福建省福州市鼓楼区2024-2025学年八年级下学期数学期中试卷含答案解析

这是一份福建省福州市鼓楼区2024-2025学年八年级下学期数学期中试卷含答案解析，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列航天图标，其文字旁的图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是( )
A．条形统计图B．折线统计图C．扇形统计图D．频数分布直方图
3．下列说法正确的是（ ）
A．为了了解全国中学生的睡眠时间，采取普查的方式B．嫦娥六号探测器发射前的零部件检查，采取抽样调查的方式
C．“随机选择一个南京景点游玩，恰好选中夫子庙”是随机事件D．“任意画一个三角形，其内角和为”是必然事件
4．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．四条边都相等B．对角线互相垂直且平分
C．对角线相等D．对角线平分一组对角
5．根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，正方形中，、分别在边、上，且，、是、与对角线的交点．若，，则正方形的面积为（ ）
A．64B．72C．98D．144
二、填空题
7．分式与的最简公分母是______．
8．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．
可以估计“钉尖向上”的概率是______．（结果精确到0.01）．
9．用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”第一步应假设_____．
10．今年某市有50000名考生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取4000名考生的数学成绩进行统计分析．下列说法正确的是______．（填序号）
①每名考生的数学成绩是个体；②50000名考生数学成绩的全体是总体；③4000名考生的数学成绩是总体的一个样本；④样本容量为50000
11．如图，点、在直线上，为直线外一点，连结，分别以点、为圆心，、的长为半径画弧，两弧交于点，连接、，则四边形是平行四边形的理由是______．

12．如图，矩形中，，、交于点，若，则______．
13．若分式的值为6，当、都变为原来的2倍，所得分式的值是______．
14．如图，在中，，，是的中位线，的平分线交于点，则线段的长为______．
15．若分式的值是大于2的整数，则整数的取值为______．
16．如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在对称点处，当时，的长为______．
三、解答题
17．计算：
(1)
(2)．
18．先化简，再求值：，其中是不大于3的正整数．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为、、．
(1)画关于原点成中心对称的；
(2)把向上平移4个单位长度，得，画出；
(3)和关于某点成中心对称，直接写出该对称中心的坐标_________．
20．某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），E（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
根据以上信息，解决下列问题：
(1)将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）；
(2)图②中项目E对应的圆心角的度数为______°；
(3)根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数．
21．如图，在四边形中，，对角线被另一条对角线垂直平分，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，则的长为______．
22．定义1：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”．
例如：，则分式与互为“3阶分式”．
定义2：若两个分式的和等于两个分式的积，即，那么就称分式与分式“互为友好分式”．
例如：分式与分式，因为，，
所以分式与分式“互为友好分式”．
(1)分式与互为“______阶分式”．
(2)分式与______互为“6阶分式”．
(3)请通过计算判断分式与分式是不是“互为友好分式”？
23．（1）如图1，四边形是平行四边形，、是对角线的三等分点：求证：四边形是平行四边形．
（2）如图2，四边形中，、是对角线的三等分点，延长、，分别与、交于、，若、分别是、的中点．求证：四边形是平行四边形．
24．小张和小王的加油习惯不同，小张每次都说：“师傅，帮我把油箱加满！”，而小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油！”（油箱未加满）．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小张和小王第一次加油油价为元／升，第二次加油油价为元／升．
(1)用含，的代数式分别表示小张和小王两次所加油的平均单价；（结果化成最简）
小张两次所加油的平均单价：______；
小王两次所加油的平均单价：______．
(2)小张和小王的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由．
25．【教材回顾】苏科版八年级上册数学教材第86页“探索三角形中位线定理”，提出如下问题：怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使这两部分能拼成一个平行四边形？
【操作】把三角形纸片沿其一条中位线剪成两部分，将绕点顺时针旋转，就可以把剪开的两部分拼接成一个平行四边形．
【类比操作】过平行四边形纸片的一个顶点，将平行四边形纸片剪成两部分，使这两部分能拼成一个菱形．要求使用无刻度的直尺和圆规在图中作出分割线和拼接线（注：裁剪和拼图过程均无缝隙且不重叠）
