四川省绵阳市2024-2025学年高三上学期第二次诊断性考试（1月）数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省绵阳市2024-2025学年高三上学期第二次诊断性考试（1月）数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 对于函数，，则， 设函数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足，则（ ）
A. 2B. 3C. D.
2. 已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）
A. 2B. 1C. 0D. 不确定
3. 直三棱柱中，，，则与所成的角的大小为（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
4. 若直线：与直线：平行，则这两条直线间的距离为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知等比数列的前项和为，若，则公比（ ）
A. B. C. D.
6. 已知过点的直线与抛物线交于点A，B两点，若A，B的纵坐标分别为，，则（ ）
A. 4B. 3C. 0D. 2
7. 已知正四棱台中，，可在该正四棱台中放入的最大球的体积为，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最小值为（ ）
A B. C. D. 0
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对于函数，，则（ ）
A. 与的图象有相同的对称轴
B. 与有相同的最小正周期
C. 将图象向右平移个单位，可得到图象
D. 图象与图象在上只有一个交点
10. 设函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 一定存在单调递减区间
B. 存在a，b，使得没有最值
C. 若既有极大值，又有极小值，则
D. 令，，当时，
11. 已知圆：，双曲线：左，右焦点分别为，，为双曲线右支上的一点，直线的斜率恰好为该双曲线的离心率，且为直角三角形，则（ ）
A. 的值唯一B.
C. D. 的渐近线与共有4个公共点
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，则______.
13. 已知，，则______.
14. 在几何学的世界里，阿基米德体以其独特的形状和美丽的对称性吸引了无数数学爱好者和科学家，它是一种半正多面体，其中每个面都是正多边形，且各个面的边数不全相同.如图，棱长为2的半正多面体是将一个棱长为6的正四面体切掉4个顶点所在的小正四面体后所剩余的部分，已知A，B，C，D为该半正多面体的四个顶点，点P为其表面上的动点，且平面，则P点的轨迹长度为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）若，求B；
（2）若，，求c.
16. 已知函数.
（1）若时，求曲线在处的切线方程；
（2）若时，在区间上的最小值为，求实数的值.
17. 已知数列是公差大于0的等差数列，数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设.
（i）试写出，，值；
（ii）求数列的前20项和.
18. 如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，，点为的中点，且，.
（1）求证：；
（2）若二面角平面角的余弦值为，求三棱锥的体积；
（3）求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
19. 如图，已知面积为的矩形，与坐标轴的交点是椭圆：的四个顶点，且该椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）为坐标原点，过下顶点的直线与轴相交于点（不同于），与直线相交于点，与椭圆相交于点，直线与直线相交于点.
（i）证明：；