2026年四川广元市利州区九年级第一次学业水平质量监测数学试题（含解析）

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1.全卷满分150分，考试时间120分钟
2.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共三个大题26个小题．
3.考生必须在答题卡上答题，写在试卷上的答案无效，选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔答题．
4.考试结束，将答题卡交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的）
1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用数轴的特征，及正负数在数轴上的表示求解并判断，即可解题．
【详解】解：由数轴可知，，
A.∵，故选项错误,符合题意；
B.∵，则，故选项正确，不符合题意；
C.∵，，∴，，故选项正确，不符合题意；
D.∵，，∴，故选项正确，不符合题意；
故选：A．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算法则一一判断即可．
【详解】解：A、，计算正确，符合题意；
B、，原选项错误，不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意；
D、，原选项错误，不符合题意；
故选：A．
4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；

故选：C．
本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．
5. 一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验后，发现摸到红球的频率约为0.6，估计袋中红球的个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，频率估计概率．利用频率估计概率，摸到红球的频率为，即概率约为，设红球个数为r，通过方程求解.
【详解】解：设红球个数为r，则总球数为，
∵ 摸到红球的频率约为，
∴，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
∴ 估计袋中红球个数为6，
故选：D
6. 剑门关是剑门蜀道核心区域，兼具自然天险与厚重人文，为国家5A级景区．已知剑门关门票单价旺季比淡季贵20元，旺季4张门票的总价和淡季5张门票的总价相同．设旺季门票的单价为元/张，淡季门票的单价为元/张，则，满足的方程组是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题干给出的两个等量关系，依次列出方程即可得到正确方程组．
【详解】解：∵旺季门票单价比淡季贵20元，旺季单价为元/张，淡季单价为元/张，
∴可得第一个方程 ，
又∵旺季4张门票的总价和淡季5张门票的总价相同，总价=单价×数量，
∴可得第二个方程 ，
因此,满足的方程组为．
7. 如图，在中，，，，平分，过点作的垂线，交的延长线于，交的延长线于，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用勾股定理求得，再证明得到，则，在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵过点作的垂线，交的延长线于，交的延长线于，
∴，则，
在和中，
，
∴，
∴，则，
在中，．
8. 如图①，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到点停止．图②是点，运动时的面积与运动时间的函数关系的图象，则的值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了动点函数的图象，菱形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是由点的运动结合图2得出的长．根据题意可得，分当点Q在上时，即时和当点Q在上时，即时，分别表示出，分析可知当点Q到达点C时，，此时，代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：由题图2得，时，点P停止运动，
点P以每秒1个单位速度从点运动到点用了6秒，
，
由点P和点Q的运动可知，，
当点Q在上时，即时，，
过点P作交于，

，
，
，
当点Q在上时，即时，

四边形是菱形，
，
，
由上可知，当点Q到达点C时，，
即当时，，
故选：C
9. 如图，是的直径，是上一点，是另一侧半圆的中点，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】过作，连接，分别证明和是等腰直角三角形，进而利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：过作，连接，则，
∵是另一侧半圆的中点，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，DE=AD2−AE2=102−22=22，
∴．
10. 已知如图，二次函数的顶点为，最大值为，与轴交于，两点，与轴交于点．以为直径作圆，记作，下列结论：
①抛物线的对称轴是直线；
②点在上；
③在抛物线上存在一点，能使四边形为平行四边形；
④直线与相切．
正确的结论是（ ）
A. ①③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的解析式即可判定；求得、的长进行比较即可判定，过点作，交抛物线于，如果，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；求得为直角三角形即可进行判定；
【详解】解：如图，过点作，交抛物线于，连，连，，
二次函数的顶点为，最大值为，
抛物线过点，
抛物线的对称轴为直线，故正确，符合题意；
，解得，
抛物线的解析式为，
当时，，解得：或，
，；
，
，
，
，
，
点在上，故②正确，符合题意；
，
，解得：或，
，
，
四边形不是平行四边形，故错误，不符合题意；
由抛物线可知，
，
，，，
，
为直角三角形，
，
，
，
直线与相切，故正确，符合题意；
故选：．
本题主要考查了抛物线的图象和性质，平行四边形的判定，勾股定理及逆定理，切线的判定，点与圆的位置关系等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
第Ⅱ卷 非选择题（共120分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，把正确答案直接填写在答题卡对应题目的横线上）
11. 因式分解：______．
【答案】2
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可.
