福建省福州市仓山区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷含答案解析

这是一份福建省福州市仓山区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷含答案解析，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列各数中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．近年来，国产动画强势崛起，《哪吒之魔童降世》成为现象级作品，其票房一路高歌猛进，已斩获15600000000元佳绩．数据15600000000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下列各组长度的线段中，首尾顺次相接能构成直角三角形的是（ ）
A．1，，B．2，3，4C．1，2，2D．1，1，
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在菱形中，与交于点，，则菱形的面积为（ ）
A．12B．16C．24D．28
6．如图，在的正方形网格中，是网格线的交点，则下列线段长度最长的是（ ）
A．B．C．D．
7．关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数值随着的增大而减小B．点在该函数图象上
C．图象不经过第一象限D．图象与轴的交点坐标为
8．如图，在中，，与交于点，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，直线分别与轴，轴交于，直线分别与轴，轴交于，其中，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．问题：当时，求代数式的最小值小明的解题思路是：如图，把看作两直角边分别为和2的斜边的长，看作两直角边分别是和3的斜边的长，将问题转化为求的最小值．根据小明的解思路求出该问题的最小值为（ ）
A．B．7C．D．
二、填空题
11．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
12．因式分解：___________．
13．如图，在四边形中，，分别是的中点，若，则的长度为___________．
14．在平面直角坐标系中，，当线段最短时，的长为___________．
15．如图，在平面直角坐标系中，放置一块等腰直角三角板，使得两直角边分别与轴重合，，将三角板先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，斜边恰好落在直线上，则的值为___________．
16．如图，是边长为4的正方形的对角线，分别在上，平分，是上的动点，于，若，则下列结论正确的是___________．（写出所有正确结论的序号）①垂直平分；②的最小值为；③的面积为；④．
三、解答题
17．计算：．
18．在中，对角线AC平分．求证：四边形ABCD是菱形．
19．先化简：，然后从2，3，4中选一个合适的数作为的值，代入求值．
20．某文化创意工作室为打造具有特色的旅游纪念品，开展手工饰品制作项目，其中一款饰品的部件形状是一个不规则四边形，工作室需要确定这个部件平面图的面积，以便估算材料用量．如图所示，四边形是该饰品部件的平面图，通过高精度测量仪器测量得出：，请根据以上数据求出该饰品部件平面图的面积．
21．如图，，点在上，且满足．
(1)尺规作图：在上求作点，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若交于点，是的中点，连接，求证：．
22．在智能制造浪潮下，机器人产业发展迅猛，某机器人制造公司致力于生产不同类型的工业机器人，为满足生产需求，从供应商处采购两种关键零部件，分别是高精度传感器和高性能伺服电机，它们的成本及后续用于组装机器人后的产品售价数据如表：
(1)该公司首次投入20000元采购高精度传感器和高性能伺服电机共30件，请问两种零部件分别采购了多少件？
(2)首次采购零部件组装的机器人销售一空后，公司打算再次采购这两种零部件共250件（采购成本和产品售价保持不变），且第二次采购的总成本不超过180000元，那么公司此次应怎样制定采购方案，才能够获取最大销售利润？最大销售利润是多少呢？
23．已知实数满足．
(1)求证：为非负数；
(2)若，且，为正整数，，求证：一定是偶数．
24．如图1，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在轴上，点在轴上，．
(1)求两点的坐标；
(2)如图2，位于右侧的直线与的夹角为，且直线经过点，求直线的解析式．
(3)在（2）的条件下，是直线上一点，是线段上的一点，是否存在这样的点和，使得直线平分五边形的面积？若不存在，请说明理由；若存在，请求出此时的长．
25．生活中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．
(1)探索发现实验一：如图1，将正方形纸片沿对折，展开后沿折叠，使得落在折痕的点处，再将正方形纸片沿过点的直线进行折叠，使得点落在边上，点落在边上，折痕与分别交于．验证得知矩形纸片是标准纸．
实验二：如图2，将矩形纸片沿折叠，再沿折一次，折痕与交于点，通过测量得到，验证得知矩形纸片是标准纸．
请证明实验一或实验二中的矩形纸片是标准纸；（选择其中一个证明即可）
(2)拓展应用如图3，在标准纸片中，，是线段上的点，且，是的中点，将沿折叠得到，连接并延长，交于点．
①求证：是的中点；
②将矩形纸片沿折叠，使得落在线段的点处，求证：三点共线．
零部件类别
高精度传感器
高性能伺服电机
采购成本（元/件）
800
600
组装后产品售价（元/件）
1200
900
