山西朔州市平鲁区2026年中考第一次模拟数学试卷（含解析）中考模拟

这是一份山西朔州市平鲁区2026年中考第一次模拟数学试卷（含解析）中考模拟，共13页。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 数轴上表示的点到原点的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据绝对值的意义，求-7的绝对值，即可．
【详解】∵=7，
∴数轴上表示的点到原点的距离是7．
故选D．
本题主要考查数轴上表示数的点到原点的距离，掌握绝对值的意义，是解题的关键．
2. 下列各项调查中，适合采用抽样调查的是（ ）
A. 火车站进站前的安全检查
B. 调查全班名同学的视力情况
C. 长征四号运载火箭执行某次发射任务前的零部件检查
D. 调查某地区居民防火安全意识
【答案】D
【解析】
【分析】根据调查范围、调查要求判断适用的调查方式，调查范围广、工作量大，无需全面排查时适合抽样调查，对准确性要求高、事关安全或范围小的调查适合全面调查．
【详解】解：A．火车站进站安全检查需要检查每一名旅客，适合全面调查，故该选项不符合题意，
B．全班仅名同学，调查范围小，适合全面调查，故该选项不符合题意，
C．火箭发射前的零部件检查事关发射安全，必须逐个检查，适合全面调查，故该选项不符合题意，
D．某地区居民人数多，调查防火安全意识范围广，工作量大，适合抽样调查，故该选项符合题意．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项法则、积的乘方法则、完全平方公式、同底数幂除法法则逐项判断即可．
【详解】解：∵ 与 不是同类项，不能合并，
∴A选项错误；
∵，
∴B选项错误；
∵ 根据完全平方公式，，等式成立，
∴C选项正确；
∵，
∴D选项错误．
4. 斗是古代重要的计量器具与容量单位，多用于称量粮食，形状多为上大下小的方台．如图是一个斗的几何示意图，则其俯视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：根据立体图形的特点，其俯视图为，
故选：A ．
5. 将一块含角的直角三角板和一把直尺按如图所示的方式放置，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：如图，由题意得，
∴，
∵直尺两边平行，
∴．
6. 已知反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，随的增大而增大
B. 当时，随的增大而增大
C. 该函数的图象位于第二、四象限
D. 点在该函数的图象上
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质和图象上点的坐标特征，对各选项逐一判断即可．
【详解】解：已知反比例函数，其中，
∵ ，
∴ 反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，因此选项C错误；
当时，随的增大而减小，故选项A错误；
当时，随的增大而减小，故选项B错误；
对选项D，将代入，得，与点的纵坐标相等，
∴ 点在该函数图象上，选项D正确．
7. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一道题：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”其大意如下：三尺绫和四尺绢共值四钱八分，七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫和绢每尺各值多少？设每尺绫值分，每尺绢值分，则可列方程组为（“钱”和“分”为古代货币单位，1钱=10分）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查根据题意列二元一次方程组，解题关键是找准等量关系，完成正确单位换算，和的单位为分，需将总价换算为分后列等式．
【详解】解：∵设每尺绫值分，每尺绢值分，且钱分
∴ 由“三尺绫和四尺绢共值四钱八分”可得，四钱八分分，列等式得 ；
由“七尺绫和二尺绢共值六钱八分”可得，六钱八分分，列等式得 ．
因此可得方程组 ．
8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点在第一象限，点为上一点，将沿直线折叠得到，点的对应点落在的延长线上．若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点的坐标为，得出，，求出，根据菱形的性质得出，，，根据折叠得出，，，，证明轴，得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：∵点的坐标为，
∴，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∴，
根据折叠可得：，，，，
∵点的对应点落在的延长线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴轴，
∵，
∴，
∴，
∴点E的坐标为．
9. 某化学兴趣小组的同学完成了一个实验：测定小苏打样品中的含量．将一定质量的小苏打样品加水溶解后，向该溶液中逐渐加入稀盐酸，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为
B. 当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为
C. 当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为
D. 随着加入的稀盐酸的质量增多时，产生的气体的质量逐渐增多
【答案】B
【解析】
【分析】根据图像结合题目中给出的信息逐项进行判断即可．
【详解】解：由图像可知：
当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为，故A选项错误，不符合题意，
设时，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系式为，
∵时，，
∴，
解得：，
∴产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系式为，
∴当时，，即，
∴当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为，故B选项正确，符合题意，
当时，产生的气体的质量不变，都为，故C、D选项错误，不符合题意．
10. 如图，正五边形的边长为3，分别以点为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，则图中阴影部分的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接、，由正五边形可得，，由作法可知，，，则是等边三角形，进而得出，再利用弧长公式求出和的长，即可得解．
【详解】解：如图，连接、，
正五边形的边长为3，
，，
由作法可知，，，
，
是等边三角形，
，
，
，，
图中阴影部分的周长．
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 因式分解______．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式.再利用平方差公式分解即可.