【详解】解：．
12. 在一个样本中，将个数据分成组，其中第一组的频数是，第三组与第四组的频率之和是，那么第二组的频数是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查频率的意义（频数与数据总数的比值或者百分比称为这类数据频数的频率），根据频率的意义知各个小组的频率之和是，可得第二组的频率是，再列式计算即可．关键是根据各个小组的频率之和是和已知条件列出算式．
【详解】解：∵各个小组的频率之和是，第一组的频率是：，第三组与第四组的频率之和是，
∴第二组的频率是：，
∴第二组的频数为：．
故答案为：．
13. 计算：_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
14. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是_______________．(结果保留π)
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解弧三角形的概念、掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键．根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可．
【详解】解：如图：

∵是正三角形，边长为，
∴，，
∴的长为： ，
∴“莱洛三角形”的周长．
故答案为：．
15. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，点在轴上，且，若的面积为12，则______．
【答案】6
【解析】
【分析】作，垂足为H．先根据等腰三角形的性质得到．设，则，根据正比例函数和反比例函数的对称性得到，则，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，作，垂足为H．
∵，
∴．
设，则，
根据正比例函数和反比例函数的对称性得到，
∴，
∴，解得．
16. 如图，点、分别是正方形的边、上的动点，且，连接、相交于点，在线段下方以为斜边作等腰直角，，连接，若正方形边长为4，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了最短路径问题，解题的关键是准确构造辅助线，利用三角形相似以及点和圆的知识解决．取中点, 连接, 以为斜边作等腰直角三角形 ，首先证明，从而，再根据，可求​，可知点的运动轨迹为以点为圆心，为半径的圆，从而可求最小值．
【详解】解：如图，取中点, 连接, 以为斜边作等腰直角三角形 ，
则​，
在和中，
​,
，
∴，
∵，
∴，
，
是直角三角形，
∴,
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
又∵，
​∴，
∴，
∴，
∴点的运动轨迹为以点为圆心，为半径的圆，
如图，连接，交圆于，过点作于点，
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形,
∵,
∴,
∴,
在中，​,
∴，
∴的最小值为．
三、解答题（本大题共10个小题，共96分，要求写出必要的解答步骤或证明过程）
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】,
【解析】
【分析】先做括号内的减法，确定最简公分母进行通分，做除法时把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分，最后代值进行二次根式化简计算．
【详解】解：原式=
当时，
原式=
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18. 如图，在四边形中，，对角线，过点A作于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，若点F是的中点，，，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、直角三角形的性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键。
（1）先说明，再结合即可证明结论；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即；再结合平行四边形的性质可得，再根据可设，则，即，然后求出k的即可。
【小问1详解】
证明：，于点E，
．
．
，
∴四边形是平行四边形．
【小问2详解】
解：∵在中，，点F是的中点，
．
,
．
∵在中，
∴．
∵在中，，，
∴设，则，．
．
19. 2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，明确要求初中书面作业每天平均完成时间不超过90分钟．开学初某初级中学对每个学科的书面作业完成时间都做了明确的规定，一周后，为了解学生书面作业完成时间的情况，从本校学生中随机抽取500名进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
调查问卷：
①近两周你平均每天完成书面作业的时间大约是分钟，如果你平均每天完成书面作业的时间超过90分钟，请回答第2个问题．
②作业超时的主要原因是（单选）
A.作业难度大无法按时完成
B.作业会做，但题量大无法按时完成
C.学习效率低无法完成
D.其他
平均每天完成作业时间x（分钟）分为5组：
①；②；③；④；⑤．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）书面作业不少于90分钟的学生人数占被调查人数的百分比为 ；影响作业完成时间的主要原因统计图中的 ，补全作业完成时间统计图；
（2）本次调查中平均每天完成作业时间的中位数落在第 组；
（3）何老师准备从自己班完成作业用时最少的4名学生中选取2名在班里进行经验介绍，已知这4名同学中有2名男生和2名女生，用列表或画树状图的方法求选中的2名同学恰好是一男一女的概率．
