辽宁省沈阳市第十中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份辽宁省沈阳市第十中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了考试结束后，考生将答题卡交回， 已知函数满足，则值为，5B， 下列命题正确的有等内容，欢迎下载使用。
满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名，考号用2B铅笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定区域.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色水性笔在答题卡指定位置书写作答，在本试卷上作答，答案无效.
3.考试结束后，考生将答题卡交回.
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 若数列为等比数列，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2. 已知，为导函数，则的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若数列满足，，则（ ）
A. B. 2C. 3D.
4. 已知函数满足，则值为（ ）
A. B. C. D.
5. 在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，下列说法正确的是（参考数据：）（ ）
①若的观测值满足，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系；
②若的观测值满足，那么在100个吸烟的人中约有99人患有肺病；
③从独立性检验可知，如果有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病；
④从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误．
A. ②③B. ②③④C. ①②④D. ①④
6. 已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（ ）
A B. C. 505D. 1013
7. 已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 1
8. 根据一组样本数据，，，，求得经验回归方程为，且平均数．现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后，重新求得的经验回归方程为，则（ ）
A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.8
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9. 下列命题正确的有（ ）
A.
B. 已知函数在R上可导，若，则
C. 已知函数，若，则
D.
10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ）
A. 若是等比数列，则
B. 若，则
C. 若等差数列，，若，则
D. 若，，则
11. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，此定理讲的是关于整除的问题，现将 1 到 2023 这 2023 个数中，能被 2 除余 1 且被 5 除余 1 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前n项和为，则下面对该数列描述正确的是（ ）
A. B. C. D. 共有 203 项
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若直线为曲线的切线，则__________.
13. 已知数列，，对于任意正整数n，都满足，则______.
14. 某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1％，这种溶液最初的杂质含量为3％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则至少经过______次过滤才能达到市场要求．（参考数据：，）
四、解答题（本大题共5小题，共77分）
15. 已知二次函数，其图象过点，且．
（1）求的值；
（2）设函数，求曲线在处切线方程．
16. 已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
17. 向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.如人工智能中的大语言模型DeepSeek（以下简称DeepSeek）.为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示：
（1）根据所给数据完成上表，并判断是否有95%的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？
（2）某公司视频部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek.
（ⅰ）求员工经过培训能应用DeepSeek的概率.
（ⅱ）已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展DeepSeek培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？
附：其中，）
18. 已知数列满足．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设，记数列的前n项和为．
（i）求；
（ii）若成立，求m的取值范围．
19. 定义：对于数列，若从第2项起，每一项与它的前一项之差都大于或等于同一个常数，且小于或等于另一个常数，则叫作类等差数列（若，则是等差数列）．
（1）若类等差数列满足，，，均为已知数，请类比等差数列的通项公式，求出数列的通项不等式（即第项与首项及的不等式关系，要求写出推导过程）；
（2）若数列中，，．判断数列是否为类等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由．
2024—2025学年度（下）高二4月月考试卷
数学
满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名，考号用2B铅笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定区域.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色水性笔在答题卡指定位置书写作答，在本试卷上作答，答案无效.
3.考试结束后，考生将答题卡交回.
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 若数列为等比数列，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，根据等比中项的应用，结合充分条件、必要条件的定义即可求解.
【详解】由题意知，数列为等比数列，
当时，得，故充分性成立；
当时，，解得，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件,
故选：A
2. 已知，为的导函数，则的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先将函数化简为，再求得，判断为奇函数，排除B，D；再分析选项A，C图像的区别，取特殊值即可判断出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴为奇函数，其图象关于原点对称，故B，D错误；
将代入得：，故C错误．
故选：A．
3. 若数列满足，，则（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】先分析归纳出数列周期，利用周期可得答案.
【详解】∵数列满足，，∴，
∴，，，，
∴是周期为3的周期数列，而，故．
故选：A
4. 已知函数满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求导得，令，可得出关于的方程，解之即可.
【详解】因为，则，
所以，，解得.
故选：D.
5. 在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，下列说法正确的是（参考数据：）（ ）
①若的观测值满足，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系；
②若的观测值满足，那么在100个吸烟的人中约有99人患有肺病；
③从独立性检验可知，如果有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病；
④从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误．
A. ②③B. ②③④C. ①②④D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】由给出的数据，结合观测值的意义判定即可.
【详解】若的观测值满足，则我们有的把握认为吸烟与患肺病有关系，
而得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，仍有的可能性使推断出现错误，
但不能说明个吸烟的人中约有人患有肺病，
也不能说明每个吸烟的人有的可能性会患肺病.
