2023年宿迁市泗洪县中考二模数学试题（含解析）

这是一份2023年宿迁市泗洪县中考二模数学试题（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. 3D. -3
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知一组数据：6，3，8，x，7，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是（ ）
A. 6B. 2C. 8D. 7
5. 如图，已知，平分，若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，一束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点，则点C的坐标是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，点A的坐标是，点C是以为直径的上的一动点，点A关于点的C对称点为点P，当点C在上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线有且只有一个公共点，则k的值为（ ）．
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9. 若式子在实数范围内有意义，则x取值范围是__________.
10. “天宫课堂”第一课开始，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，全国超过6000万中小学生观看授课直播，其中6000万用科学记数法表示为_______________．
11. 分解因式：______．
12. 分式方程的解为_________．
13. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是_____．
14. 已知关于一元二次方程有一个根为1，则的值为________．
15. 若扇形的圆心角为36°，半径为15，则该扇形的弧长为_____________．
16. 若直线与两坐标轴围成三角形的面积是6个平方单位，则 ______．
17. 若非负数a，b，c满足，则数据a，b，c的方差的最大值是________．
18. 如图，菱形的边长为10，，点M为边上的一个动点且不与点A和点D重合，点A关于直线的对称点为点，点N为线段的中点，连接，则线段长度的最小值是________．
三、解答题（本大题共4题，每题8分，共32分）
19. 计算：．
20. 解不等式组：
21. 已知：如图，中，，点是边上一点．
（1）尺规作图：以为对角线作平行四边形（要求：保留作图痕迹，不写作法）；
（2）填空：当 时，平行四边形是菱形．
22. 2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲并直播，神舟十三号三位航天员相互配合，生动演示了微重力环境下四个实验：A． 太空“冰雪”实验 B．液桥演示实验 C． 水油分离实验 D． 太空抛物实验．
某校九年级数学兴趣小组成员“对这四个实验中最感兴趣的是哪一个”随机调查了本年级的部分学生，并绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中的信息回答下列问题：
（1）在这次调查活动中，兴趣小组采取的调查方式是______；（填写“普查”或”抽样调查“）
（2）本次被调查的学生有 人；扇形统计图中D所对应的 ；
（3）该校九年级共有650名学生，请估计九年级学生中对“液桥演示实验”最感兴趣的学生大约有多少人？
四、解答题（本大题共4题，每题10分，共40分）
23. 小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度如图，已知测角仪的高度为米，她在点观测旗杆顶端的仰角为，接着朝旗杆方向前进米到达处，在点观测旗杆顶端的仰角为，求旗杆的高度(结果保留小数点后一位)．(参考数据：，)
24. 在一个不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外其他都相同．
（1）用树状图或列表法求：从袋中随机取出两个球，都是黑球的概率是多少？
（2）如果往袋中再放进x个白球和y个黑球，从中随机取一个球是白球的概率为，求出x和y之间的关系表达式．
25. 某校九年级甲、乙两班都为地震灾区进行捐款活动，最后统计结果时，甲班班长说：“我们班捐款的总额为1200元，我们班的人数比乙班的人数多；乙班班长说：“我们班捐款的总额也为1200元，我们班人均捐款比你们班人均捐款多5元”．请根据两位班长的对话求甲、乙班各有多少人？
26. 如图，在中，，角平分线，以D为圆心，为半径作，交于点E．
（1）直线与相切吗？为什么？
（2）若，，求的长．
五、解答题（本大题共2题，每题12分，共24分）
27. 如图，在四边形中，，，，，且．动点M从B点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，动点N同时从C点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动时间为t秒．
（1）当时，求t的值．
（2）当是等腰三角形时，求t的值．
28. 已知：抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图（1），点P是第一象限内抛物线上的点，连接，交直线于点D．设点P的横坐标为m，，求y与m之间的函数表达式；
（3）如图（2），点Q是抛物线对称轴上的点，连接、，点M是外接圆的圆心，当的值最大时，求点M的坐标．答案与解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. 3D. -3
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义即可解答．
【详解】解：的相反数为．
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数，熟记相关定义是解答本题的关键．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，则此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
3. 下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法运算法则求解即可．
【详解】解：A． ，原式结果错误；
B． ，原式结果正确；
C． ，原式结果错误；
D． ，原式结果错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
4. 已知一组数据：6，3，8，x，7，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是（ ）
