2024-2025学年辽宁省沈阳市高一上册10月联考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年辽宁省沈阳市高一上册10月联考数学检测试题（含解析），共22页。试卷主要包含了 设，若恒成立，则最小值是， 下列关系正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 设，则“且”是“”的（ ）.
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 如果实数集的子集X满足：任意开区间都含有X中的元素，则称X在中稠密.若的子集X在中不稠密，则（ ）
A. 任意开区间都不含有X中的元素B. 存在开区间不含有X中的元素
C. 任意开区间都含有X的补集中的元素D. 存在开区间含有X的补集中的元素
4. 《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形：是半圆的直径，点在半圆周上，于点，设，，直接通过比较线段与线段的长度可以完成的“无字证明”为
A
B.
C.
D.
5. 一群学生参加数学、物理学科夏令营，每名学生至少参加一个学科考试.已知有52名学生参加了数学考试，47名学生参加了物理考试，学生总人数是只参加一门考试的学生人数的2倍，则这一群学生总人数为（ ）
A. 66B. 87C. 99D. 前三个答案都不对
6. 设有限集M所含元素的个数用表示，并规定.已知集合A，B满足，，若，，则满足条件的所有不同集合A的个数为（ ）
A. 3B. 6C. 10D. 64
7. 设，若恒成立，则最小值是（ ）
A 0B. C. 1D. 2
8. 若关于x的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 若，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 设，，，则（ ）
A. ab的最小值为4
B. 的取值范围是
C. 的最小值为
D. 若，则最小值为15
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则________.
13. 已知二次函数，甲同学：的解集为；乙同学：的解集为；丙同学：此二次函数的对称轴在y轴左侧.在这三个同学的论述中，只有一个论述是错误的，则a的取值范围是________.
14. 定义为数集M中最大的数，已知，若或，则的最小值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 《九章算术》第八章“方程”问题九：今有五雀、六燕，集称之衡①，雀俱重，燕俱轻.一雀一燕交而处②，衡适平③.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何？大意是：今有5只雀、6只燕，分别聚集用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻.将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕的重量和为一斤.问燕、雀每只各重多少斤？①集称之衡：集中在一起用衡器称；②交而处：交换位置放；③衡适平：重量恰好相等.
（1）设每只雀重n斤，每只燕重m斤，请列方程组求解这个问题；
（2）在（1）的条件下，设集合，，若，求p的取值范围.
16. （1）证明：；
（2）已知，，且，求证.
17. 设矩形（其中）的周长为24，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点．

（1）证明：的周长为定值；
（2）设，且记的面积为．求当为何值时，取得最大值，并求出最大值．
18. 已知.
（1）当时，方程的两根分别为，，若存在x，使成立，求m的取值范围；
（2）若，求不等式的解集.
19. 对于题目：已知，，且，求的最小值.同学甲的解法：因为，，所以，，所以，，，所以A的最小值为.同学乙的解法：因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以A的最小值为3.
（1）请对两位同学计算结果的正确性作出评价（需指明错误原因）；
（2）为巩固学习效果，老师布置了另外一道题，请你解决：已知，，且.
（i）求的最小值；
（ii）求的最小值.
2024-2025学年辽宁省沈阳市高一上学期10月联考数学检测试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据题意，集合集合交集的概念及运算，即可求解.
【详解】因为集合，集合，所以.
故选：C.
2. 设，则“且”是“”的（ ）.
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若且，则，即充分性成立；
若，例如，满足，
但不满足且，即必要性不成立；
综上所述：“且”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 如果实数集的子集X满足：任意开区间都含有X中的元素，则称X在中稠密.若的子集X在中不稠密，则（ ）
A. 任意开区间都不含有X中的元素B. 存在开区间不含有X中的元素
C. 任意开区间都含有X的补集中的元素D. 存在开区间含有X的补集中的元素
【正确答案】B
【分析】结合题意根据全称量词命题的否定即可得结果.
【详解】命题“任意开区间都含有X中的元素”的否定是“存在开区间不含有X中的元素”.
故选：B.
4. 《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形：是半圆的直径，点在半圆周上，于点，设，，直接通过比较线段与线段的长度可以完成的“无字证明”为
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【详解】是半圆的半径，为圆的直径，，由射影定理可知，，在中，，，当 与重合时，，所以，故选D.
5. 一群学生参加数学、物理学科夏令营，每名学生至少参加一个学科考试.已知有52名学生参加了数学考试，47名学生参加了物理考试，学生总人数是只参加一门考试的学生人数的2倍，则这一群学生总人数为（ ）
A. 66B. 87C. 99D. 前三个答案都不对
【正确答案】A
【分析】根据集合的元素个数的性质列方程即可求解.
【详解】设只参加了数学、物理考试的学生人数分别为x，y，
参加了两门学科考试的学生人数为z，
根据题意得解得，所以学生总人数为.