【拓展思考】
能否将一张梯形纸片剪成两部分，使这两部分拼成一个菱形吗？
请你通过画图的方式继续探索，画出满足条件的梯形（画必要的分割线和拼接线，画图工具不限，并在图形下方直接写出所画梯形满足的条件）
26．正方形中，点、分别在边、上．
(1)如图1，若，则线段、的位置关系是______．
(2)如图2，、分别是、的中点，与相交于点，连接．求证：．
(3)如图3，过点作的垂线，垂足为，连接．若，直接写出三条线段、、之间的数量关系______．
(4)若是直线下方一点，是正方形的对称中心，且，连接、、．线段、、之间的数量关系是否发生变化？请补全图形并说明理由．
…
0
1
2
…
…
0
无意义
*
无意义
*
…
经过深度思考，给出的回答如下：
1．梯形是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形；2．并非所有的梯形都可以通过这种方式剪拼成菱形，只有满足一定关系的梯形才可以．
《福建省福州市鼓楼区2024-2025学年八年级下学期数学期中试卷》参考答案
1．A
【难度】0.85
【知识点】中心对称图形的识别
【分析】本题考查中心对称图形，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转后能与原来的图形重合，据此即可求解．熟知中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
2．C
【难度】0.94
【知识点】选择合适的统计图
【分析】在扇形统计图中将总体看做一个圆，用各个扇形表示各部分，能清楚的表示出各部分所占总体的百分比．
【详解】根据题意，将空气（除去水汽、杂质等）看做总体，用各个扇形表示空气的成分（除去水汽、杂质等）中每一种成分所占空气的百分比，由此可以选择扇形统计图．
故选C．
【点睛】本题考查了统计图的选取，扇形统计图的特点及优点，熟练掌握各种统计图的特点及优点是解题的关键．
3．C
【难度】0.94
【知识点】判断全面调查与抽样调查、事件的分类
【分析】本题考查的是全面调查与抽样调查、随机事件，正确理解它们的概念是解题的关键．根据全面调查与抽样调查、随机事件的概念判断即可．
【详解】解：A. 为了了解全国中学生的睡眠时间，采取抽样调查的方式，原说法错误，不符合题意；
B. 嫦娥六号探测器发射前的零部件检查，采取全面调查的方式，原说法错误，不符合题意；
C. “随机选择一个南京景点游玩，恰好选中夫子庙”是随机事件，说法正确，符合题意；
D. “任意画一个三角形，其内角和为”是不可能事件，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
4．C
【难度】0.94
【知识点】利用菱形的性质证明、正方形性质理解
【分析】本题考查的是正方形与菱形的性质，根据正方形和菱形的性质逐项判断即可得答案，熟记性质是解本题的关键．
【详解】解：A、正方形和菱形的四条边都相等，则此项不符题意；
B、正方形和菱形的对角线都互相垂直且平分，则此项不符题意；
C、正方形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，则此项符合题意；
D、正方形和菱形的对角线都平分一组对角，则此项不符题意；
故选：C．
5．D
【难度】0.65
【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件及分式的值为的条件解答即可，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
【详解】解：由表格可知，当时分式无意义，
∴A不合题意；
∵当时，分式无意义，
∴B不合题意；
∵时分式的值为，
∴C不符合题意，D符合题意，
故选：D．
6．B
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握正方形的性质、三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
过点作, 并截取, 连接, , 先证明,, 再证明和全等得,, 则, 由此可求出, 然后证明和全等得, 则, 由此再根据勾股定理及正方形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：过点作, 并截取, 连接,， 如图所示：
∴,
∵四边形是正方形，
∴, ,,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,即,
∴,
在和中,
，
∴,
∴, ,
∴,
在中， 由勾股定理得：，
在和中,
，
∴,
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
∴正方形的面积为，
故选: B．
7．/
【难度】0.85
【知识点】最简公分母
【分析】本题考查了最简公分母，解题的关键是掌握确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母．
根据求最简公分母的方法求解即可．
【详解】解：分式与的最简公分母．
故答案为：．
8．
【难度】0.85
【知识点】由频率估计概率
【分析】本题考查了用频率估计概率．当试验次数足够大，频率趋于稳定，此时可以频率来表示概率．用频率估计概率作答即可．
【详解】解：由题意知，估计“钉尖向上”的概率是，
故答案为：．
9．a≤b
【难度】0.85
【知识点】三角形的识别与有关概念、反证法证明中的假设、用反证法证明命题
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可．
【详解】解：用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”
第一步应假设a≤b，
故答案为：a≤b．
【点睛】本题主要考查了反证法，熟记反证法的步骤是解题的关键．
10．①②③
【难度】0.85
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量.