A. 6B. 2C. 8D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据平均数为求出的值，然后根据中位数的概念求解．
【详解】解：∵数据，3，，，的平均数是，
∴，
解得：，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，6，，，
则中位数为6．
故选：A．
【点睛】本题考查中位数和平均数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．掌握中位数和平均数的定义是解题的关键．
5. 如图，已知，平分，若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，根据四边形的内角和定理求出，求出，根据角平分线的定义求出，再根据三角形内角和定理求出答案即可．
【详解】解：，，
，，
，
在四边形中，，
，
平分，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是能熟记全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质得到反比例函数图象的两个分支分别在第二象限，第四象限内，且在每个象限内y都随x的增大而增大，即可判断大小．
【详解】解：∵，
∴反比例函数图象的两个分支分别在第二象限，第四象限内，且在每个象限内y都随x的增大而增大，
∵点，，都在反比例函数图象上，
∴点A，B在第二象限，点C在第四象限，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了反比例函数的图象及性质，正确掌握反比例函数的增减性判断函数值的大小是解题的关键．
7. 如图，一束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点，则点C的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】延长交x轴于点D，利用反射定律，推出等角，从而证明得出，得到，得到，设的直线的解析式为，待定系数法求出解析式，并求出直线与y轴的交点坐标，即C点坐标．
【详解】延长交x轴于点D，如图所示：
由反射可知：，
又∵，
∴，
在和中，
∴，
∴
∵
∴
∴
∵，设的直线的解析式为，
∴，
解得，
∴的直线的解析式为，
∴当时，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了反射定律，全等三角形的性质和判定，待定系数法求一次函数解析式，综合性较强，将知识综合运用是本题的关键．
8. 如图，点A的坐标是，点C是以为直径的上的一动点，点A关于点的C对称点为点P，当点C在上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线有且只有一个公共点，则k的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由点C的运动轨迹，可以推出点P的运动轨迹.然后根据当点C在上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线有且只有一个公共点，推出，然后根据勾股定理和等积法分别求出和，进而确定点P的坐标，然后代入直线即可求出k的值．
【详解】解：如图，连接，，由题意可知，点为的中点，点为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵点A的坐标是，
∴，
∵点C的运动轨迹是以点B为圆心，为直径的圆，即：，
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，以为半径的圆，
∵，当时，无论取何值，，
∴直线过定点，即：，
∵当点C在上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线有且只有一个公共点， 即：直线与相切，
∴，
∴，
过点P作轴于点，
在中，由勾股定理得：，
由等积法，可得：，
即：，
解得：
在中，，
∴点P的坐标为，
把点的坐标代入，得：，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了双动点模型：主动点运动轨迹是圆，从动点运动轨迹也是圆，圆与直线的位置关系，勾股定理，等积法，熟记相关模型，利用数形结合思想是解决此类问题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________.
【答案】x≥-5
【解析】
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．
【详解】解：根据题意得：x+5≥0，解得x≥-5．
【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子（a≥0）叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10. “天宫课堂”第一课开始，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，全国超过6000万中小学生观看授课直播，其中6000万用科学记数法表示为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可．
【详解】，
，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了提公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的几种方法是解题的关键．
12. 分式方程的解为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式方程的解法解方程即可．
【详解】
解得：
经检验：是原方程的解
故答案为：
【点睛】本题主要考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
13. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是_____．
【答案】（2，1）
【解析】
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为：（2，1）．
【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．
14. 已知关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】将代入方程，解方程即可得到的值．
【详解】∵关于的一元二次方程有一个根为1，
∴将代入方程，得
，
解得：，
故答案为：
【点睛】本题主要考查一元二次方程解，理解一元二次方程的解是使得方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
15. 若扇形的圆心角为36°，半径为15，则该扇形的弧长为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用弧长公式计算即可．