【详解】解： .
12. 截至2026年1月底，我国电动汽车充电基础设施（枪）总数达到万个．某小区2026年安装了一批充电桩，其中慢充桩有个，快充桩的数量比慢充桩数量的2倍还多6个，则该小区安装了_______（用含的代数式表示）个充电桩．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，先用含的代数式表示出快充桩的数量，再将慢充桩和快充桩的数量相加即可得出该小区安装充电桩的总数．
【详解】解：由题意可知，慢充桩有个，快充桩的数量比慢充桩数量的倍还多个，即快充桩有个，
则该小区安装的充电桩总数为：个．
13. 以科技赋能生活，智能家电让品质生活触手可及．某智能家电体验馆有4台样机可供体验，分别为智能电视、智能灯具、智能门锁、智能扫地机器人，小李同学从这4台样机中随机选取一台进行体验，小赵同学也从这4台样机中随机选取一台进行体验，则两名同学选取的智能家电不一样的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】设四台样机分别记为，，，，画树状图，确定所有等可能的结果总数，再找出两名同学选取的智能家电不一样的结果数，根据概率公式计算即可．
【详解】解：设四台样机分别记为，，，，画树状图如图，
所有等可能的结果总数为种，两名同学选取的智能家电不一样的结果有种，
则两名同学选取的智能家电不一样的概率是．
14. 如图，正方形的边长为4，连接，点为延长线上一点，，连接，过点作于点，分别交，于点，，则的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理。首先通过互余关系证明，进而证明 求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后利用得到，根据相似比求出 的长
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在和中
，
，
在 中，，
，
∴，
∴，
∴.
15. 如图，二次函数的图像经过点，则的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】将点代入二次函数解析式，得到关于a、b、c的方程组，通过解方程组用含a的代数式表示b和c，最后代入待代数式进行整式加减运算即可解答．
【详解】解：∵二次函数的图像经过点，
∴，
可得：，解得：，
将代入①得，解得：
∴．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算、解不等式组：
（1）计算：．
（2）解不等式组：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用绝对值、负整数次幂、零次幂化简，然后再计算即可；
（2）先分别求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：，
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
所以该不等式组的解集为．
17. 为助力乡村振兴，山西省出台政策：对农产品网络销售额2万元以上且快递单量达1000单以上的经营主体给予补助．某农产品生产合作社在网络上销售小米，原计划达到2万元的销售额，在实际销售时，每单降价2元，结果销售量变成原计划的，销售额比原计划增加1000元．求实际销售时每单的价格．
【答案】14元
【解析】
【分析】设实际销售时每单的价格为元，根据“实际销售量是原计划的”列分式方程求解即可．
【详解】解：设实际销售时每单的价格为元，则原计划销售时每单的价格为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：实际销售时每单的价格为14元．
18. 4月23日是世界读书日，某校组织了以“书香润心，阅读致远”为主题的读书大赛．本次大赛包含“阅享心得”“经典诵读”“创意书签”这三项比赛，每项比赛的满分均为100分．其中“阅享心得”以10位评委打分的平均分作为最终分数；“经典诵读”以8位评委去掉最高分和最低分后的平均分作为最终分数；“创意书签”以满分乘投票率作为最终分数．小赵和小李两名同学参加了本次读书大赛．
数据收集与整理
a．“阅享心得”10位评委打分的折线统计图：
