四川省字节精准教育联盟2025-2026学年高二上学期期末调研数学试题（Word版附解析）

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一、单选题
1．已知等差数列和等比数列，，则满足的数值m（ ）
A．有且仅有1个值B．有且仅有2个值
C．有且仅有3个值D．有无数多个值
2．若双曲线：，，分别为左､右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为△的内心，，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．点的运动轨迹为双曲线的一部分
C．若，，则
D．不存在点，使得取得最小值
3．已知直线，将l绕点逆时针旋转角后得到直线，若与直线垂直，则旋转角的大小为（ ）
A．15°B．30°C．60°D．75°
4．春节期间，5位同学各自随机从“三峡明珠，山水宜昌”、“荆楚门户，秀丽荆门”、“三国故里，风韵荆州”三个城市中选择一个旅游，则三个城市都有人选的概率是
A．B．C．D．
5．圆：与圆：的位置关系是（ ）
A．内含B．外切C．内切D．相交
6．直四棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知O为坐标原点，抛物线C：（）的焦点为，过点F作斜率为2直线与抛物线交于，两点（点位于第一象限）.过点A作准线的垂线，的角平分线所在直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，1，2，……，若该数列的前项和为，则满足的整数的个数为（ ）
A．29B．30C．31D．32
二、多选题
9．甲､乙､丙､丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外3人中的任意1人，设第n次传球后，球在甲手中的概率为.则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为8
B．若直线与恒有公共点，则的取值范围为
C．若为上一点，，则的最小值为
D．若上存在点，使得，则的取值范围为
11．已知双曲线上的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为A、B，P为双曲线C上任意一点，判断以下选项正确的是（ ）
A．若，则或
B．的内心I到y轴的距离为2
C．当点P不在x轴上时，直线PA与PB的斜率之积为
D．点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为
三、填空题
12．如图，某正方体的顶点在平面内，三条棱，，都在平面的同侧.若顶点，，到平面的距离分别为，，，则该正方体的表面积为 .

13．已知等差数列的公差为，集合有且仅有两个元素，则这两个元素的积为 .
14．已知点，动点满足以为直径的圆与轴相切，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为 .
四、解答题
15．已知圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得的弦长为.
(1)若点，为圆上一动点，求的最小值；
(2)若直线与圆交于，两点，且（为坐标原点），求实数的值.
16．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校组织相关知识的答题竞赛，每名参赛选手都赋予5分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分.已知小明每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响.
(1)求小明答4道题后积分小于5的概率；
(2)设小明答5道题后积分为，求；
(3)若小明一直答题，直到积分为0或10时停止，记小明的积分为时最终积分为10的概率为，则，，证明：为等比数列.
17．如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，，分别在棱上，且.
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求三棱锥外接球的表面积.
18．已知数列满足，．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求满足的正整数的最大值；
(3)若，求数列的前项和．
19．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）．
步骤：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为；
步骤：把纸片折叠，使圆周正好通过点，此时圆周上与点重合的点记为；
步骤：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为；
步骤：不停重复步骤和，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点．
现对这些折痕所围成的图形进行建模研究．若取半径为的圆形纸片，如图，设定点到圆心的距离为，按上述方法折纸．以点所在的直线为轴，线段中点为原点建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若过点且不与轴垂直的直线与曲线交于两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由．
(3)直线与曲线相切于点，直线与平行且与圆相切，直线交曲线于两点，坐标原点位于直线之间，记的面积分别为，求的取值范围．
参考答案
1．A
【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因，
则有，解得，
令，
可得，此时满足的只有成立；
当时，显然，
①若是奇数，则，显然不满足；
②若是偶数，则，且，
即，可得即不成立；
综上所述：满足的数值有且仅有1个值，即.
故选：A.
2．C
【详解】由题意，双曲线，可知其渐近线方程为，A错误；
设，△的内切圆与、、分别切于、、，可得，
由双曲线的定义可得：，即，
又，解得，则的横坐标为，
由与的横坐标相同，即的横坐标为，故在定直线上运动，B错误；
由且，解得：，
∴，则，
∴，同理可得：，
设直线，直线，联立方程得，
设△的内切圆的半径为，则，解得，即，
∴，
由，可得，解得，故， C正确；
若与关于y轴对称，则且，而，
∴，故要使的最小，只需三点共线即可，
易知：，故存在使得取最小值，D错误.
故选：C.
3．D
【详解】因为直线，
所以直线的斜率为，故直线的倾斜角为；
因为与直线垂直，
所以设的方程为，
又直线过点，所以，解得，
所以直线的方程为，斜率为，故倾斜角为，
如图，