【答案】（1），，补全图形见解析
（2）③ （3）
【解析】
【分析】（1）用第⑤组人数除以总人数即可，根据百分比之和为1可得的值，根据五个小组人数之和为500可得第④组人数，从而补全图形；
（2）根据中位数的定义可得答案；
（3）根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率．
【小问1详解】
解：书面作业不少于90分钟的学生人数占被调查人数的百分比为，
影响作业完成时间的主要原因统计图中的，即，
人数为，
补全图形如下：
故答案为：，33.3；
【小问2详解】
这组数据的中位数是第250、251个数据的平均数，而这两个数据均落在③，
本次调查中平均每天完成作业时间的中位数落在第③组，
故答案为：③；
【小问3详解】
由题意可得，树状图如下图所示，
由树状图知，共有12种等可能结果，其中选中的2名同学恰好是一男一女的有8种结果，
恰好选中一名男生和一名女生的概率是．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）．
【答案】58m
【解析】
【分析】延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则，再根据图形应用三角函数即可求解．
【详解】解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则．
又∵，
∴四边形ACHG是矩形．
∴．
由题意，得．
在中，，
∴（m）﹒
∵是的外角，
∴．
∴．
∴m．
在中，
∴(m)．
∴．
答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m．
本题主要考查三角函数的综合应用，正确构造直角三角形并应用三角函数进行求解是解题的关键．
21. 如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，已知的圆心在格点上，圆上两点、在经过圆心的格线上，仅用无刻度的直尺在给定的网格区域中完成作图．
（1）在图1中，点在圆上，请在直径的下方的圆上画出点，使，并在网格中找点，使是等腰直角三角形，且；
（2）在图2中，点在格点上，在直径的下方的圆上画出点，使得，并在线段上画出点，使得．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）取与格线的交点E，连接并延长交于点T，延长交于点F，则点E和点F即为所求；根据直径所对的圆周角是直角可得，由可得，则，则是等腰直角三角形，且；
（2）连接交格线于点G，连接交于点R，连接并延长交于点H，则点G和点H即为所求；可证明点G为的中点，则为的中位线，则，由平行线分线段成比例定理可得，则R为的中点，由直径所对的圆周角是直角可得∠ARB=90°，则垂直平分，则．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求．
22. 某玩具总店购进一批益智玩具进行销售，若每个定价50元，全部售出后可获利36000元，若每个定价60元，全部售出后可获利48000元，在对5个门店调查时发现此玩具的日销售量（个）仅与销售单价（元）有关，具体记录如下表：
（1）此玩具的进价是多少元？
（2）从所学的函数模型中挑选你认为合适的函数模型，并求该玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式；
（3）如果某门店在销售该玩具时，每天因人工房租等需支出200元，该门店要通过销售该玩具每天获得600元的净利润，同时要尽量减少库存，那么该益智玩具的销售单价定为多少元？
【答案】（1）此玩具的进价是20元
（2）日销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为
（3）该益智玩具的销售单价定为30元
【解析】
【分析】（1）设此玩具的进价是m元，根据题意玩具数量相等列分式方程，然后解方程即可解答；
（2）通过分析表中数据可以看出，日销售量y与销售单价x之间成一次函数关系，故可设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为，利用待定系数法求出k与b的值，进而得出该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（3）根据“每日利润＝（销售单价－进价）×日销售量－房租等运营成本”可得，然后解方程，再结合“要尽量减少库存”即可解答．
【小问1详解】
解：设此玩具的进价是m元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列方程的解，
答：此玩具的进价是20元；
【小问2详解】
解：通过分析表中数据可以看出，该益智玩具日销售量与销售单价之间成一次函数关系，
设该益智玩具的日销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为，
将，代入，得：
60k+b=2059k+b=22，解得：，
答：该益智玩具的日销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为；
【小问3详解】
解：该益智玩具的销售单价定为x元，
根据题意，得：，
解得：，，
当销售单价为60元时，日销售量为个，
当销售单价为30元时，日销售量为个，
，且要尽量减少库存，
∴ 应选择日销售量较大的方案，
．
答：该益智玩具的销售单价定为30元．
23. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，矩形的顶点在第一象限，且在反比例函数图象上，过点作，垂足为．
（1）直接写出点、的坐标及的大小；
（2）设点的纵坐标为，用含的式子表示点的横坐标；
（3）已知直线与反比例函数图象都经过第一象限的点，连接，如果轴，求的值．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据直线解析式求出点A和点C的坐标，进而得到的长，求出的正切值即可得到的度数；
