湖北省顶级名校2025-2026学年高一下学期4月月考测试 数学试卷（含解析）

这是一份湖北省顶级名校2025-2026学年高一下学期4月月考测试 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．化简得（ ）
A．B．C．D．
2．已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则外接圆的半径为（ ）
A．5B．10C．D．
3．已知，为平面内一组基底，，，，若，，三点共线，则的值为（ ）
A．B．C．2D．5
4．若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态.已知，，与的夹角为120°，则的大小为（ ）
A．1B．C．D．3
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．在中，角的对边分别为，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知扇形的半径为5，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，弧的中点为，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知中，，，且的最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
9．在中，已知.则（ ）
A．为锐角三角形B．的面积为
C．D．
10．已知非零向量，满足，则（ ）
A．，的夹角为
B．
C．若，，则的外接圆半径长为
D．若，向量满足，则的最大值是
11．如图，在中，，为边上的中点，，，且，则（ ）
A．外接圆的半径为B．
C．的最大值为3D．的最大值为
三、填空题
12．海军某登陆舰队在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给．若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则______．
13．在平行四边形中，，则_______.
14．在中，a，b，c为三边，若，则面积的最大值为___________.
四、解答题
15．已知平面向量，，，且，．
(1)若//，且，求的坐标；
(2)若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围．
16．已知，且．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求角的大小．
17．在中，分别为角的对边，向量，，且.
(1)求角；
(2)若角的平分线交于点，，，求的周长．
18．如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积记为S，且，D是的中点，点E在线段上且，线段与线段交于点M.
(1)求角A的大小；
(2)若，求的值；
(3)若，且点G是的重心，求线段的最小值.
19．如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．
(1)在仿射坐标系中，若，求；
(2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；
(3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值．
参考答案
1．A
【详解】.
故选：A
2．A
【详解】因为，所以.
因为，所以，
故外接圆的半径为5.
故选：A.
3．D
【详解】由，又，且，，三点共线，
所以，则.
故选：D
4．B
【详解】因为，，与的夹角为120°，
根据余弦定理，可得与的合力为，
因为三个力处于平衡状态，合力为0，
所以的大小为.
故选：B
5．A
【详解】由题意，因为，所以，
所以.
故选：A.
6．D
【详解】因为
，
所以，
因为，所以，或舍去，可得，
因为，由正弦定理得，
所以，
因为，所以，可得，
，所以.
故选：D.
7．B
【详解】令，则，
，解得，
即，又，
又，解得，，
，即，
所以.
故选：B．
8．A
【详解】设，，
则，
从而三点共线.
当时，最小，
则时，，又，从而
，又三点共线，则，故，
所以.
9．AB
【详解】对于A，因为，则角最大，
由余弦定理可得，
即角为锐角，所以为锐角三角形，故A正确；
对于B，由A可得，则，
则，故B正确；
对于C，由余弦定理可得，故C错误；
对于D，由正弦定理可得，即，故D错误；
故选：AB
10．BCD
【详解】非零向量满足，设，则，
对于A，由，得，解得，
，而，则，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，由选项A知，，则的外接圆半径，C正确；
对于D，显然，由，
得，则，当且仅当时取等号，
于是，解得，因此的最大值是，D正确.
故选：BCD
11．BC
【详解】对于选项A：根据正弦定理可得，解得，
所以外接圆的半径为，A错误；
对于选项B：在中，，所以.
在中，，所以.
因为，
所以， B正确；
对于选项C： 根据余弦定理得，
可得，
所以，当且仅当时等号成立，此时的最大值为3，C正确；
对于选项D：因为，
所以
因为，所以，
所以，
当时，，所以，此时取最小值.
所以的最小值为，D错误.
12．/
【详解】
如图，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合，则.
根据余弦定理得，
解得或（舍去），
故.由正弦定理得，
解得
13．/
【详解】依题意，
所以，
所以.
故答案为：
14．
【详解】由三角形面积公式可得，
可得，
∵，∴，
∴
，
当且仅当时等号成立，
结合二次函数的性质可知：当时，
取得最大值，所以S的最大值为.
故答案为：
15．(1)或；
(2).
【详解】（1）设，，，，即；
又，，解得或，
或．
（2）由题可知，，，
与的夹角是锐角，，解得，
又与不共线，，即，
实数的取值范围是．
16．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，所以.又，所以，
所以.
而，所以，
所以.
（2）由且，得，
所以
.
又，所以.
（3）由（2）知，所以，
所以.
又，所以，
所以.
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以．
因为，
所以，
整理可得．
因为，
所以，
从而，即有.
又，所以.
（2）在，角A的平分线交于点，，
由三角形内角平分线定理可知：.
设，则.
由（1）知，，
由余弦定理可得：，
整理可得.
又，，，
即，
解得，
所以周长为.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，则，
可得，
则，可得，
又因为，则，
则，所以；
（2）由题意可得：，，
由D、M、C三点共线得，
由B、M、E三点共线可得，
则，解得，
可得，可得，
所以；
（3）由重心定义得，则，
又因为，可得，
可得
，
当且仅当时，等号成立，
即，所以线段GM的最小值为.
19．(1)1
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知，、的夹角为，
由平面向量数量积的定义可得，
因为，则，
则，
所以.
（2）由，，得，，
且，
所以，，
则，
，
因为与的夹角为，所以，解得.
又，，所以；
（3）依题意，设、（，），且，，，
因为为的中点，则
，
因为为中点，同理可得，
所以，
由题意知，，
则，
在中，依据余弦定理得，所以，
代入上式得，.
在中，由正弦定理得，
设，则，且，
所以，，
，为锐角，且，
因为，则，
故当时，取最大值，
则.