【详解】解：该扇形的弧长．
故答案为：．
【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式．
16. 若直线与两坐标轴围成的三角形的面积是6个平方单位，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】先令，求出的值；再令求出的值即可得出直线与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：先令，则；
令，则，
直线与坐标轴的交点分别为，，，
，解得．
故答案：．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
17. 若非负数a，b，c满足，则数据a，b，c的方差的最大值是________．
【答案】8
【解析】
【分析】先求出的平均数，计算方差，然后求解即可．
【详解】解：∵，
∴数据a，b，c的平均数为，
设数据a，b，c的方差为S，
，
非负数，，满足
，即，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了平均数和方差计算公式，根据已知条件推出是解题关键．
18. 如图，菱形的边长为10，，点M为边上的一个动点且不与点A和点D重合，点A关于直线的对称点为点，点N为线段的中点，连接，则线段长度的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于直线对称，得到，取的中点K，是的中位线，则，作，根据可求出，在中，由勾股定理求得的值，再根据三角形的三边关系即可求出答案．
【详解】解：如图，连接，取的中点K，连接，作于H．
∵四边形是菱形，
∴，
∵点A关于直线的对称点为点，
∴，
∵点N为线段的中点, 点K是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴ ，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，三角形中位线定理，菱形的性质，解直角三角形， 勾股定理，三角形三边关系的应用，正确作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共4题，每题8分，共32分）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】首先计算乘方，零指数幂，特殊角的三角函数值，然后按照实数的运算顺序计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．还考查了零指数幂，特殊角的三角函数值．
20. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】根据一元一次不等式组的解法直接进行求解即可．
【详解】解：，
由，得；
由，得；
∴原不等式组的解集为．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
21. 已知：如图，中，，点边上一点．
（1）尺规作图：以为对角线作平行四边形（要求：保留作图痕迹，不写作法）；
（2）填空：当 时，平行四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）以点，点为圆心，适当长为半径画弧交于两点，连接两点交于点，可得，连接并延长，在延长线上截取，连接，，，如图所示，即为所求；
（2）设，可得，由菱形性质可得，，由勾股定理可得：，即：，解出方程即可．
【小问1详解】
解：以点，点为圆心，适当长为半径画弧交于两点，连接两点交于点，连接并延长，在延长线上截取，连接，，，如图所示，即为所求，
证明：由以点，点为圆心，适当长为半径，画弧交于两点，连接连点交于点，
可知，该直线为线段的垂直平分线，即：，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
设，
∵，
∴，
∵平行四边形是菱形，
∴，
∵，，
则由勾股定理可得：，即：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查尺规作图——作垂直平分线，平行四边形的判定及菱形的性质，勾股定理，解题的关键是利用平行四边形的判定正确作出图形，属于中考常考题型．
22. 2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲并直播，神舟十三号三位航天员相互配合，生动演示了微重力环境下的四个实验：A． 太空“冰雪”实验 B．液桥演示实验 C． 水油分离实验 D． 太空抛物实验．
某校九年级数学兴趣小组成员“对这四个实验中最感兴趣的是哪一个”随机调查了本年级的部分学生，并绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中的信息回答下列问题：
（1）在这次调查活动中，兴趣小组采取的调查方式是______；（填写“普查”或”抽样调查“）
（2）本次被调查的学生有 人；扇形统计图中D所对应的 ；
（3）该校九年级共有650名学生，请估计九年级学生中对“液桥演示实验”最感兴趣的学生大约有多少人？
【答案】（1）抽样调查
（2）50，10 （3）195人
【解析】
【分析】（1）根据抽样调查的特征，即可；
（2）由C类别人数及其所占百分比可得总人数，用D的人数除以总人数乘以即可求m；
（3）用总人数乘以样本中B类别人数所占比例即可．
【小问1详解】
解：兴趣小组采取的调查方式是抽样调查；
故答案为：抽样调查；
【小问2详解】
本次被调查的学生有（人），
扇形统计图中所占的百分比为：，
∴；
故答案为：50，10；
【小问3详解】
B对应人数为：（人），
（人），
答：估计九年级学生中对液桥演示实验最感兴趣的学生大约有195人．
【点睛】本题考查样本估计总体，扇形统计图和条形统计图，明确题意，准确从统计图获取信息是解题的关键．
四、解答题（本大题共4题，每题10分，共40分）
23. 小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度如图，已知测角仪的高度为米，她在点观测旗杆顶端的仰角为，接着朝旗杆方向前进米到达处，在点观测旗杆顶端的仰角为，求旗杆的高度(结果保留小数点后一位)．(参考数据：，)
【答案】旗杆的高度约为米
【解析】
【分析】过点作于点，则，，三点共线，米，米，设米，则米，在中，，，解得，在中，，，解得，则米，根据可得出答案．
详解】解：过点作于点，

根据题意得：，，三点共线，米，米，
设米，则米，
在中，，
，
解得，
在中，，
，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
米，
米．
答：旗杆的高度约为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
24. 在一个不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外其他都相同．