故①④正确、②③错误.
故选：D
6. 已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（ ）
A. B. C. 505D. 1013
【答案】D
【解析】
【分析】根据成等比数列，结合等差数列的通项公式可得，进而得到，，进而求和即可.
【详解】设首项为，因为成等比数列，
所以，则，
解得或，当时，，此时与成等比数列矛盾，故排除，
当时，，此时令，
而其前2025项和为，
.
故选：D
7. 已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】先根据求导公式求出函数的导数，进而得到函数在点处切线的斜率，再根据两直线垂直斜率之积为求出实数的值.
【详解】对求导可得：.
可得切线的斜率.
将直线转化为斜截式，可知直线斜率.
因为函数的图像在点处的切线与直线垂直，
根据两直线垂直斜率之积为，可得，即.
可得：，
故，即实数的值为.
故选：C.
8. 根据一组样本数据，，，，求得经验回归方程为，且平均数．现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后，重新求得的经验回归方程为，则（ ）
A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.8
【答案】C
【解析】
分析】根据原来的经验回归方程求出，经计算可知去除两个样本点后，样本点的中心仍为，代入重新求得的经验回归方程，即可求出的值．
详解】因为原来的经验回归方程为，且平均数，
所以，
因为去除的两个样本点和，并且，，
所以去除两个样本点后，样本点的中心仍为，
代入重新求得的经验回归方程，可得，
解得．
故选：C．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9. 下列命题正确的有（ ）
A.
B. 已知函数在R上可导，若，则
C. 已知函数，若，则
D.
【答案】CD
【解析】
【分析】直接根据求导法则判断ACD，根据导数的定义判断B.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，由于，，解得，故C正确；
对于D，，故D正确；
故选：CD.
10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ）
A. 若是等比数列，则
B. 若，则
C. 若是等差数列，，若，则
D. 若，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，由等比数列和的性质列式计算即可；对于B，根据的正负即可去掉绝对值符号，进而代入公式计算即可；对于C，利用等差数列的通项及求和公式计算即可；对于D，由可得是等差数列，代入公式即可求.
【详解】对于A，因为是等比数列，
所以成等比数列，
所以，即，
解得，故A错误；
对于B，因为，所以，
所以是等差数列，
由得，
所以
，故B正确；
对于C，设等差数列的公差为，
因为，所以，
所以，故C正确；
对于D， 因为，
所以，
所以，又，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，
所以，所以，故D正确.
故选：BCD
11. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，此定理讲的是关于整除的问题，现将 1 到 2023 这 2023 个数中，能被 2 除余 1 且被 5 除余 1 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前n项和为，则下面对该数列描述正确的是（ ）
A. B. C. D. 共有 203 项
【答案】BD
【解析】
【分析】推导出该数列中的数字被10除余1，从而，由此逐项判断即可.
【详解】现将1 到 2023 这 2023 个数中，能被 2 除余 1 且被 5 除余 1 的数按从小到大的顺序排成一列，
则该数列中的数字能被10除余1，故能被10整除，
，即，，
对于A选项：当时，，故A选项错误；
对于B选项：，故B选项正确；
对于C选项：，故C选项错误；
对于D选项：，即，又，解得：，故D选项正确.
故选：BD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若直线为曲线的切线，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】先设点并写出曲线的切线方程，再比较两个方程的斜率与截距可得到与的方程组，解方程即可得到的值
【详解】因为，所以，
设切点为，则切线方程为，
化简可得，
又因为是曲线y的切线，所以，
解得.
故答案为：.
13. 已知数列，，对于任意正整数n，都满足，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】化简得，用累加法和裂项相消公式求出即可求解的值.
【详解】由，得，
则当时，，
又满足上式，因此，，
所以.
故答案为：
14. 某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1％，这种溶液最初的杂质含量为3％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则至少经过______次过滤才能达到市场要求．（参考数据：，）
【答案】9
【解析】
【分析】根据题意列不等式，运算求解即可.
【详解】由题意可得：经过次过滤后该溶液的杂质含量为，
则，解得，
∵，则的最小值为9，
故至少经过9次过滤才能达到市场要求.
故答案为：9.