b．“经典诵读”8位评委打分数据：
小赵：83，88，90，95，83，76，80，86．
小李：90，85，95，88，96，94，99，95．
c．小赵和小李三项比赛的最终分数的统计表如下：
请根据以上信息，回答下列问题．
（1）计算统计表中的值．
（2）有人认为“小赵和小李两名同学‘阅享心得’这项比赛的最终分数一致，所以这两名同学这项比赛的水平一样”．请你从“中位数”“众数”的角度任选一个说明你的看法．
（3）若本次大赛将“阅享心得”“经典诵读”“创意书签”这三项比赛的最终分数按的比例计算最终成绩，请通过计算说明小赵和小李两名同学谁的最终成绩更好．
【答案】（1）
（2）中位数角度看，小李得分高于小赵得分；众数角度看，小赵得分高于小李得分；
（3）小赵的最终成绩更好
【解析】
【分析】（1）根据算术平均数的公式计算即可；
（2）根据中位数和众数的定义解答即可；
（3）根据加权平均数解答即可．
【小问1详解】
解：根据题意得：；
【小问2详解】
解：把“阅享心得”10位评委打分从小到大排列：
小赵：88，89，90，92，93，93，93，93，94，95；
小李：85，88，88，88，94，94，95，95，96，97；
∴小赵得分的中位数为分，小李得分的中位数为分，
∴中位数角度看，小李得分高于小赵得分；
∵小赵得分中93出现次数最多，小李得分中88出现次数最多，
∴小赵得分的众数为93，小李得分的众数为88，
∴众数角度看，小赵得分高于小李得分；
【小问3详解】
解：小赵的得分为：分，
小李的得分为：分，
∵，
∴小赵的最终成绩更好．
19. 如图，在中，，以为直径的交于另一点，过点作的切线交的延长线于点，交于点．若的半径为，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据切线的性质和直径定理得出直角，利用勾股定理求出，根据三线合一以及等边对等角得出，证明，最后利用对应线段成比例求解．
【详解】解：如图，连接，
∵与相切，
∴，
∴由勾股定理得，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得．
20. 项目式学习
位于山西省运城市万荣县的飞云楼，结构精巧，气势凌云，被誉为“中华第一木楼”．某综合与实践小组的同学以“测量飞云楼的高度”为主题展开实践活动，形成如下活动报告．
请根据综合与实践小组的同学测得的数据，计算飞云楼的高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，，）
【答案】
【解析】
【分析】连接并延长交于G点，则可得，．设，根据三角函数的定义可得，．根据列方程求出的值，进而可得的值．
【详解】解：如图，连接并延长交于G点，
则，，
设
在中， ，
∴，
在中， ，
∴，
又∵，
∴，
解得，
即，
∴．
21. 阅读与思考请认真阅读下面的材料，并完成相应的任务．
任务：
（1）问题1中这个相同的数量关系为______．
（2）将问题2的解答过程补充完整．
（3）如图，为等边三角形，请作出的布洛卡点，连接，，，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法）
【答案】（1）它们的和均为
（2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据，可得，再由三角形内角和定理可得，即可解答；
（2）证明，可得，从而得到，即可解答；
（3）作的角平分线交于点N，即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴；
同理；；
即这个相同的数量关系为它们的和均为；
【小问2详解】
解：，
．
，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图，点N即为所求；
理由如下：
由作法得：分别为的角平分线，
∴平分，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，即点N为的布洛卡点．
22. 综合与实践
问题情境：如图1，小李同学家在沙发背景墙上方同样的高度处安装了两盏射灯，其在墙上的照射区域的边缘为形状相同的抛物线的一部分．
