辽宁省沈阳市第十中学2023-2024学年高二下学期第一次月考（4月）数学试卷（原卷版+解析版）

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出题人：刘姝颖 校对人：孙萌
本试卷共19题，卷面满分：150分，考试用时：120分钟
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 64B. 80C. 96D. 120
2. 已知为等比数列，向量，且，则（ ）
A. 4B. 2C. 8D. 6
3. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值（ ）
A. 1B. C. 2D.
4. 用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（ ）
A. 1项B. 项C. 项D. 项
5. 设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D. 没有最大值
6. 若数列满足（且），则与的比值为（ ）
A. B. C. 2D. 3
7. 已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（ ）
A. 2022B. 4044C. 2023D. 4046
8. 已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.漏选得2分，错选得0分.）
9. 下列命题正确的有（ ）
A.
B. 已知函数在R上可导，若，则
C. 已知函数，若，则
D.
10. 在庄子《在宥》中，“鸿蒙”是创造天地元气的上古真神.在后世的神话传说中，“鸿蒙”二字引申为一个上古时期，或者说是天地开辟之前的混沌时期.我国民族品牌华为手机搭载的最新自主研发的操作系统亦命名鸿蒙.刚参加工作的郭靖准备向银行贷款5000元购买一部搭载鸿蒙系统的华为Mate40Pr5G手机，然后他分期还款，.郭靖与银行约定，每个月还一次欠款，并且每个月还款的钱数都相等，分24个月还清所有贷款，贷款的月利率为，设郭靖每个月还款数为，则下列说法正确的是（ ）
A. 郭靖选择的还款方式“等额本金还款法”
B. 郭靖选择的还款方式“等额本息还款法”
C. 郭靖每个月还款的钱数
D. 郭靖第3个月还款的本金为
11. 设数列前项和为的前项和为，满足，且且，则（ ）
A. 是等差数列B. 时，的最大值为26
C. 若，则数列是递增数列D. 若，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知数列满足，，则______.
13. 若，则不等式的解集是________．
14. 已知数列满足，则数列的前100项的和________.
四、解答题（本题共8小题，每小题5分，共77分）
15. 已知等差数列的前项和为，；
（1）求等差数列的前项和及的最大值；
（2）求数列前项和.
16. 已知函数.
（1）求曲线过点处的切线；
（2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值.
17. 函数.
（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；
（2）当时，讨论函数在区间上的单调性.
18. 已知数列前项和为，若成等差数列，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，求的前项和；
（3）设，求的前项和．
19. 据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值.现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中的游客计划只游览冰雪大世界，另外的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人.每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品.假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率.
（1）从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为，求的分布列及数学期望；
（2）记个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个的概率为，求的前项和；
（3）从冰雪大世界游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为个的概率为，当取最大值时，求的值.