《福建省福州市仓山区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷》参考答案
1．C
【难度】0.85
【知识点】最简二次根式的判断、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A、不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、2不能再开方，是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．B
【难度】0.85
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键．
【详解】解：数据15600000000用科学记数法表示为，
故选：B
3．A
【难度】0.85
【知识点】判断三边能否构成直角三角形
【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，判断是否能组成直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】解：．∵，∴能构成直角三角形，故该选项符合题意；
．∵，∴不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
．∵，∴能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
．∵，∴能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
故选：A．
4．D
【难度】0.85
【知识点】幂的乘方运算、合并同类项、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘
【分析】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，幂的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D
5．C
【难度】0.85
【知识点】利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积
【分析】本题主要考查了菱形的性质，由菱形的性质可得出，，再根据菱形的面积公式为求解即可．
【详解】解：∵是菱形，
∴，，
∵，
∴，，
∴菱形的面积为：，
故选：C
6．B
【难度】0.65
【知识点】勾股定理与网格问题、比较二次根式的大小
【分析】本题主要考查了网格与勾股定理，结合网格利用勾股定理分别求出各线段的长度，比较即可得出答案．
【详解】解：，，
，，
∵
∴线段长度最长的是，
故选：B
7．B
【难度】0.85
【知识点】判断一次函数的增减性、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题考查一次函数的图象和性质．熟练掌握一次函数的图象和性质是解答本题的关键．令，求出y的值，即可判断B选项；根据，即得出y随x的增大而增大，可判断A选项；由，，可知图象经过第一、三、四象限，即可判断C选项；；令，求出x，即可判断D选项．
【详解】解：当时，，
∴点在函数图象上，故B选项符合题意；
∵，
∴y随x的增大而增大，故A选项不符合题意；
∵，，
∴图象经过第一、三、四象限，故C选项不符合题意；
当时，即，
解得：，
∴图象与轴的交点坐标为，故D不符合题意．
故选B．
8．A
【难度】0.65
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了平行四边形的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是关键；由含30度直角三角形的性质求得，由勾股定理求得，由平行四边形性质求得，最后再由勾股定理及平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴；
由勾股定理得；
∵四边形是平行四边形，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴；
故选：A．
9．C
【难度】0.65
【知识点】根据一次函数增减性求参数、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质，根据一次函数图象与系数的关系逐项分析判断即可．
【详解】解：．由两个函数图象可知，，故，故该选项不符合题意；
．由两个函数图象可知，，故，故该选项不符合题意；
．由可知，则，故该选项符合题意；
．由图象可知，，故，故该选项不符合题意；
故选：C．
10．D
【难度】0.85
【知识点】两点之间线段最短、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查勾股定理，两点之间，线段最短，矩形的判定与性质，灵活应用勾股定理是解题的关键．认真理解题意，结合，则，进行解答即可．
【详解】解：依题意，连接，与的交点记为，如图所示：
当点P与点F重合时，的最小值为的长，
由题意得，，，，
∵
∴四边形是矩形
∴，
∴，
则的最小值为，
故选：D．
11．
【难度】0.94
【知识点】二次根式有意义的条件
【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，
要使在实数范围内有意义，必须，
∴．
故答案为：
12．
【难度】0.85
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解，运用提公因式法进行因式分解，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：
13．4
【难度】0.85
