，，，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】比较两个代数式的大小，采用作差法，对作差结果配方后，利用平方数的非负性判断差的符号，即可得到与的大小关系．
【详解】解：∵，，
∴，
去括号整理得：，
即：，
∵为实数，任意实数的平方非负，可得，
∴，即，
∴．
4. 如图是一个长方体的三视图（单位：），这个长方体的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】考查了由三视图判断几何体，本题要先判断出几何体的形状，然后根据其体积公式进行计算即可．根据三视图我们可以得出这个几何体应该是个长方体，然后根据其体积公式进行计算即可．
【详解】解：该几何体的主视图以及左视图都是相同的矩形，俯视图也为一个矩形，可确定这个几何体是一个长方体，
依题意可求出该几何体的体积为．
答：这个长方体的体积是．
故选择：C．
5. 把抛物线向左平移个单位，所得的新抛物线的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的平移规律，即可进行解答．
【详解】解：抛物线向左平移个单位，所得的新抛物线的函数表达式为，
故选：B．
本题考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握二次函数的平移规律：左加右减，上加下减．
6. 设是方程的两个根，则代数式的值等于（ ）
A. B. 4C. D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的概念和根与系数的关系，得到，，，然后通过将高次项降次后得到，然后代入求值．
【详解】解：∵是方程的两个根，
∴，，，
∴，，
∵，
∴原式
．
7. 母亲节来临，小明与花店为妈妈准备节日礼物，已知康乃馨每支2元，百合每支3元，小明将20元钱全部用于购买这两种花（两种都买），小明的购买方案有（ ）种
A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种
【答案】A
【解析】
【分析】设可以购买x支康乃馨，y支百合，根据总价单价数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出小明有3种购买方案．
【详解】解：设可以购买x支康乃馨，y支百合，
依题意，得：，
∴．
∵x，y均为正整数，
∴或或，
∴小明有3种购买方案．
故选A．
本题考查了二元一次方程应用中的整数解问题，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
8. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长等于4，顶点在轴正半轴上，边在轴正半轴上，点为边上一动点，点在正六边形的内部，满足，若点在边上运动时，的面积为定值，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接， ，，，，，与交于点，与交于点，与交于点，连接，，，根据正六边形的性质可得点在以点为圆心，为半径的圆上，再利用圆外一点到圆上的点距离最小即可求解．
【详解】解：如图，连接， ，，，，，与交于点，与交于点，与交于点，连接，，，
∵六边形是边长等于4的正六边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，点、、分别为、、的中点，
∴是等边三角形，，，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵的面积为定值，
∴，
∴，
当点与点重合时，则，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴点与点重合，
当点与点重合时，则，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴点与点重合，
∵，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，
∴当，，共线时，的最小值．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________.
【答案】x≥-5
【解析】
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．
【详解】解：根据题意得：x+5≥0，解得x≥-5．
主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子（a≥0）叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10. 不等式组的解集是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，再根据不等式组解集的确定方法找出两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①，
不等式两边同时乘以，不等号方向改变，得，
解不等式②，
移项得，
合并同类项得，
则原不等式组的解集为．
11. 圆锥的高是，母线长是，则这个圆锥的侧面积为________．（结果保留）
【答案】15π
【解析】
【分析】根据圆锥的高、母线长求出底面圆周长,再利用S=即可求解.
【详解】解：∵圆锥的高是，母线长是，
∴底面半径为：cm
∴底面圆周长=，
∴圆锥的侧面积=65=.
故答案为：15π
本题考查了圆锥的侧面积、勾股定理，属于简单题,熟悉扇形面积公式是解题关键.
12. 某一时刻，身高为的小丽影长是，此时，小玲在同一地点测得旗杆的影长为，则该旗杆的高度为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据同一时刻实物高度与影子的比值相等，列方程即可．
【详解】解：设旗杆的高度为xm，
则，
解得，
故答案为：15．
本题考查了利用相似测高，掌握相似的判定和性质是解题的关键．
13. 随着技术的发展，在芯片的硅晶片上雕刻的电路间距已经可以小到几纳米．纳米（记为）是长度单位，等于的十亿分之一．用科学记数法表示：__________mm．
【答案】
【解析】
【分析】把米化为毫米，即，可求得，从而可求出．
【详解】解：∵，，
∴，
∴.
