四川省字节精准教育联盟2026届高三上学期1月第二阶段学情调研测试数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省字节精准教育联盟2026届高三上学期1月第二阶段学情调研测试数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．一组数据：2，5，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
2．已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知集合，集合，则（ ）
A．或B．或
C．D．
5．在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（ ）
A．B．C．1D．2
7．已知等差数列公差不为0，记其前n项和为，若，，则正整数k的值为（ ）
A．3B．6C．8D．12
8．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．记等比数列的前项和为，已知，公比为，则（ ）
A．是等比数列B．是等差数列
C．是等比数列D．是等比数列
10．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ）
A．当时，B．在区间上单调递减
C．当且仅当D．轴是曲线的一条切线
11．已知双曲线E与焦点在y轴上的椭圆C的离心率之积为1，点是其公共点，若双曲线E的渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线E的实轴长为2B．椭圆C的离心率为
C．椭圆C的长轴长为D．椭圆C与双曲线E的焦距相同
三、填空题
12．已知平面向量，，若，则 ．
13．函数的图象在处的切线方程是 ．
14．如图，在四面体ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，，以D为球心，1为半径作球，则该球的球面与面ABC（三角形及其内部）的交线长度为 ．
四、解答题
15．已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数在上的最值．
16．如图，椭圆C：的离心率为，左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，椭圆上有一动点D（异于A，B），点E为线段的中点，点O为坐标原点.直线与直线相交于点M.已知面积有最大值为.
(1)当点M坐标为时，求；
(2)证明：.
17．图一，四边形是边长为2的菱形，且，点为的中点，现将沿直线折起，形成如图二的四棱锥，点为的中点.
(1)求证：平面；
(2)若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的大小.
18．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程．
(2)若为函数的极小值点，求a的取值范围．
(3)曲线上是否存在两个不同的点关于y轴对称？若存在，求出此时a的值；若不存在，说明理由．
19．设是项数为且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列称为的“等比关联数列”：①数列的项数为；②中任意两项乘积都是中的项；③是公比大于1的等比数列．
(1)已知数列是的“等比关联数列”，且，，，求数列的通项公式；
(2)已知数列是的“等比关联数列”，且的前3项成等比数列的概率为，求的值；
(3)证明：不存在“等比关联数列”．
参考答案
1．A
【详解】由这组数据：2，5，2，3，可得，平均数是3，中位数是2.5，众数是2，
方差是，
加入数据3后，平均数是3，中位数是3，众数是2和3，
方差是，
所以不发生变化的是平均数，
故选：A.
2．D
【详解】由已知得，∴z在复平面内对应的点的坐标为，
该点在第四象限.
故选：D
3．B
【详解】集合，，所以.
故选：B
4．D
【详解】由可得且，解得或，
即或，又，
故.
故选：D.
5．C
【详解】由题可得，，
试题.
故选：C．
6．B
【详解】由可变形为，其准线方程，圆心到的距离为1，
所以直线截所得的弦长为．
故选：B
7．B
【详解】设等差数列公差为，由，得，解得，
，，，
因此，整理得，解得.
故选：B
8．B
【详解】解析：，可化为，
即，即，解得，
又.
故选：B.
9．ABD
【详解】A选项，由题意得，故，
其中，故为等比数列，A正确；
B选项，，故，
又，故是等差数列，B正确；
C选项，，，
，其中，故不是等比数列，C错误；
D选项，，故，
故，所以为等比数列，D正确.
故选：ABD
10．AD
【详解】

A选项：由已知函数为上的奇函数，且当时，，
所以当时，，则，
所以，A选项正确；
B选项：易知函数，
当时，，则，
设，则，
可知当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
结合奇函数性质可知，函数在和上单调递减，在和上单调递增，B选项错误；
C选项：由函数单调性与奇偶性可知，当时，，当时，，
所以当时，，C选项错误；
D选项：由函数单调性与奇偶性可知函数图像如图所示，
可知当时，函数取得极值，此时切线方程为，即为轴，D选项正确；
故选：AD.
11．BC
【详解】因为双曲线E的渐近线方程为，则双曲线所以椭圆的离心率为，B选项正确；
设双曲线方程为，双曲线过，所以，所以，实轴长为，焦距为，A选项错误；
椭圆的离心率为，所以，
设椭圆方程为，椭圆也过，所以，所以，长轴长为，焦距为，C选项正确，D选项错误.
故选：BC.
12．
【详解】已知平面向量，，若，则,解得，
所以.
故答案为：.
13．
【详解】由已知，得，所以，
所以所求切线方程为，即.
故答案为：.
14．
【详解】∵DA，DB，DC两两垂直，，
∴，
所以是边长为的等边三角形，
所以边长为的等边三角形的高为：，
所以，
设到平面的距离为，，
∵，
所以，
解得，则，
所以以为球心，为半径的球与平面，平面，平面的交线为个半径
为的圆的弧线，与面的交线为一个圆，且圆的半径为，
所以交线总长度为：.
故答案为：.
15．(1)，
(2)最大值2，最小值
【详解】（1）因为
所以函数的最小正周期，.
由，得：，
所以的单调递减区间为.
（2）因为，所以，
所以当，即时，，
所以，即时，.
16．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意得，，，解得，，
故椭圆C的方程为.
当点M坐标为时，，
设，则.
代入椭圆方程得解得或0（舍去），即，
又，故.
（2）设直线AD：，与椭圆C方程联立得，，
又，故，则，，又，
故直线的斜率，
所以，故.
17．(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）在图二中，取线段的中点为，连接和，
由点为的中点，得且，
又四边形是边长为2的菱形，点为的中点，
所以且，
则且，
所以四边形为平行四边形，因此，
又平面平面，
所以平面.
（2）在图一中，由菱形的边长为2，，得都是正三角形，
而点为的中点，则有，
则，
设四棱锥的高为，
其体积为，解得，
即点到平面的距离为1，而，
因此平面，直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量为，
则，令，得，
由平面，得为平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，而，解得，
所以平面与平面的夹角的大小为.
18．(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1），，，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2），
①若，则，单调递增，无极值，不符合题意．
②若，则当时，，，所以不可能为极小值点，不符合题意．
③若，令，则，
当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，
则，又，当时，．
若，则，
当时，，当时，，所以为函数的极小值点，符合题意．
若，因为在上单调递增，的值从增到0，
所以直线与曲线在上的图象有公共点，即存在使得，
当时，，即，
所以存在，使得当时，，
当时，，此时为函数的极小值点，符合题意．
综上，.
（3）不存在，理由如下．
假定曲线上存在两个不同的点关于y轴对称，设其坐标分别为，，，
则有，即，
化简得．
令，则，
由知函数在上单调递增，
由得，即，这与矛盾，
所以曲线上不存在两个不同的点关于y轴对称.
19．(1)
(2)
(3)证明见详解
【详解】（1）因为，，，
由定义可知，，
故数列的通项公式为；
（2）因为中4项均不相同，所以有种，有项，
假设，则，，，．
设的公比为，则，
又数列的第三项，第四项，
或第三项，第四项，
所以，
且，得，且，
或，
且，得，且，
这两种情况，不能同时成立，使得的前3项为等比数列有4种情况，
故．
（3）当时，假设的各项从小到大排列，此时数列有项，
则，，，，
因为是等比数列，所以，即，所以．
设的公比为，则，所以，
所以，，
剩余四项为，，，，
又公比，所以，，是连续三项，因此是第4项或第7项，
当时，，所以，即，不符合题意；
当时，，所以，即，不符合题意；