故选:A
6. 设有限集M所含元素的个数用表示，并规定.已知集合A，B满足，，若，，则满足条件的所有不同集合A的个数为（ ）
A. 3B. 6C. 10D. 64
【正确答案】C
【分析】设，由题意结合两集合元素个数和为，可推理出，按的取值分类求解即可.
【详解】若时，，
则，则，
这与题意矛盾，故不满足题意；
故.
设A中元素的个数为，
则B中元素的个数为，且，
由且，得，.
①当时，则，又，
所以，满足题意；
②当时，则，，则，，又，
若，则；
若，则；
若，则；
若，则；以上情况都满足题意；
③当时，即，则，，
但此时，故产生矛盾，所以不满足题意；
④当时，则由且，得，，
又，与②同理可得不同集合的个数有个，
即不同集合的个数有个；
⑤当时，则由，得，又，
所以，满足题意；
综上，满足条件的所有不同集合A的个数为.
故选：C
关键点点睛：解决此题关键在于理清题意，明确两个集合及集合中元素个数的相互制约关系，所以有如下推理：若，则；若，，则，且.
7. 设，若恒成立，则的最小值是（ ）
A. 0B. C. 1D. 2
【正确答案】B
【分析】根据不等式恒成立，分析其组成，判断与符号同时变化，得到，且，将问题转化成求二次函数的最值来解决.
【详解】由恒成立，可得与符号同时变化，
即，且，则有，
故的最小值为.
故选：B.
8. 若关于x的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据所解方程既是高次方程又是分式方程，所以对其进行是降次，同时注意到对任意的，必是原方程的一个根，所以只考虑时有三个实数解即可.
【详解】因为有四个实数解，显然，是方程的一个解，
下面只考虑时有三个实数解即可.
若，原方程等价于，显然，则.
要使该方程有解，必须，则，此时，方程有且必有一解；
所以当时必须有两解，当时，原方程等价于，
即(且)，要使该方程有两解，必须，所以.
所以实数k的取值范围为.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】AC
【分析】理解数集符号、、，逐项判断即可.
【详解】A项，是实数，即，A正确；
B项，，B错误；
C项，是无理数，所以，C正确；
D项，不是的元素，D错误.
故选：AC.
10. 若，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ACD
【分析】由不等式的性质可得，即可根据选项逐一求解.
【详解】由已知可得，
对于A项，，所以，由及不等式性质得，故A成立.
对于B项，，因为，所以，
当时，，即，故B项不一定成立.
对于C项，当时，，所以；当时，成立，故C项一定成立.
对于D项，由，，得，所以，故D项一定成立.
故选：ACD
11. 设，，，则（ ）
A. ab的最小值为4
B. 的取值范围是
C. 的最小值为
D. 若，则的最小值为15
【正确答案】ABD
【分析】分别应用基本不等式，结合应用常值代换乘以化简计算判断各个选项,注意取等条件.
【详解】对于A项，由，，，得，所以，
当且仅当时等号成立，A项正确；
对于B项，由，，，得，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，B项正确；
对于C项，，
当且仅当，即时取等号，
又，所以等号取不到，C项错误；
对于D项，由，
当且仅当时等号成立，又，
当且仅当时等号成立，D项正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则________.
【正确答案】0
【分析】根据集合与集合的关系，分类讨论元素对应相等，解方程并结合集合的三要素计算即可.
【详解】因为，
所以①当时，即，
此时，不符合元素互异性；
②当时，即或（舍）.
综上，.
故0
13. 已知二次函数，甲同学：解集为；乙同学：的解集为；丙同学：此二次函数的对称轴在y轴左侧.在这三个同学的论述中，只有一个论述是错误的，则a的取值范围是________.
【正确答案】
【分析】先由三人各自的论述入手分别化简求解的范围，再按范围分类判断即可得.
【详解】由题意，.
若甲正确，则且，即，则；
若乙正确，则且，即，则；
若丙正确，则由二次函数的对称轴为，得，所以.
若，则乙丙两人论述错误，不满足题意；
若，则甲乙两人论述错误；
若，则乙丙两人论述正确，只有甲一人论述错误，满足题意.
综上所述，，即a的取值范围是.
故答案为.
14. 定义为数集M中最大的数，已知，若或，则的最小值为________.
【正确答案】
【分析】解法1：令，，，得到，分和，两情况讨论，结合新定义和不等式的基本性质，即可求解.
解法2：由数轴上点的距离公式，得到分别为线段的长，转化为求三个线段中最长线段的长的最小值，不妨设为，的长为，得到，分和，两情况讨论，结合新定义和不等式的基本性质，即可求解.
【详解】解法一：令，，，其中，，，所以，
若，则，可得，
令，
则，所以，则，
当且仅当，，时等号成立.
