辽宁省辽西重点高中2025-2026学年度下学期高一月考数学试题（含解析）

这是一份辽宁省辽西重点高中2025-2026学年度下学期高一月考数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了 已知，则， 已知向量，，，，若，则， 下列结论正确的有， 已知向量，，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列命题中正确的是（ ）
A. 终边在y轴的非负半轴上的角一定是直角B. 第二象限角一定是钝角
C. 第四象限角一定是负角D. 始边相同而终边不同的角一定不相等
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴线角和直角的定义可以判断A；根据象限角的定义举反例可以判断BC；根据任意角的定义可以判断D.
【详解】对于选项A，终边在y轴非负半轴上的角为，不一定是（直角），
例如的终边也在y轴非负半轴上，但它不是直角，故A错误；
对于选项BC，如是第二象限角，但不是钝角；如第四象限角，但不是负角，故BC错误；
对于选项D，因为任意角由一条射线绕顶点按逆时针或者顺时针旋转形成，
所以始边相同而终边不同的角一定不相等，故D正确.
故选：D.
2. 如果角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为角的终边过点，
所以，由三角函数的定义可知.
3. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画出三角函数线，结合扇形面积公式，数形结合得解.
【详解】画出的三角函数线，如图所示，则，
设扇形的面积为，则，
又，故.
故选：C.
4. 已知函数的最小正周期为T，若且在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据余弦函数的周期公式和求出，再根据余弦函数的图象可得结果.
【详解】由题，的最小正周期为，则，即，
又，可得，即，
所以，又，所以，
所以，当时，，
因为在上恰有3个零点，
所以，解得，
所以的取值范围是.
5. 已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为与的夹角为钝角，所以，即，解得.
当与共线时，，此时和反向，不满足题意.
故的取值范围为.
6. 在斜三角形中，是的中点，在边上，，与交于点，若，且，则的值为（ ）
A. 12B. 6
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】取中点，由中位线及比例关系可得，再结合为中线，代入向量数量积等式并利用，即可解得.
【详解】如图，取中点，连接，所以，
因为，所以,所以为中点，
所以，
所以．
因为，，
所以，
又，所以．
在斜三角形中，，所以，则．所以A正确．
7. 已知向量，，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的坐标列方程组，将其平方相加求出，再结合得出，即可求出.
【详解】由题意得，，
则，分别对两式平方得
两式相加得，即，
∵，∴，∴．
又由，且，所以，
解得：，，所以．
8. 已知函数满足，若函数在区间上单调，且，当取得最大值时，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先通过三角函数性质求出，再求取最大值时的取值，最后计算所求的三角函数值.
【详解】，其中，
因为，所以，，
即，，所以，，
所以，
令，，则，，
所以的对称中心为，，
因为在上单调，且，
所以与关于对称中心对称，的最大值为，
所以当取最大值时，，，
即，，
此时.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的有（ ）
A.
B. 已知角的终边在上，则
C. 已知点在第四象限，则角终边在第二象限
D. 终边落在直线上的角的集合是
【答案】BC
【解析】
【分析】根据角的终边位置可判断A，根据齐次式特征可判断B，根据函数值的符号可判断C，结合角的终边位置可判断D.
【详解】对于A，因为，，所以，故，A不正确；
对于B，因为角的终边在上，所以，所以，B正确；
对于C，因为点在第四象限，所以，所以角终边在第二象限，C正确；
对于D，终边落在直线上的角的集合是，D不正确.
10. 已知向量，，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若为钝角，则
【答案】AC
【解析】
【分析】利用向量的坐标运算计算即可.
【详解】对于A选项，当时，，故A选项正确；
对于B选项，当时，,解得，故B选项不正确；
对于C选项，若，则，所以，所以C选项正确；
对于D选项，依题意，，且，，
故，故D选项错误.
11. 已知函数，（），部分图象如图所示，其中，是图像上的两个点，假设，其中O为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A. 的值为
B. 的值为
C.
D. 在上的射影为
【答案】BCD
【解析】
【分析】先求出函数的周期，由可判断A；将点代入方程可得的值可判断B；根据图像可得的大小，再用两角差余弦公式计算即可判断C；由投影向量的公式可判断D.
【详解】对于A，因为，是图像上的最高点和最低点，
所以，所以，所以，
所以，故A错误；
对于B，将点代入方程，得，∴，，
∵，∴，故B正确；
对于C，在中，，，∴，
在中，，，∴，∴，
∴
，故C正确；
对于D，，
在上的射影为：，故D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 不等式在内的解集________.
【答案】
【解析】
【详解】，且，代入得：.
在内，恒成立，仅当时取等号，显然不在不等式解集内.
因此不等式等价于，即在内的解集，
由正切函数的图像与性质可得原不等式解集为.
13. 在中，为三等分点（靠近点），，若，且，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意建立平面直角坐标系，设出相关点坐标，利用向量的线性关系与向量数量积的坐标公式计算即得.