直接根据个体、总体、样本、样本容量的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：①每名考生的数学成绩是个体，原说法正确；
②50000名考生数学成绩的全体是总体，原说法正确；
③4000名考生的数学成绩是总体的一个样本，原说法正确；
④样本容量为4000，原说法错误；
故答案为：①②③．
11．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【难度】0.85
【知识点】判断能否构成平行四边形
【分析】先根据分别以点、为圆心，、的长为半径画弧，两弧交于点，连接、，得出，，即可证明四边形是平行四边形．
【详解】解：根据尺规作图的画法可得，，，
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形，
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
12．
【难度】0.85
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长
【分析】此题主要考查了矩形的性质，勾股定理．根据矩形性质得，则，然后在中，由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：．
故答案为：．
13．3
【难度】0.85
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题考查了分式基本性质．将原分式中的x和y分别用和代替计算，即可得出答案．
【详解】解：由题意，，
当、都变为原来的2倍时，，
故答案为：3．
14．
【难度】0.85
【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查的是三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，等腰在三角形的判定．根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质、角平分线的定义得到，得到，计算即可．
【详解】解：∵是的中位线，
∴，，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．6或
【难度】0.85
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题．将分式化为，根据分式的值是大于2的整数，且x是整数，即可求解．
【详解】解：，
∵分式的值是大于2的整数，且x是整数，
∴或，
解得：或，
故答案：6或．
16．或
【难度】0.65
【知识点】用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、三线合一、折叠问题
【分析】当在的上方时，连接，则过的中点，交于点，由矩形的性质及勾股定理得，，，又由折叠的性质得，，再在中，利用勾股定理构造方程即可求解，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点，同理可得的长．
【详解】解：如下图，当在的上方时，连接，则过的中点，交于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
由折叠可得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴即，
解得，
如下图，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点，
同理可得：，，，，
，，
∴即，
解得，
综上，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一，折叠的性质，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键．
17．(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的混合运算：
（1）先通分，然后根据同分母分式的运算法则计算即可；
（2）把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简．
【详解】（1）
（2）
18．，
【难度】0.65
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值问题．注意，取合适的值即可求解；
【详解】解：原式
∵，
∴且且，
∵是不大于3的正整数．
∴，
∴原式
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】平移(作图)、画已知图形关于某点对称的图形、写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形
【分析】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．另外要求掌握对称中心的定义．
（1）根据网格结构找出A、B、C关于原点O的中心对称点的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据，即可求得对称中心坐标．
【详解】（1）（1）如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：∵，，
∴和关于某点成中心对称，对称中心的坐标为即．
20．(1)见解析
(2)72
(3)本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数约为240人
【难度】0.65
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联
【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）利用C组的人数除以所占百分比求出总人数，然后用总人数减去A、B、C、E组的人数，最后补图即可；
（2）用乘以E组所占百分比即可；
（3）用800乘以B组所占百分比即可．
【详解】（1）解：总人数为，
D组人数为，
补图如下：
（2）解：，
故答案为：72；
（3）解：（人）．
答：本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数约为240人．
21．(1)见解析
(2)4
【难度】0.65
【知识点】利用菱形的性质求线段长、证明四边形是菱形、线段垂直平分线的性质、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义，得到，进而得到，推出，证明四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等，即可证明四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质，得到，，再利用勾股定理，求出，进而得到，最后根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可求出的长．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵对角线被另一条对角线垂直平分，
∴，平分，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∵，
∴在中，
∴，
∵，O为中点，
∴.
