四川省绵阳市2024届高三上学期第二次诊断性考试数学(文)试卷(Word版附解析)
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注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将答题卡交回.
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数满足,则复数是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由复数的除法运算计算即可.
【详解】由,可得.
故选:D.
2. 已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法,结合集合交集的定义进行求解即可.
【详解】因为,
所以,
故选:A
3. 已知,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用,结合数量积运算即可.
【详解】由,则,
得
即,解得,
因为,
所以与的夹角为.
故选:C
4. 若变量x,y满足不等式组则的最大值是( )
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据约束条件,作出可行域,平移直线,由直线在y轴上的截距最大时,目标函数取得最大值求解.
【详解】解:由变量x,y满足作出可行域,如图所示:
令,平移直线,当直线经过点时,直线在y轴上的截距最大,此时目标函数取得最大值2,
故选:D
5. 已知变量x,y之间线性回归方程为,且变量x,y之间的一组相关数据如表所示,
则下列说法正确的是( )
A.
B. 变量y与x是负相关关系
C. 该回归直线必过点
D. x增加1个单位,y一定增加2个单位
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定数据及回归方程求出样本中心点,再逐项判断即可得解.
【详解】依题意,,
由,解得,A错误;
回归方程中,,则变量y与x是正相关关系,B错误;
由于样本中心点为,因此该回归直线必过点,C正确;
由回归方程知,x增加1个单位,y大约增加2个单位,D错误.
故选:C
6. 已知为上的减函数,则( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数函数的单调性得到与0.5的大小,再利用为上的减函数判断.
【详解】因为,
所以,
又因为为上减函数,
所以,
故选:B
7. 已知,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式平方判断充分性,再通过特殊值法判断必要性即可得到答案.
【详解】充分性:若,则由平方得,即,故充分性成立,
必要性:令,则,但,故必要性不成立,
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:A
8. 已知角的终边与角的终边关于对称(为象限角),则( )
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据对称性确定,,再代入化简后的,即可求解.
【详解】设角上任一点为(除原点),点关于的对称点为,落在角的终边,
根据三角函数的定义可知,,,
所以.
故选:C
9. 如图是的大致图象,则的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】数形结合和导数分析A选项函数图像特征,根据,奇偶性,单调性,利用排除法选出正确答案.
【详解】
对于A选项,研究
的图像可知与轴有两个交点,且一点为
坐标原点,另一个点横坐标为正,其他函数都不具备这样的特点.
另外因为时
所以为R上的增函数,
所以在R上在某一个值左侧为减函数,右侧为增函数,
结合零点和绝对值对图像的影响可判断A正确.
根据排除D选项,
B选项根据
对于都成立可以判断B为偶函数,与所给图像不符,所以B不正确.
C选项根据当时,为上得增函数
与所给图像不符,所以C不正确.
故选:A
10. 已知数列的前n项和为,且,则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求数列的解析式,再结合数列的解析式,以及条件,判断数列和的单调性,即可判断选项.
【详解】由条件可知,,
当时,,
当时,,
验证,当时,,
所以,
当时,,单调递减,此时,故A错误;
,单调递增,所以,故B错误;
当时,,成立,
当时,,故C错误;
当时,,
当时,单调递减,当时,数列取得最大值,,
当时,,
所以,故D正确.
故选:D
11. 已知曲线与x轴交于不同的两点A,B,与y轴交于点C,则过A,B,C三点的圆的圆心轨迹为( )
A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线
【答案】A
【解析】
【分析】首先求点的坐标,再利用,可求得轨迹方程.
【详解】的对称轴为,由对称性可知,圆心在上,
令,,
得,
设点在点的左边,所以点的坐标为,,
设圆心为,
根据,得,
整理为,
当时,此时,,,两点重合,圆心为的轨迹方程为,
所以,则,即圆心,
所以圆心的轨迹方程为,而点满足条件,所以圆心轨迹为一条直线.
故选:A
12. 设分别为椭圆的左,右焦点,以为圆心且过的圆与x轴交于另一点P,与y轴交于点Q,线段与C交于点A.已知与的面积之比为,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可逐步计算出点A坐标,由点A在椭圆上,将其代入椭圆方程得到等式后,借助等式即可计算离心率.
【详解】由题意可得、,,
则以为圆心且过的圆的方程为,
令,则,由对称性,不妨取点在轴上方,即,
则,即,
有,则,
又,即有,即,
代入,有,即,
即在椭圆上,故,
化简得,由,
即有,
整理得,即,
有或,
由,故舍去,即,
则.
故选:B.
【点睛】方法点睛:求椭圆的离心率时,可将已知的几何关系转化为关于椭圆基本量a,b,c的方程,利用和转化为关于的方程,通过解方程求得离心率.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 己知为钝角,,则_______.
【答案】
【解析】
【分析】利用同角三角函数基本关系和两角和的正弦公式即可得到答案.
【详解】因为为钝角,,所以,
所以,
故答案为:.
14. 若为奇函数,则______.
【答案】##
【解析】
【分析】首先求函数的定义域,根据奇函数的性质,求的值,再验证函数为奇函数.
【详解】,
由,得或,
所以函数的定义域为,
因为奇函数的定义域关于原点对称,所以,得,
此时,
,
即,函数为奇函数,所以.
故答案为:
15. 甲、乙二人用4张不同的扑克牌(其中红桃3张,方片1张)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张.则甲、乙二人抽到的花色相同的概率为______.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】由题意得到都抽到是红桃,然后利用古典概型的概率求解.
【详解】解:甲、乙二人抽到的花色相同的概率为,
故答案为:
16. 已知分别是双曲线的左,右焦点,过点作E的渐近线的垂线,垂足为P.点M在E的左支上,当轴时,,则E的渐近线方程为_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件,结合双曲线的对称性取渐近线,求出点坐标,再列出方程求解即得.