【点睛】方法点睛：函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序：
（1）常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题；
（2）应用函数模型解决实际问题的一般程序：读题（文字语言）⇒建模（数学语言）⇒求解（数学应用）⇒反馈（检验作答）；
（3）解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式的有关知识加以综合解答．
四、解答题（本大题共5小题，共77分）
15. 已知二次函数，其图象过点，且．
（1）求的值；
（2）设函数，求曲线在处的切线方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数和已知条件得出关于的方程组，求解即可；
（2）求出得切点坐标，再求出得切线的斜率，利用点斜式即可求得所求的切线方程.
【小问1详解】
由题意可得，即为，
又，可得，
解得．
【小问2详解】
由（1）知，
则，
则曲线在处的切线斜率为，
又∵，∴切点为，
则曲线在处的切线方程为，即为．
16. 已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意列式求，进而可得结果；
（2）根据题意利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式运算求解.
【小问1详解】
由题意可得：，即，
且，解得，
所以数列的通项公式.
【小问2详解】
由（1）可得，
可得
，
所以.
17. 向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.如人工智能中的大语言模型DeepSeek（以下简称DeepSeek）.为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示：
（1）根据所给数据完成上表，并判断是否有95%的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？
（2）某公司视频部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek.
（ⅰ）求员工经过培训能应用DeepSeek的概率.
（ⅱ）已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展DeepSeek培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？
附：其中，）
【答案】（1）表格见解析，有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关
（2）（i）；（ii）人
【解析】
【分析】（1）分析数据关系，完善列联表，提出零假设，计算，比较其与临界值大小，判断结论；
（2）（i）设“员工第轮获得优秀”， “员工经过培训能应用”，则，结合互斥事件概率加法公式，独立事件概率乘法公式求结论；
（ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用的人数，则，由条件列不等式可求结论.
【小问1详解】
依题意，列联表如下：
零假设为：的应用与视频从业人员的减少独立，的应用前后视频从业人员无差异，
由列联表中数据得，.
根据小概率值的的独立性检验，推断不成立，
所以有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关.
【小问2详解】
（i）设“员工第轮获得优秀”，且相互独立.
设“员工经过培训能应用”，则
，
所以员工经过培训能应用的概率是.
（ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用的人数，
则，因此，
调整后视频部的年利润为
（万元），
令，解得，又，所以.
所以视频部最多可以调人到其他部门.
18. 已知数列满足．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设，记数列的前n项和为．
（i）求；
（ii）若成立，求m的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）等式两边同时除以可得；
（2）（ii）由错位相减法求和即可；
（ii）构造数列，由不等式组求数列的最值大即可.
【小问1详解】
因为，即，
所以数列是以为首项，3为公差的等差数列.
【小问2详解】
（i）由（1）知，
所以，
所以，
所以，
，
所以
，
所以.
（ii）因为，
所以，
令，
不妨设的第项取得最大值，
所以，解得，
所以的最大值为，
所以，即m的取值范围是.
19. 定义：对于数列，若从第2项起，每一项与它的前一项之差都大于或等于同一个常数，且小于或等于另一个常数，则叫作类等差数列（若，则是等差数列）．
（1）若类等差数列满足，，，均为已知数，请类比等差数列的通项公式，求出数列的通项不等式（即第项与首项及的不等式关系，要求写出推导过程）；
（2）若数列中，，．判断数列是否为类等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）是，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用累加法求得数列的通项不等式；
（2）根据“类等差数列”的定义，计算，然后通过单调性求得，从而证得结论成立.
【小问1详解】
依题意有：，，，，
将这个不等式相加，得，
经检验成立，从而，；
【小问2详解】
数列是类等差数列，理由如下：
法一：因为，
所以，
即，
因为，所以，则是递减数列，最大项为，
所以，
，
所以，
所以，
所以递减数列，故其最大项为，且，
所以，
所以数列类等差数列．
法二：，
又，所以，则是递减数列，最大项为，
由于数列为递减数列，则为递增数列，且，
所以是递减数列，故其最大顶为，所以，
又由法一知，所以，所以，
所以数列是类等差数列．
【点睛】关键点点睛：理解“类等差数列”的定义，是解决本题的关键.
DeepSeek的应用情况
相关从业人员
合计
减少
未减少
应用
54
72
没有应用
42
合计
90
150
DeepSeek的应用情况
相关从业人员
合计
减少
未减少
应用
54
72
没有应用
42
合计
90
150
DeepSeek的应用情况
视频从业人员
合计
减少
未减少
应用
没有应用
合计