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理，中位线的判定与性质，根据，则，再结合是的中位线，得，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：4．
14．2
【难度】0.85
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、垂线段最短
【分析】本题考查了点的坐标，垂线段最短，根据，得看做为轴的一点，此时点到轴的距离是线段最短，故得出，即可作答．
【详解】解：∵，
∴把看做为轴的一点，此时点到轴的距离是线段最短，
即轴，
∴，
∴，
故答案为：2
15．2
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象平移问题、求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查了平移的性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据，得，结合平移规律得平移后点B坐标为，再根据一次函数图象上点的坐标特征进行列式计算即可解答．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，放置一块等腰直角三角板，使得两直角边分别与轴重合，，
∴，
∵将三角板先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度
∴平移后点B坐标为，
依题意，平移后点B在直线上，
∴，
解得．
故答案为：2．
16．①③④
【难度】0.4
【知识点】根据正方形的性质证明、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题
【分析】先由正方形的性质以及平分，得，证明，即，根据三角形内角和得．则，垂直平分，则点G关于对称的点为点A，连接，此时，即的最小值为，证明为等腰直角三角形，运用勾股定理列式得，根据三角形的面积公式列式计算即可得，运用勾股定理得，证明，根据等面积法进行列式，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：∵是边长为4的正方形的对角线，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设交于点N，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分，
故①符合题意；
∵垂直平分，
∴则点G关于对称的点为点A，
连接，
此时，
当三点共线时，的值最小，
即的最小值为，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴（负值已舍去），
∴的最小值为；
故②不符合题意；
∵当时，则
∵
∴
故③符合题意；
∵，
∴设
则，
在中，
则
连接
∵垂直平分，
∴,，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
故④符合题意．
故答案为：①③④
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的有关计算，垂直平分线的判定与性质，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
17．
【难度】0.85
【知识点】负整数指数幂、二次根式的乘法、求一个数的绝对值
【分析】本题考查了负整数指数幂、化简绝对值，二次根式的乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先化简绝对值以及负整数指数幂，计算二次根式的乘法，再运算加减法，即可作答．
【详解】解：
．
18．见解析
【难度】0.65
【知识点】证明四边形是菱形、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】根据平行四边形性质得出，再结合平分线即可得出，进而得出结论；
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴．
∴．
∵AC平分，
∴．
∴．
∴．
∴四边形ABCD是菱形．
【点睛】此题考查平行四边形性质和菱形的判定定理，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
19．，
【难度】0.85
【知识点】分式化简求值、分式有意义的条件
【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再运算除法，化简得，结合分母不为0，则把代入，进行计算，即可作答．
【详解】解：
∵
∴
则把代入，
得．
20．
【难度】0.85
【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．连接．由勾股定理得出，再由勾股定理逆定理得出是直角三角形且．再根据该饰品部件平面图的面积，计算即可得出答案．
【详解】解：如图，连接．
在中，，，，
由勾股定理得：，
∵，，
在中，，，
∴，
∴是直角三角形，．
∴该饰品部件平面图的面积
，
答：该饰品部件平面图的面积为．
21．(1)见详解
(2)见详解
【难度】0.85
【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质、斜边的中线等于斜边的一半、作垂线(尺规作图)
【分析】（1）过点A作于点G，故，则点G即为所求．
（2）由（1）可知，由平行线的性质可得，，结合直角三角形斜边上的中线的性质可得，则，可得，进而可得，则可得．
【详解】（1）解：如图，点G即为所求．
（2）证明：由（1）可知，．
∵，
∴，，
∴为直角三角形．
∵F是的中点，
∴
