湖北省武汉市部分省级示范高中2024-2025学年高一下学期4月期中测试数学试卷 PDF版含答案

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一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. A【解答】解：由题意，角α是第二象限角，它的终边与单位圆交于点 ，
所以 ，解得 ，所以 ．
故选：A．
2．C【解答】解：因为 tanα＝2，则 ．
故选：C．
3．B【解答】解：在△ABC 中， ， ，B＝60°，
由正弦定理得 ，而 a＜b，则 A＜B＝60°，
因此 A＝45°，所以 C＝ ＝75°．
故选：B．
4．A【解答】解：由题意可得： ， ， ， ，
∴ ，
故选：A．
5．C【解答】解： 4．
故选：C．
6．C【解答】解：A 项，y＝2sinxcsx＝sin2x，最小正周期为π，A 项错误；
B 项，y＝cs2x﹣sin2x＝cs2x，最小正周期为π，B 项错误；
C 项， ，最小正周期为 2π，C 项正确；
D 项， ，最小正周期为π，D 项错误．
故选：C．
7． D【解答】解：由图可知，A＝2，且 f（0）＝2sinφ＝﹣1，可得 sinφ ，
又|φ| ，∴φ ，故 A 错误；
由五点作图法可知， ，解得ω＝2，
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则 f（x）的最小正周期为 ，故 B 错误；
函数解析式为 f（x）＝2sin（2x ），
当 x∈ 时，2x ∈（2 ，3 ），2 < ，f（x）在区间 上不是单调递减的，故 C 错误；
由 f（x）＝0，可得 2x kπ，k∈Z，即 x ，k∈Z，
再由 ，解得 k ，由 ，解得 k ，
∴ k ，则 f（x）在区间[﹣2025π，2025π]上共有 8100 个零点，故 D 正确．
故选：D．
8． B
【 解 答 】 解 ： 由 题 意 可 得 ：
，
即 f（x）＝sinωx 是 上的“完整函数”，所以存在 ，使得 成立；
即存在 ，使得 f（x1）+f（x2）＝2 成立；
又因为 f（x）max＝1，因此 f（x1）＝f（x2）＝1，‘
即 f（x）＝sinωx 在 上至少存在两个最大值点，
所以 ，解得ω≥2；
当 ，即ω≥4 时，一定满足题意；
若 2≤ω＜4，因为 ，ω＞0，所以 ，
又易知 ；
所以只需保证 即可，解得 3≤ω＜4，
综上可知ω≥3．故选：B．
本题采用特例法验证亦可.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分.
9．ABD【解答】解：已知 ， ，
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对于 A，由题意可得 ，
所以 ，故 A 正确；
对于 B， ，故 B 正确；
对于 C，因为 ，
所以 ，故 C 错误；
对于 D， 在 方向上的投影向量是 ，故 D 正确．
故选：ABD．
另外，在平面直角坐标系中作出向量 ， ，从形的角度可直观得到结果.
10．AD
【解答】解：因为函数 ，
令 ，解得 ，
可得 f（x）的对称轴方程为 ，
当 k＝0 时， ，
可得 是 f（x）的一条对称轴，故 A 正确；
令 ，可得 ，
可得 f（x）的对称中心是 ，故 B 错误；
由 ，可得 ，
所以 ，故 C 错误；
将函数 f（x）的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，
所以 ，所以 g（x）是奇函数，
所以 g（﹣2025）+g（2025）＝0，故 D 正确．
故选：AD．
11．ACD【解答】解：对于 A：a＝1，且 bcsA﹣csB＝1，即 bcsA﹣acsB＝a，
由正弦定理得：sinBcsA﹣sinAcsB＝sinA，即 sin（B﹣A）＝sinA，
∴B﹣A＝A 或 B﹣A+A＝π（舍去），∴B＝2A，故 A 正确；
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对于 B：由正弦定理 ，则 ，
∵△ABC 为锐角三角形，则 ，即 ，
∴ ，所以 ，故 B 不正确；
对于 C：∵b＝2csA 且 ，∴ ，∴ ，
由正弦定理 ，求得 ，
即△ABC 的外接圆半径为 ，故 C 正确；
对于 D：
，
且 tanφ＝λ，∵ ，即 ，
要使得 有最大值，即 有最大值，
此时，当 sin（2A+φ）有最大值时，
即 时， 有最大值为 ，
此时 ， ，
又 ，∴ ，∴ ，
∴λ的取值范围为 ，故 D 正确．
故选：ACD．
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.【答案】
【解答】因为 为纯虚数，则 ，解得 .
故答案为： .
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13.【答案】 2
【解答】解：∵ a2+c2﹣b2＝4，由余弦定理可知，a2+c2﹣b2＝2ac•csB，
∴ ∴ 2．
14．【答案】答案 [﹣16，0]．
【解答】解：如图：
（ ）•（ ） R2，
判断 的取值范围即判断 R2 的取值范围即可，
由图可知| |的最大值为 R 时， 取最大值 0；
当 M 为 AC 中点时，| |最小，此时 R2﹣16， 取最小值﹣16，
故答案为：[﹣16，0]．
四、解答题:本大題共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15． 【解答】解：（1）复数 z1＝1﹣3i，z2＝a+i，a∈R，
∴z1z2＝（a+3）+（1﹣3a）i ，
∵z1z2 是“理想复数”，∴（a+3）+（1﹣3a）＝0，
∴a＝2． ………………….……..5 分
（2）由（1）知 z1＝1﹣3i，z2＝2+i，则 ，…….….7 分
∵ ，
∴由 ，
得 ．…13 分
16. 【答案】（1） （2）
【解答】（1）因为 ， ，则 ，
所以 …..6 分
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（2）因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以
. ……………15 分
17.【答案】(1) (2)
【解答】（1）向量 与向量 共线，有 ，
由正弦定理得 ，
∴ ，
由 ， ，∴ ， ，又 ，∴ .………..7 分
（2）由（1）知 ，∴ ， ，
，得 ，
由余弦定理： ，
∴ ，解得 . ……………15 分
18. 【答案】（1） （2）
【解答】（1） ，
，
因为 相邻的对称轴之间的距离为 ，所以 的最小正周期为 ，
所以 ，得 ，所以 ， …………5 分
令 ，则 ，
所以 的单调递减区间为 …………………..7 分
第 6页（共 8页）
（2）由（1）知 ，将 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，得到函
数 ，
再向左平移 个单位得 ，……… 分
令 ，则 ，所以 ，
因为 在 上只有一个解，
由 的图象可得， 或 ，
所以 的取值范围是 ………………… 分
19. 【答案】（1） （2）
【解答】（1）解： 在 中， ， ，则 ，
，
所以， ，
因为 ，则 ，
当 时，即当 时， 的面积取最大值，且最大值为 . ………..5 分
（2）解：过点 作 ，垂足为点 ，
因为 ， ， ，则四边形 为矩形，
所以， ， ，
因为 ， ，则 为等腰直角三角形，则
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，
所以， ，
， ，
所以， ， ………………… 分
令 ，
因为 ，则 ，则 ，
所以， ， ，
所以， ，
所以， ，
故当 时， 取最大值 ，
因此，从点 出发，经过线段 、 、 、 ，到达点 ，求途径线段长度的最大值为 .
………………… 分
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