所以，
故选：D
4．A
【详解】个同学，随机任选个城市，基本事件的总数为.个同学分成三组的方法有两种：或者.当按照进行分组并排到三个城市的方法数有种，当按照进行分组并排到三个城市的方法数有种.故“三个城市都有人选”的事件有种.所以三个城市都有人选的概率是，故选A.
5．B
【详解】：，圆心，半径，
：，圆心，半径，
，，，
圆：与圆：的位置关系是外切.
故选：B.
6．A
【详解】如图，设，
直四棱柱中，
所以，
，
，
，
所以，
故异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A
7．D
【详解】因为抛物线C：（）的焦点为，抛物线C的方程为.
由题意可知直线的方程为：，
联立方程组，消去整理得，解方程得点的纵坐标或（舍去），所以，点.
由题可知，设的角平分线所在直线倾斜角为，
则由角平分线的性质及平行线的性质可知，即，解得或（舍去）.
由点斜式方程可知的角平分线所在直线方程为，
化简整理得.
故选：D.
8．B
【详解】由题记第一组数为:1，个数为1，和为1，最后一个数为第1项，；
第二组数为:1，2，个数为2，和为，
最后一个数为第项，；
第三组数为:1，2，4，个数为3，和为，
最后一个数为第项，；
第四组数为:1，2，4，8，个数为4，和为，
最后一个数为第项，；
；
第组数为:1，2，4，8，，，个数为，和为，
最后一个数为第项，
，
因式所以
由可知，从13开始计数，
因为
，
，
第9组的数为:1,2,4,8,16,32,64,128,256，
即
所以要满足，则，，
故n的个数为个.
故选：B.
9．AD
【详解】设表示经过第次传球后，球在甲手中，
设次传球后球在甲手中的概率为，，
则，
所以，，
，
所以，所以，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，
所以，
，故C错误；
.
故选：AD.
10．CD
【详解】对于选项A：由椭圆定义可得的周长为
，
但焦点不一定在轴上，故A错误；
对于选项B：因为直线过定点，则，即，
又因为，且，所以的取值范围为，故B错误；
对于选项C：若，即椭圆，
设，可得，
当时，，故C正确；
对于选项D：若，则，
当位于短轴顶点时，最大，此时，
可知，即，
当时，由，解得；
当时，由，解得；
综上所述：的取值范围为，故D正确；
故选：CD．
11．BCD
【详解】A：由双曲线的定义可知，
因为，所以解得或，
由，
所以双曲线上的点到右焦点的距离最小值为，
所以不成立，故本选项不正确；
B：根据双曲线的对称性，不妨设在第一象限，
设的内切圆与三边相切的切点分别为，
由圆的切线长定理可得：，
由双曲线的定义，得，
有，
即，而，
解得，由上可知，
所以点重合，显然，
所以内心I的横坐标为，故本选项正确；
C：设，则有，，
直线PA与PB的斜率之积为，
所以本选项正确；
D：双曲线的渐近线方程为，
设，则有，
所以点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为：
，
所以本选项正确，
故选：BCD
12．
【详解】设正方体的棱长为，取空间的一个基底，设是平面的一个方向向上的单位法向量.
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使得.
由题意，在方向上的投影向量的长度分别为，，.
于是，即，即，即.
同理，，，
从而，由，得，
其中
，
即，解得，所以正方体的表面积.
故答案为：
13．/
【详解】，
则，
其周期为，而，即最多3个不同取值，
集合有且仅有两个元素，设，
则在中，或，或，
又，即
一定会有相邻的两项相等，设这两项分别为，
于是有，即有，解得，
不相等的两项为，
故，.
故答案为：.
14．
【详解】由动点满足以为直径的圆与轴相切可知：动点到定点的距离等于动点到直线的距离，故动点的轨迹为，
由可得，
解得D，即直线过定点D，
又过作直线的垂线，垂足为，
所以点在以为直径的圆上，直径式方程为，
化为标准方程为：，圆心,半径
过做垂直准线，垂足为，过做垂直准线，垂足为
则
故答案为：
15．(1)0
(2)
【详解】（1）设圆心坐标为，则半径，圆心到轴的距离为，，得，
圆的方程为.
设，则，
又，，
又，
，，
即的最小值为.
（2）（2）设，，
联立，消去得，
由，
得，，.
由，知，
即，
，
，得，满足，
.
16．(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）小明答4道题后积分小于5，则小明4题都答错，或答对1题，答错3题，
故所求概率为.
（2）设小明答对的题数为，则他答错的题数为，，
由题意知，，
.
（3）当小明的积分为时，若小明接下来一题答对，则积分变为，
若小明接下来一题答错，则积分变为，
由全概率公式有，整理可得，
又，为等比数列.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）∵底面，平面，平面，
∴，在矩形中，
∴以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
则，
则
得证：
（2）则，.
设，则，∴
，∴
，∴.
设平面的法向量为，
则，取，得，
∴平面的一个法向量为.
易知平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
∵，∴，
∴平面与平面夹角的余弦值为.
（3）设三棱锥的外接球球心坐标为，半径为，
则，解得，
∴三棱锥外接球的表面积为
18．(1)证明见解析
(2)99
(3)
【详解】（1）证明：因为，，所以，
，所以，
又，所以，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）得，所以，
记，
所以，
因为，所以为递增数列，
，，
所以使得成立的正整数的最大值为99．
（3）由（2）得，记的前项和为，
则，
上式两边同乘以，得，
两式相减，得
，
所以．
19．(1)
(2)存在定点，定值为
(3)
【详解】（1）
由题意知：在线段的垂直平分线上，，
，
点的轨迹是长轴长，焦距的椭圆，
椭圆短半轴长，
则曲线的方程为：.
（2）直线不与轴垂直，且过点，
则可设，，，
由得：，
，；
设在轴的正半轴上存在定点，使得直线斜率之积为定值，
，
若为定值，则，即，又，，此时；
存在定点，使得直线斜率之积为定值，该定值为.
（3）
①当直线斜率存在时，假设，，
由题意知：
设点到直线的距离为，则，
，，；
由得：，
，即；
与圆相切，，即，
，，
，
，，，即；
②当直线斜率不存在时，不妨令，则，；题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
A
B
A
D
B
AD
CD
题号
11









答案
BCD