14. 一个盒中装着仅颜色不同的颗白色小球和颗黑色小球，从盒中随机取出一颗小球，取得白色小球的概率是．如果再往盒中放进6颗同样的白色小球，取得白色小球的概率是，则原来盒中有白色小球__________颗．
【答案】6
【解析】
【分析】根据概率公式可得，则，再由概率公式可得，据此求解即可．
【详解】解：∵没有放入白色小球前，从盒中随机取出一颗小球，取得白色小球的概率是，
∴，
∴，即，
∵再往盒中放进6颗同样的白色小球，取得白色小球的概率是，
∴，即，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴原来盒中有白色小球6颗．
15. 在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先将已知点坐标代入二次函数解析式求出的可能取值，再根据对称轴位置确定符合条件的的值，最后计算二次函数的最小值即可．
【详解】解：二次函数中，，因此二次函数开口向上，有最小值．
二次函数图象经过点，
将代入解析式得：，
整理得，
解得或．
对称轴在轴左侧，二次函数对称轴公式为，
，
解得，
因此舍去，得．
将代入二次函数解析式得：，
配方得，
因此该二次函数的最小值为．
16. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点的坐标为，点的坐标为，线段绕某点旋转一个角度得到对应线段，点的对应点为点，其中点的坐标为，则这个旋转中心的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据的坐标建立平面直角坐标系，连接，利用网格分别作的垂直平分线，两垂直平分线相交于点，点即为所求．
【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，下图点即为所求，点坐标为．
17. 如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，则的长等于__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理；延长、相交于点，由正方形的性质可得，结合是的中点可得，最后利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图所示，延长、相交于点，
∵四边形和四边形都是正方形且点B，C，E在一条直线上，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，即，
∵，，
∴在中，，
∴．
18. 实数a，b，c满足，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得，由得到，进而得到，则b和c可以看作是关于x的一元二次方程的两个实数根，再利用判别式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即
∴，
∴b和c可以看作是关于x的一元二次方程的两个实数根，
，
∴，
整理得，
∴，
解得．
三、解答题（本大题共4题，每题8分，共32分）
19. 计算：．
【答案】6
【解析】
【分析】原式分别计算负整数指数幂、绝对值以及特殊角三角函数，然后再进行加减运算即可．
【详解】解：
．
20. 已知：如图，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据证明，得，进而可得结论．
【详解】证明：在和中，
，
∴，
∴，
又，
∴，
∴．
21. 求代数式的值：，其中．
【答案】
【解析】
【分析】原式将除法转换为乘法，约分后得，再通分可得，再把代入计算即可．
【详解】解：
，
把代入得：原式．
22. 如图，在一笔直的海岸线上有、两个观测站，在的正西方向，海里，从测得船在北偏东的方向，从测得船在北偏西的方向．求船离海岸线的距离．（结果精确到海里．参考数据，．）
【答案】海里
【解析】
【分析】过点作，则有，，根据海里，可得，求出的长度即为船离海岸线的距离．
【详解】解：如下图所示，过点作，
由题意可知，，
，
，，
，
，
海里。
答：船离海岸线的距离大约为海里．
四、解答题（本大题共4题，每题10分，共40分）
23. 某商场为某品牌冰箱举办有奖促销活动，采取盒中摸球抽奖方式，规定：顾客每购买1台该品牌冰箱可获得1次抽奖机会，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.3，中三等奖的概率为0.6．商场设计一个用2种颜色小球抽奖方案如下：在一个盒子中放入2个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出2个球，摸到2个红球的顾客中一等奖，摸到2个白球的顾客中二等奖，摸到1红1白两个球的顾客中三等奖．商场设计的方案符合规定吗？为什么？（用列表或树状图说明）
【答案】商场设计的方案符合规定，理由见解析．
【解析】
【分析】画出树状图，得出摸出2个球的所有等可能结果，分别计算出中一、二、三等奖的概率，再和规定的概率比较，判断方案是否符合规定即可．
【详解】解：商场设计的方案符合规定，理由如下：
记2个红球分别为红1，红2，3个白球分别为白1，白2，白3，画树状图如下：
由树状图知，共有20种等可能的结果，其中摸到2个红球的结果有2种，
因此，中一等奖的概率，
摸到2个白球的结果有6种，
因此，中二等奖的概率 ，
摸到1个红球1个白球的结果有12种，
因此，中三等奖的概率 ，
三个奖项的概率与题目规定的概率完全一致，
因此商场设计的方案符合规定．
24. 美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某县城区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）．
（1）根据图中所提供的信息，填空：2023年比2022年增加了__________公顷，在2023年，2024年，2025年这三年中，绿地面积增加最多的是__________年；
（2）为满足城市发展的需要，计划到2027年使绿地总面积达到公顷，试求这两年（）绿地面积的年平均增长率；
（3）根据发展计划，在图中画出年绿地变化折线图．
【答案】（1）3；2024
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）用2023年的绿地面积减去2022年的绿地面积可得第一空的答案；求出2024年和2025年这两年的绿地面积的增加量，比较即可得到第二空的答案；
（2）设这两年（）绿地面积的年平均增长率为x，再根据2025年和2027年这两年的绿地面积建立方程求解即可；
（3）根据（2）所求求出2026年的绿地面积，再画图即可．
【小问1详解】
解：公顷，
∴2023年比2022年增加了3公顷；