【详解】由双曲线的对称性,取渐近线,
由直线垂直于直线,得直线:,
由与联立解得,即,
由轴,且,得,而点M在双曲线E的左支上,
因此,即,又,整理得,解得,
所以双曲线E的渐近线方程为.
故答案为:
【点睛】关键点睛:求双曲线离心率或渐近线的方程问题,由题设条件建立关于的关系式是求解问题的关键.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17. 已知等差数列的前n项和为,且.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
【答案】17. ;
18. .
【解析】
【分析】(1)设数列的公差为,根据题中条件列出方程求解,得出首项和公差,即可求出通项公式;
(2)由(1)的结果,利用裂项相消的方法,即可求出结果.
【小问1详解】
设等差数列的公差为,
由题意得:解得:,
所以的通项公式为,
即.
【小问2详解】
令,则,
即
整理得:.
18. 绵阳市37家A级旅游景区,在2023年国庆中秋双节期间,接待人数和门票收入大幅增长.绵阳某旅行社随机调查了市区100位市民平时外出旅游情况,得到的数据如下表:
(1)能否有的把握认为喜欢旅游与性别有关?
(2)在以上所调查的喜欢旅游的市民中,按性别进行分层抽样随机抽取5人,再从这5人中随机抽取2人进行访谈,求这两人是不同性别的概率.
附:
【答案】(1)有的把握认为喜欢旅游与性别有关
(2)
【解析】
【分析】(1)首先计算与比较大小,即可作出判断;
(2)首先确定男女各2人和3人,再利用古典概型概率公式,即可求解.
【小问1详解】
根据列联表计算,
所以有的把握认为喜欢旅游与性别有关;
【小问2详解】
按分层比例可知,随机抽取的5人中,男性2人,女性3人,
设男性2人分别为,,女性3人分别为,
5人中任取2人的样本空间为,共包含10个样本点,
其中2人不同性别包含的样本为,有6个样本点,
所以5人中随机抽取2人进行访谈,求这两人是不同性别的概率.
19. 在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求及a;
(2)若周长为48,求的面积.
【答案】(1);
(2)84
【解析】
【分析】(1)结合数量积的运算及正弦定理,同角三角函数关系即可求解;
(2)结合余弦定理及三角形面积公式即可求解.
【小问1详解】
由,得,
由正弦定理得:,
因为,则,
由,得,所以,
则,又,解得,
所以;
【小问2详解】
,所以……①,
由余弦定理得:……②,
由①②得:,则.
20. 己知直线与抛物线交于A,B两点,F为E的焦点,直线FA,FB的斜率之和为0.
(1)求E的方程;
(2)直线分别交直线于两点,若,求k的取值范围.
【答案】20.
21.
【解析】
【分析】(1)联立直线与抛物线方程,将直线FA,FB斜率之和坐标化,利用韦达定理代入整理求解系数;
(2)由直线方程,令,用表示坐标, 代入利用志达定理将条件转化为的不等关系,求解不等式即得.
【小问1详解】
由,得,设直线与抛物线线交点,
的斜率,的斜率,
由已知直线FA,FB的斜率之和为0,
则
①,
联立方程组,消得,
由,且,得,则.
由韦达定理得,代入①化简得
,
由,解得,
故抛物线E的方程为;
【小问2详解】
由(1)知,焦点,则,,
令,得,
故,解得,
又,
由(1)知,,代入②式得,
,且,
解得,则,或,
故的取值范围为.
21. 己知函数.
(1)求曲线在处的切线方程:
(2)若在上是单调函数,求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用导数的几何意义,即可求切线方程;
(2)首先由,确定在上恒成立,再讨论和两种情况,分区间讨论,即可求解的取值范围.
【小问1详解】
,
且,,
所以曲线在处的切线方程为;
【小问2详解】
因为,且在上是单调函数
所以在上恒成立,即在上是单调递增函数,
若,则在上恒为正数,
在上单调递增,只需,得,
若,则在上恒为正数,
而在上单调递减,则只需,得,
综上可知,的取值范围是.
【点睛】关键点睛:本题第二问的关键是确定恒成立,再分情况,分区间讨论,转化为最值问题.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做,则按所做的第一题记分.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系中,曲线C参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线C极坐标方程;
(2)若A,B为曲线C上的动点,且,求的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)曲线C的参数方程消参后得普通方程,再由极坐标与直角坐标的关系化为极坐标方程;
(2)由,利用曲线C的极坐标方程,表示出和,化简求的值;
【小问1详解】
曲线C的参数方程为(t为参数),
消参得普通方程为,即,
则有,
所以曲线C极坐标方程为.
【小问2详解】
由(1)得,
因为,不妨设,
,
,
[选修4-5:不等式选讲]
23. (1)已知a,b,x,y均为正数,求证:并指出等号成立的条件;
(2)利用(1)的结论,求函数的最大值,并指出取最大值时x的值.
【答案】(1)证明见解析,当时取等号;(2)的最大值为,此时.
【解析】
【分析】(1)采用作差法进行证明,再根据最后化简的式子分析取等条件;
(2)将变形为,然后根据(1)的结论求解出最大值并确定此时的值.
【详解】(1)因为
又均为正数,所以,
所以,所以,
当且仅当,即时取等号;
(2)因为,
由(1)可知,
当且仅当,即时取等号,
所以的最大值为,此时.x
2
4
6
8
y
5
8.2
13
m
喜欢旅游
不喜欢旅游
总计
男性
20
30
50
女性
30
20
50
总计
50
50
100
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
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