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查作图—复杂作图、平行线的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．(1)采购高精度传感器10件，采购高性能伺服电机20件
(2)第二次采购高精度传感器150件、高性能伺服电机100件才能够获取最大销售利润，最大销售利润是90000元．
【难度】0.85
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键．
（1）分别设两种零部件分别采购的数量为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）设第二次采购高精度传感器x件，则采购高性能伺服电机件，根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集，设销售利润为W元，写出W关于x的函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时W值最大，求出其最大值及此时的值即可．
【详解】（1）解：设采购高精度传感器a件，采购高性能伺服电机b件．
根据题意，得，
解得．
答：采购高精度传感器10件，采购高性能伺服电机20件．
（2）解：设第二次采购高精度传感器x件，则采购高性能伺服电机件，
根据题意，得，
解得，
设销售利润为W元，
则，
∵，
∴随x的增大而增大，
∵，
∴当时W值最大，，
则（件）．
答：第二次采购高精度传感器150件、高性能伺服电机100件才能够获取最大销售利润，最大销售利润是90000元．
23．(1)见详解
(2)见详解
【难度】0.65
【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算、利用二次根式的性质化简、因式分解的应用
【分析】本题主要考查了二次根式的应用、非负数的性质：因式分解，整式的混合运算，解题时要熟练掌握并能准确代入计算是关键．
（1）依据题意，由，从而，进而可以判断得解；
（2）依据题意，由，，从而，又由m为正整数，从而，故可判断得解．
【详解】（1）证明：∵实数满足
∴
．
∵对于任意实数a，b都有，
∴．
∴为非负数．
（2）解：∵，，
∴
．
又∵m为正整数，
∴．
∴c一定是偶数．
24．(1)，
(2)
(3)存在，
【难度】0.4
【知识点】一次函数与几何综合、利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形
【分析】（1）求出，得，而，故，即可作答．
（2）过D作直线l于H，过H作轴于K，交于T，设，证明，可得，即可解得，从而得到直线l的解析式为；
（3）存在点P和F，使得直线平分五边形的面积，设的中点为N，的中点为G，当经过N，G时，平分五边形的面积，求出，，可得得直线解析式为，再求出，，即．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：过D作直线l于H，过H作轴于K，交于T，如图：
设，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，直线l，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
解得，
∴
设直线l的解析式为，
把，分别代入，
得
解得
∴直线l的解析式为；
（3）解：存在点P和F，使得直线平分五边形的面积，理由如下：
设的中点为N，的中点为G，
∵四边形是平行四边形，
∴经过N的直线平分平行四边形的面积，
∵G为中点，
∴当经过N，G时，平分五边形的面积，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵的中点为G，
∴，
∴，
设直线解析式
把，代入，
得，
解得，
∴直线解析式为
令得，
∴，
依题意
，
∴，
解得，
把代入，
得，
∴，
则．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，勾股定理，三角形，平行四边形面积，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
25．(1)见详解
(2)①见详解②见详解
【难度】0.4
【知识点】正方形性质理解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形
【分析】（1）如图1，先得出，再结合勾股定理得，整理得，得出矩形是标准纸，如图2中，设，，即，由翻折变换的性质可知，结合勾股定理得，故，即可作答．
（2）①运用折叠的性质以及三角形内角和性质，得，证明，然后由等角对等边，再证明即可；
②连接交于点．延长交的延长线于点T．分别取，的中点，连接．运用证明，整理得，，同法可证，结合勾股定理得，，再整理边的关系得，即可作答．
【详解】（1）证明：如图1中，由题意，，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
∴，
∴
∴，
∴矩形是标准纸；
如图2中，设，，
∴，
由翻折变换的性质可知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形是标准纸；
（2）解：①连接，
由翻折变换的性质可知，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点H是的中点；
②连接交于点．延长交的延长线于点T．分别取，的中点，连接．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同法可证
∴，
∴，
设，，
则，，
∵点H是的中点；
∴
∴
∵，
∴，
∴，
∴P与重合，
∴D，P，E共线．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
D
C
B
B
A
C
D