【详解】如图，以点为坐标原点，使在轴上，建立平面直角坐标系，
则，，因，可设，，
因为三等分点（靠近点），则，
根据，可得，即，
解得，于是.
14. 函数，为的内角，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】先证明.，将整理为，利用三角函数性质及换元法求出的最小值，从而得到m的范围.
【详解】因为，，
所以.
由，
得，
即，
在R上单调递增，在R上单调递减，所以在R上单调递增，
所以恒成立，
设，由于，所以，
所以，即，
则的取值范围是，
所以，即，
所以实数m的取值范围为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15. 已知．
（1）把改写成的形式，并指出它是第几象限角；
（2）求，使与终边相同，且．
【答案】（1），第一象限角；
（2）和.
【解析】
【分析】（1）由题意，，根据角的相关概念，即可判断；
（2）先根据终边相同的角的关系写出的表达式，再结合的取值范围确定的值，即可求出角.
【小问1详解】
因为，又，
所以把写成的形式为，
它是第一象限角．
【小问2详解】
与终边相同的角为，
所以当，或时，，或，满足．
即得所求角为和．
16. 已知向量，满足，，．
（1）求向量与的夹角；
（2）若，求实数k的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
由，得，
即，则，
所以，则，
又，则.
【小问2详解】
由，得，
则，
即，解得.
17. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，先把函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移个单位长度，再向上平移1个单位，得到的图象．
（1）求函数的解析式以及对称中心；
（2）当时，求的值域；
【答案】（1），对称中心为，
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据图象求函数的解析式，再结合函数图象变换可得函数的解析式，再根据余弦函数的性质求函数的对称中心.
（2）结合余弦函数的图象求函数的值域.
【小问1详解】
由的图象得，，，
，即，此时，
又，则，
即，又，则，
，
把函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得的图象，
再把得到的曲线向左平移个单位长度，可得，
再向上平移一个单位，得，
令，解得，
则的对称中心为，.
【小问2详解】
当时，，
则，即，
则的值域为.
18. 如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．
（1）若，求；
（2）若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由；
（3）在仿射坐标系下，设，若对任意恒成立，求的取值范围及的最大值．
【答案】（1）；
（2）正确，证明见解析；
（3），的最大值为．
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用向量的线性运算法则，即可求解；
（2）根据充分性和必要性的判定，结合共线向量的线性运算法则，即可得证；
（3）根据向量新定义和向量的运算法则，得到，转化为对任意恒成立，结合二次函数的形状和向量的夹角公式，以及三角函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
因为，
两边平方得，所以.
【小问2详解】
正确，理由如下：
由向量，
必要性：若，当时，则存在唯一的实数，使，
即，
所以，整理得；
当时，也成立．
充分性：如果，当时，；
当时，若，则，必有，
无论是否为零，都有；
当时，同理有；
当时，由，可得，
则存在唯一的实数，使
所以；
所以“”的充要条件是“”，故结论是正确的．
【小问3详解】
因为，则，
可得，
且，
由，得，
所以，
即对任意恒成立，
又因为，所以，
解得，
因为，所以，
所以，
又因为，所以，则，
所以的最大值为．
19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意.恰好存在n个不同的实数，，…，，使得（其中，2，…，n，），则称为的“n重覆盖函数”.
（1）判断（）是否为，（）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由；
（2）若为（）的“3重覆盖函数”，求实数a的取值范围；
（3）若（）为，（）的“2026重覆盖函数”，求正实数的取值范围.
【答案】（1）是，
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用题中给出的“重覆盖函数”的定义分析判断即可；
（2）由条件可得，对任意，存在3个不同的实数，使得（其中，即，即对任意有3个实根，进一步讨论求解即可；
（3）利用已知条件结合新定义，再利用正弦函数的性质进行分析求解即可.
【小问1详解】
因为，，，则，
任取，令，
可得，
即或，
可得，或，
所以对于任意，能找到两个，使得，
所以是的“重覆盖函数”，且；
【小问2详解】
可得的定义域为，
则，，
因此：，即的值域为，
即对任意，存在3个不同的实数，
使得（其中），
即对任意有3个实根，
当时，已有两个根，
故只需时，仅有1个根，
当时，，不符合题意，
当时，，，
所以 在区间上的最大值小于0，
因此对于无解，不符合题意；
当时，抛物线开口向下，由，可得，
所以函数在单调递减，
又，
所以，
所以，
综上，实数的取值范围是；
【小问3详解】
因为，
当时，当时且，
当且仅当时取等号，所以，
综上可得，即，
则对于任意要有2026个根，
由函数的图象，
要使要有2026个根，
则，
又，则，
故正实数的取值范围.
关键点点睛：本题对任意，恰好存在个不同的实数，，使得，由于不是同一个变量，所以只需要的值域，再用这个值域中的值去判定中的有几个满足，从而可得为的“重覆盖函数”.然后可利用数形结合，根据的值来确定参数的范围.