若，则，即，
令，
则，所以，则，
当且仅当，，时等号成立，
综上可得，的最小值为.
解法二：根据数轴上点的距离公式，可得分别为线段的长，
如图所示，若点固定，即求三个线段中最长线段的长的最小值，
可知当三个线段等长时，最长的线段长取最小值，
不妨设为，的长为，则，即，
若，则，即，解得；
若，则，即，解得，
因为，所以的最小值为.
故答案为.
对于涉及不等式的基本性质问题的求解策略：
1、运用不等式的性质求解或判断是，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其也不能想当然捏造性质；
2、建立待求范围的整体与已知范围的整体关系，最后利用不等式的基本性质，进行运算，求得待求的范围；
3、注意利用同向不等式的两边相加时，这种转化不时等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，可能会扩大其取值范围；
4、若通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 《九章算术》第八章“方程”问题九：今有五雀、六燕，集称之衡①，雀俱重，燕俱轻.一雀一燕交而处②，衡适平③.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何？大意是：今有5只雀、6只燕，分别聚集用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻.将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕的重量和为一斤.问燕、雀每只各重多少斤？①集称之衡：集中在一起用衡器称；②交而处：交换位置放；③衡适平：重量恰好相等.
（1）设每只雀重n斤，每只燕重m斤，请列方程组求解这个问题；
（2）在（1）的条件下，设集合，，若，求p的取值范围.
【正确答案】（1）每只燕重斤，每只雀重斤
（2）
【分析】（1）根据题意列出方程组即可求解；
（2）由（1）可得集合，结合题意分为和分析即可求解.
【小问1详解】
根据题意，可列方程组为
解得
所以每只燕重斤，每只雀重斤.
【小问2详解】
由（1）可得集合，
因为，
①当时，，解得；
②当时，即且且等号不同时成立，
解得
所以.
综上，p的取值范围是.
16. （1）证明：；
（2）已知，，且，求证.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）可用反证法，分析法，综合法的任意1个方法证明；
（2）结合先把1换成，再化简，结合基本（均值）不等式证明.
【详解】证明：（1）解法一（反证法）：
假设，
即，
两边平方得，即，
即，这与矛盾，因此假设不成立，
故.
解法二（分析法）：
要证，
只需证，
因为，，
所以只需证，
即证，即证，
因为成立，
所以成立.
解法三（综合法）：
，
，
因为，
所以.
（2）由题意知，故
.
17. 设矩形（其中）的周长为24，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点．

（1）证明：的周长为定值；
（2）设，且记的面积为．求当为何值时，取得最大值，并求出最大值．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）时，．
【分析】（1）通过证明，即可得到，从而求出的周长；
（2）利用勾股定理得到，由面积公式得到，利用基本不等式求出的最小值，即可求出面积的最大值.
【小问1详解】
由题意可知，，，，
所以，所以，
所以，
所以的周长为定值．
【小问2详解】
在中，因为，
所以，解得，
所以，
因为，所以，，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为．
18. 已知.
（1）当时，方程的两根分别为，，若存在x，使成立，求m的取值范围；
（2）若，求不等式的解集.
【正确答案】（1）
（2）答案见解析
【分析】（1）先利用一元二次方程的性质，得到，利用绝对值的几何意义求得的最小值为，根据题意，转化为，即可求解；
（2）化简不等式为，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意知，方程两根分别为，
则，，所以，
因为，所以，
根据绝对值几何意义，可得，
当且仅当时，等号成立，
又因为存在，使成立，可得，解得，
所以m的取值范围为.
【小问2详解】
解：若，不等式等价于，
①当时，不等式的解集为；
②当时，不等式的解集为；
③当时，不等式的解集为或；
④当时，不等式的解集为；
⑤当时，不等式的解集为或.
19. 对于题目：已知，，且，求的最小值.同学甲的解法：因为，，所以，，所以，，，所以A的最小值为.同学乙的解法：因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以A的最小值为3.
（1）请对两位同学计算结果的正确性作出评价（需指明错误原因）；
（2）为巩固学习效果，老师布置了另外一道题，请你解决：已知，，且.
（i）求的最小值；
（ii）求的最小值.
【正确答案】（1）同学甲结果错误，同学乙结果正确，原因见解析
（2）（i）；（ii）
【分析】（1）根据不等式“”成立的条件，看看能不能取到最小值，判断两个同学的正确性.
（2）通过转化，把问题都转化成已知的题型，利用已知的方法解决问题.
【小问1详解】
同学甲结果错误，同学乙结果正确.
甲同学连续两次运用基本不等式，取等号的条件分别为，，
又，所以不能同时取等号，
即最小值是取不到的.
【小问2详解】
已知，，且.
（i）
，
当且仅当，即，时等号成立.
（ii）
，
当且仅当，即，时等号成立.