辽宁沈阳市第十中学2025-2026学年高一下学期4月质量检测数学试题（含解析）

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一、单选题（每题8分，共48分）
1. 在直角梯形中，且与交于点，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过作于，利用向量数量积的定义及投影向量的意义求解即得.
【详解】在直角梯形中，且，过作于，
则，故，从而.
因此，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：C
2. 设平面向量，，且，则=（ ）
A. 1B. 14C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，求出把两边平方，可求得，把所求展开即可求解.
【详解】因为，所以又，
则
所以，
则
，
故选：
3. 已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（ ）
A. B. 2C. D. －2
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，用基底向量分别表示，再利用数量积的运算律列式求出最大值.
【详解】在边长为2的菱形中，由，得，由点在线段上，
令，由点在线段上， ，得，
则，
而，因此
，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
4. 已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为，
所以，则，
因为，所以，即与的夹角为.
5. 已知单位向量满足，则（ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量垂直的条件结合向量数量积的运算律求出，然后再利用模长公式即可求解.
【详解】由题意可知，
所以.
6. 在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系确定、的向量坐标，利用向量的数量积公式计算即可.
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.
因为，，所以，，，
因为为中点，所以，，则.
所以，.
所以 .
二、多选题（每题8分，漏选4 分，错选0分，共16分）
7. 已知函数在区间上有且只有三个零点，则（ ）
A. 是的一个周期B. 的最大值为
C. 的取值范围是D. 在区间可能有个解
【答案】BCD
【解析】
【分析】先求出整体角的范围，作出的图象，根据题意即可求得，判断C项；取，得，利用周期定义检验判断A项；利用函数在上的图象即可判断B，对D，直接求出的解，进而可得时，在区间至少有个解，即可求解..
【详解】因，设，则，作出函数的图象如下：
要使函数在区间上有且只有三个零点，
需使，解得，故C正确；
不妨取，则，所以，
因为，此时不是的一个周期，故A错误；
又由图知，函数在区间上取得两个极大值，也是最大值，为1，故B正确，
对于D，由，即，得到或，
即或，
因为，所以从小到大的个非负根为，
当，即时，在区间至少有个解，
又，且，所以D正确.
8. 点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（ ）
A. 若，则点为的重心
B. 若．则点为的垂心
C. 若，则点为的外心
D. 在中，且，则为等边三角形
【答案】ABD
【解析】
【详解】对于A，如图
因为，所以，取中点，
则有，所以点三点共线，则为三角形中线，
同理所在直线也是中线，所以点为的重心，故A正确.
对于B，因为，所以，
所以，同理，，所以点为的垂心，故B正确
对于C，由B可知，选项C错误.
对于D，因为表示方向上的单位向量，同理表示方向上的单位向量，
由平行四边形法则，在的角平分线上，
又因为，所以的角平分线垂直于，所以为等腰三角形，
又因为，
所以，所以，
所以为等边三角形，D正确.
三、填空题（每题8分，共16分）
9. 已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量垂直求出的值，再通过投影向量计算公式求出对应的投影向量.
【详解】本题考查投影向量，考查数学运算的核心素养.
由，得，解得，所以，
则向量在向量上的投影向量为.
故答案为：
10. 已知函数，若在上既有最大值，也有最小值，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的单调区间及对应的函数值集合，再由给定条件列出不等式组求解.
【详解】函数在上单调递减，函数值集合为，
在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为，
由函数在上既有最大值，也有最小值，得，
因此，解得，所以实数a的取值范围是.
四、解答题（本题20分）
11. 已知函数（，）的部分图象如图所示，其中点，.
（1）求的解析式：
（2）若方程在内有两个不同的解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用图象上的点，结合正弦函数的图象和性质求解即可；
（2）设，结合正弦函数的对称性将原问题转化为与的图象只有一个交点，数形结合求解即可.
【小问1详解】
因为函数的图象过点，，
将点代入得，即，
因为，所以，
将点代入得，即，
结合正弦函数图象和性质可知，，
解得，又，所以，
所以.
【小问2详解】
当时，，，
令，结合正弦函数图象的对称性可知对于任意，有两个不同的解，
则原问题等价于方程在内有一个根或两个相等的实根，
作出与的图象，
根据图象可知当时，方程在内有一根，
所以实数的取值范围为.