故答案为：4
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是解题关键．
22．(1)5
(2)
(3)不是
【难度】0.65
【知识点】异分母分式加减法、分式乘法
【分析】本题考查了新定义，分式的加减以及分式的乘法运算．
（1）把所给两个分式相加即可判断；
（2）用6减去即可求解；
（3）分别计算所给两个分式的和与差几颗判断．
【详解】（1）∵
∴式与互为“5阶分式”．
故答案为：5；
（2）由题意，得
故答案为：；
（3）∵，
，
∴分式与分式不是“互为友好分式”．
23．（1）见解析；（2）见解析
【难度】0.65
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）连接交于点O，由平行四边形的性质得，，再证明，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）连接交于点O，连接，，先证明是的中位线，得，同理，再证明四边形是平行四边形，得，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
【详解】证明：（1）如图1，连接交于点O，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵G、H是对角线的三等分点，
∴，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形；
（2）如图2，连接交于点O，连接，，
∵G、H是对角线的三等分点，
∴，
∵E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形．
24．(1)小王两次所加油的平均单价为元/升；小张两次加油的平均单价为元/升
(2)当时，两种加油方式的平均单价相同；当时，小王的加油方式更省钱，见详解；
【难度】0.65
【知识点】分式加减的实际应用
【分析】本题考查分式运算的实际应用；作差法比较两个实数的大小．
（1）根据加油量=费用÷油的单价，平均单价=两次加油花的钱÷两次加油的总量列代数式即可；
（2）用小王的平均油价减去小张的平均油价，如果大于0则小张的省钱，如果小于0则小王的省钱，等于0则费用一样；
【详解】（1）解：小王两次所加油的平均单价为：
元/升；
设小张油箱加满能加a升．
小张两次加油的平均单价为元/升；
（2）解：，
∵，，
∴当时，，即，
两种加油方式的平均单价相同；
当时，
即，即，
小王加油的平均单价低，小王的加油方式更省钱．
25．（1）图见解析；（2）图见解析，需满足的条件为：
【难度】0.65
【知识点】证明四边形是菱形、梯形中位线定理、作线段(尺规作图)
【分析】本题考查了菱形的判定，梯形的性质，尺规作图．
（1）以点B为圆心，以为半径画弧，交于点E，连接，将沿方向向右平移使与重合；
（2）分别取的中点E，F，连接， 将梯形绕点F顺时针即可．
【详解】解：（1）如图，四边形即为所求作的菱形
（2）如图，，四边形即为所求作的菱形．
需满足的条件为：．
26．(1)
(2)证明见解析；
(3)
(4)线段、、之间的数量关系不发生变化，图形、理由见解析．
【难度】0.4
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）证明即可得解；
（2）取中点H，连接交于点I，易证，，根据中位线可知I是中点，即可得证；
（3）过B作于点P，于点N，易证，所以，所以，再证即可得解；
【详解】（1）解：在正方形中，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：取中点H，连接交于点I，
同理可证，
∴，
∴，
∵H为中点，
∴I是中点，
∵，
∴，
∴；
（3）过B作于点P，于点N，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（4）补全图形如图所示，
线段之间的数量关系不发生变化，理由如下：
由题可知，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
在四边形中，，
∴，
由（3）知，
故线段PA、PB、PC之间的数量关系不发生变化．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
A
C
C
C
D
B