数学建模：如图2，以左侧射灯在墙上的照射区域的边缘与水平地面的左侧交点为原点，水平地面向右为轴，竖直向上为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．将左、右两侧的射灯在墙上的照射区域的边缘所在的抛物线分别记为，将抛物线与水平地面的右侧交点记为，顶点记为；抛物线与水平地面的交点分别记为（点在点的左侧），顶点记为；两抛物线的交点记为．
测量数据：两盏射灯之间的距离为，即抛物线向右平移后与抛物线重合，点到水平地面的高度均为，点到点的水平距离为．
问题解决：
（1）直接写出点的坐标，并求出抛物线的函数表达式．
（2）求两盏射灯在地面的照射区域的宽度．
（3）如图3，小李同学的爸爸想定做一款沙发靠墙摆放，将沙发靠墙的一面抽象为矩形，已知该款沙发的高度，请通过计算说明，若和需要完全摆放在这两盏射灯在墙上的照射区域内（点位于上方），则该沙发的长度最大为多少米？
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意得出点M的坐标，然后用待定系数法，求出抛物线的解析式即可；
（2）先求出抛物线的解析式，然后求出，，即可得出答案；
（3）令求出x的值，令，求出x的值，然后求出沙发的最大宽度即可．
【小问1详解】
解：∵点到水平地面的高度均为，点到点的水平距离为，
∴点M的坐标为，
设抛物线的解析式为：，把代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：∵抛物线向右平移后与抛物线重合，
∴抛物线的解析式为：
，
令，
解得：，，
∴，，
∴两盏射灯在地面的照射区域的宽度；
【小问3详解】
解：令，
解得：，，
令，
解得：，，
∴该沙发的长度最大值为：
．
23. 综合与探究
问题情境：在矩形中，，．将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，点的对应点分别为，连接．
（1）特例感知：如图1，当点落在的延长线上时，连接，判断四边形的形状，并说明理由．
（2）如图2，当点落在边上时，求的长．
（3）深入探究：当点在同一条直线上时，连接，请直接写出的面积．
【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析；
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）由矩形与旋转可推出，，即可得解；
（2）连接、，过点作交于点，由矩形与旋转证明出，得到，，再证明，从而推出，，则，再结合勾股定理求解即可；
（3）①过点作延长线于点，与的交点为；②过点作延长线于点，过点作于点，在直角三角形中，利用锐角三角函数求解即可．
【小问1详解】
解：四边形是平行四边形，理由如下：
如图，连接
矩形，
，
由旋转的性质可知，，，，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：如图，连接、，过点作交于点，
在矩形中，，，
，，，
由旋转的性质可知，，，，
在中，，
，
，
，即，
又，
，
，，
，
又
，
，
，
，，
，
在中，；
【小问3详解】
解：①如图，过点作延长线于点，与的交点为，
，，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
②如图，过点作延长线于点，过点作于点，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
．
综上可知，当点在同一条直线上时，的面积为或．
同学
分数/分
阅享心得
经典诵读
创意书签
小赵
92
86
小李
92
73
项目主题
测量飞云楼的高度
测量工具
测角仪、皮尺
测量方案及示意图
如图，表示飞云楼的高度，在点处用测角仪测得飞云楼顶部点的仰角为，面向飞云楼前进到达点处，用测角仪测得飞云楼顶部点的仰角为．已知测角仪的高度，点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，点C，E，B在同一条水平直线上．
计算结果
……
……．
……
三角形的布洛卡点
【概念理解】
定义：如图1，已知点为内部的一点，连接，若，则点叫做的布洛卡点．
【问题解决】
问题1：如图1，通过研究可以发现，与与与分别具有相同的数量关系．
问题2：如图2，在中，，点为的布洛卡点，且，求的值．
解：，
．
，
……