∵公顷，公顷，且，
∴在2023年，2024年，2025年这三年中，绿地面积增加最多的是2024年；
【小问2详解】
解：设这两年（）绿地面积的年平均增长率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：这两年（）绿地面积的年平均增长率为；
【小问3详解】
解：公顷，
画图如下：
25. 如图，反比例函数的图象与直线交于，两点，点是线段上一个动点（与、两点不重合），过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点、，、与反比例函数图象分别交于点、．
（1）求点的坐标；
（2）求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把反比例函数与一次函数的解析式联立起来，解方程即可求出点的坐标；
（2）点是线段上一个动点，设点的坐标为，则有点的纵坐标为，点的横坐标为，根据点、在反比例函数上，分别求出点的横坐标和点的纵坐标，即为、的长度，所以可得，再利用二次函数的性质求出的最小值．
【小问1详解】
解：解方程，
整理可得：，
解得：，，
点在点左侧，
点的横坐标为，
，
点的坐标为；
【小问2详解】
解：点是线段上一个动点，
设点的坐标为，其中，
点的纵坐标为，点的横坐标为，
点在反比例函数上，
，
，
，
点的横坐标为，点在反比例函数上，
点的纵坐标为，
，
，
，
当取最大值时有最小值，
的最大值为，
的最小值为．
26. 如图，点是线段上一点，如果满足，那么称线段被点黄金分割，点是线段的黄金分割点．完成下列问题：
（1）填空：如图①，点是线段的黄金分割点，若，则__________；（用含根号的式子表示）
（2）如图②，在中，，点在斜边上，，点在直角边上，，证明：点是线段的黄金分割点；
（3）尺规作图：如图③，作出线段的一个黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）
（2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，解方程即可得到答案；
（2）由勾股定理得，则，，再证明，即可证明结论；
（3）如图1，作出线段的中点，过点B作的垂线，并在该垂线上截取，以点C为圆心，的长为半径画弧交于点D，再以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点P，则点P即为所求；同理在图2中作出靠近点A的黄金分割点即可．
【小问1详解】
解：∵点是线段的黄金分割点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（已检验）或（舍去）；
【小问2详解】
证明：∵在中，，
∴由勾股定理得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点是线段的黄金分割点；
【小问3详解】
解：如图所示，即为所求．
五、解答题（本大题共2题，每题12分，共24分）
27. 如图，菱形的边长为，，点、分别在边、上，且，，点从点出发，沿折线以的速度向点匀速运动(不与点重合)，的外接圆交边于点，连接、．设点运动时间为．
（1）当点在边．上运动时，证明：；
（2）当点在边上运动时，试判断的形状，并说明理由；
（3）在运动过程中，若点在内部，求的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）是等边三角形，理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）易知和都是等边三角形，利用同弧所对的圆周角相等，得到，从而得到，继而得到；
（2）利用证明得到，继而得到，故是等边三角形；
（3）画出当点E和点N重合时的图形，设的外接圆与、分别交于点，则当点P在线段上(含端点M，不含端点)或线段上(不含端点)时，点N在内部，分别利用（1）（2）的结论求出点的位置，即和的长度，结合图形即可得解．
【小问1详解】
解：证明：在菱形中，，，，
∴和都是等边三角形，
∴，，
∵的外接圆交边于点，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
是等边三角形，理由如下：
∵四边形是的内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
又由（1）得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
【小问3详解】
当点E和点N重合时，设的外接圆与、分别交于点，
则当点P在线段上(含端点M，不含端点)或线段上(不含端点)时，点N在内部，
①由（1）的，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∵点从点出发，沿折线以的速度向点匀速运动(不与点重合)，
∴当时，点P与点重合，
∴当时，点在内部，此时点P在线段上(含端点M，不含端点)；
②由（2）得，
∴，
∴当时，点P与点重合，
又∵当时，点P与点重合，
∴当时，点在内部，此时点P在线段上(不含端点)；
综上所述：当或时，点在内部．
28. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）填空：__________，__________；
（2）设为此抛物线的对称轴上一点，当的面积等于的面积时，求点坐标；
（3）直线．经过点，点为该直线上一动点，当有且只有一点满足时，求直线的函数表达式．
【答案】（1）
（2）或
（3）直线的函数表达式为或
【解析】
【分析】（1）把，代入，解出即可；
（2）求出直线与直线交点M坐标，及，求出，进而求出结论；
（3）点P在以为直径的圆上，设其圆心为N，得出直线与相切于点，分两种情况：当点P在x轴上方，且直线与相切于点P时，或当点在x轴下方，且直线与相切于点时，分别求出即可．
【小问1详解】
解：把，代入，得：
，
解得：；
【小问2详解】
解：，
∴此抛物线的对称轴是直线，
当时，，
，
设直线的表达式为，直线交直线于点M，
把，代入，得：
，
解得：，
∴直线的表达式为，
当时，，
，
，，，
，
，
∵的面积等于的面积，
，
，
，
或；
【小问3详解】
解：，
∴点P在以为直径的圆上，设其圆心为N，
，，，
，的半径为3，
∵直线经过点，有且只有一点满足，
∴直线与相切于点，
∴分两种情况：
当点P在x轴上方，且直线与相切于点P时，连接，作于点H，
，
，，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
把，代入直线，得：
，
解得：，
∴直线的函数表达式为；
当点在x轴下方，且直线与相切于点时，
同理，，
同理，得出直线的函数表达式为；
综上，直线的函数表达式为或．