（2）由矩形的性质可推出，由题意可得，则，解直角三角形求出的长即可得到答案；
（3）过点E作轴于点H，设点B的纵坐标为t，则，证明，得到，则可求出E23−3t,t−3，进而可求出D23−3t,−3t+9，根据点B和点D都是反比例函数的图象上，得到m=33−3t⋅t=23−3t−3t+9，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：在中，当时，，当时，，
∴A−3,0，C0,3，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，且点的纵坐标为，
∴，
∴，
在中，BF=CF⋅tan∠FCB=3−t⋅tan60°=33−3t；
∴点B的横坐标为；
【小问3详解】
解：如图所示，过点E作轴于点H，设点B的纵坐标为t，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴△HAE≌△FBCAAS，
∴，
∴OH=AH−OA=23−3t，
∴E23−3t,t−3；
∵轴，
∴点D的横坐标为，
在中，当时，y=323−3t+3=−3t+9，
∴D23−3t,−3t+9，
∵点B和点D都是反比例函数的图象上，
∴m=33−3t⋅t=23−3t−3t+9，
解得或，
当时，点横坐标为23−3t=23−3×3=−3，那么点不在第一象限，故不符合题意；
∴，
∴m=33−3t⋅t=33−3×32×32=934．
24. 如图，是的直径，点在上，的平分线交弦于，交于，过点作的切线交射线于．
（1）求证：；
（2）若的半径为4，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角和切线的性质可得，由直角三角形两锐角互余可证明，，再由对顶角相等和角平分线的定义得到，，据此可证明，则；
（2）连接，如图，设，根据圆周角定理得到，则根据等腰三角形的性质得到，所以，再证明，则，所以，，则，利用勾股定理计算出的长，即可得到的长．
【小问1详解】
证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵是的切线，
∴，
∴；
∵的平分线交弦于，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：连接，如图，
∵，
∴可设，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵的半径为4，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得BC=AB2−AC2=82−22=215，
∴．
25. 按要求解答：
（1）问题提出：如图1，在中，．求证：；
（2）问题探究：如图2，是的中线，点在上，连接，且，若，，求的长度；
（3）问题解决：如图3，四边形是某小区内一块空地，其中米，米，，，小区物业准备在空地内找一点，分别修建四条小道、、、（小道的宽度忽略不计），并在、、内分别种植不同的绿植，为生活娱乐区，根据规划要求，，且小道与的比值尽可能大，请问是否存在满足要求的点？若存在，找出点的位置，并计算的最大值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）；
（3）的最大值为4．
【解析】
【分析】（1）证明，即可得到结论；
（2）证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解；
（3）作于点，求得是直角三角形，且，证明点在以为直径的上，记交于点，连接，作于点，求得，延长交于点，连接，，，证明，推出，得到当为直径时，取得最大值，据此计算即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵，，是的中线，
∴，
设，
∴，
∴，即x6+x=16，
解得，，
∴；
【小问3详解】
解：作于点，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，CD2=CG2+DG2=252+2532=2500，
BD2=AB2+AD2=2532+752=7500，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵，
∴点在以为直径的上，
记交于点，连接，作于点，
同理，四边形是矩形，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
延长交于点，连接，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
要计算的最大值，则取得最大值，
∴当为直径时，取得最大值，有最大值，如图，
∴，
∴的最大值为4．
26. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，
（1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式；
（2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可；
（3）分为，时，时，建立方程解题即可．
【小问1详解】
解：设二次函数的解析式为，把代入得，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：点B平移后的点的坐标为，
则，解得或（舍），
∴m的值为；
【小问3详解】
解：当时，
∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去；
当时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，
最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意；
综上所述，n的取值范围为．
玩具店
A
B
C
D
E
销售单价
60
59
58
57
56
日销售量
20
22
24
26
28