（1）用树状图或列表法求：从袋中随机取出两个球，都是黑球的概率是多少？
（2）如果往袋中再放进x个白球和y个黑球，从中随机取一个球是白球的概率为，求出x和y之间的关系表达式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可；
（2）根据概率计算公式列出关系式进行求解即可．
【小问1详解】
解：设三个黑球分别用A、B、C表示，两个白球分别用D、E表示：列表如下：
由表格可知一共有20种等可能性的结果数，其中从袋中随机取出两个球，都是黑球的结果数有6种，
∴从袋中随机取出两个球，都是黑球的概率是；
【小问2详解】
解：由题意得，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键．
25. 某校九年级甲、乙两班都为地震灾区进行捐款活动，最后统计结果时，甲班班长说：“我们班捐款的总额为1200元，我们班的人数比乙班的人数多；乙班班长说：“我们班捐款的总额也为1200元，我们班人均捐款比你们班人均捐款多5元”．请根据两位班长的对话求甲、乙班各有多少人？
【答案】甲班有48人，乙班有40人
【解析】
【分析】设乙班有人，则甲班有人，根据“乙班人均捐款比甲班人均捐款多5元” 列出关于的分式方程，解之经检验后可得出的值，即可求出结论．
【详解】解：设乙班有人，则甲班有人，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：甲班有48人，乙班有40人．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
26. 如图，在中，，是角平分线，以D为圆心，为半径作，交于点E．
（1）直线与相切吗？为什么？
（2）若，，求的长．
【答案】（1）直线与相切，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）过点作，垂足为，根据角平分线性质求出，根据切线的判定得出即可；
（2）由，，可得，，，由勾股定理可得，可得，由，可得，进而求得．
【小问1详解】
解：直线与相切，理由如下：
过点作，垂足为，
∵平分，，，
∴，
又∵为半径，
∴点在上，
又∵，
∴直线与相切；
【小问2详解】
∵，，
∴，，，
∵，
由勾股定理可得，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识点，能得出是解此题的关键．
五、解答题（本大题共2题，每题12分，共24分）
27. 如图，在四边形中，，，，，且．动点M从B点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，动点N同时从C点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动时间为t秒．
（1）当时，求t的值．
（2）当是等腰三角形时，求t的值．
【答案】（1）
（2）、或
【解析】
【分析】（1）过作交于G点，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质进一步求解即可；
（2）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以考虑三种情况，结合路程速度时间求得其中有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的方法进一步求解即可．
【小问1详解】
解：如图，过作交于G点，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由题意得，当M、N运动t秒后，，，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：；
即：当时，；
【小问2详解】
由题意得，当M、N运动t秒后，，，
第一种情况：当时，如图，
此时，解得；
第二种情况：当时，如图，作于，于，
则，
∵，，则设，
又∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即：，解得；
第三种情况：当时，如图，作于 ，于，则，同上，，，
∵，，
∴，
∴，即：，解得：；
综上所述，当为等腰三角形时，、或．
【点睛】此题主要考查了四边形综合应用以及相似三角形的判定与性质和锐角三角函数等知识，注意梯形中常见的辅助线：平移一腰、作两条高．构造等腰三角形的时候的题目，注意分情况讨论．此题的知识综合性较强，能够从中发现平行四边形、等腰三角形等，根据它们的性质求解．
28. 已知：抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图（1），点P是第一象限内抛物线上的点，连接，交直线于点D．设点P的横坐标为m，，求y与m之间的函数表达式；
（3）如图（2），点Q是抛物线对称轴上的点，连接、，点M是外接圆的圆心，当的值最大时，求点M的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）点的坐标为或
【解析】
【分析】（1）将，两点的坐标代入抛物线解析式求解可得；
（2）由题意可得直线的解析式为，过点作轴的平行线交于点，可得，根据对应边成比例得，由，，得，结合可得y与m之间的函数表达式为：；
（3由题意知点在的垂直平分线上，设的垂直平分线与交于点，连接、、，由，，可知，可知当取最小值时，最大，即：此时与对称轴相切，，利用勾股定理求得的长度，据此进一步求解即可．
【小问1详解】
解：将，代入，
得：，解得：
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
当时，，则，
设直线的解析式为，
将，，代入，
得：，解得：，
∴直线的解析式为，
过点作轴的平行线交于点，
则，
∴
∵，，
∴，
∵点P的横坐标为m，
∴，则，
∴，
则
又∵点P是第一象限内抛物线上的点，
∴，
则y与m之间的函数表达式为：；
【小问3详解】
∵，
∴对称轴为直线，
∵点是外接圆的圆心，
∴点在的垂直平分线上，
设的垂直平分线与交于点，连接、、，
则，
则，，
∴，
又∵，
∴当取最小值时，最大，
即：此时与对称轴相切，，
则，
∴点，
由对称性，当点在轴上方时，即也符合题意，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及相似三角形的判定与性质、三角形的外心、圆的有关性质等知识点．
A
B
C
D
E
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
（E，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
（E，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
（E，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（E，D）
E
（A，E）
（B，E）
（C，E）
（D，E）