湖北省顶级名校2025-2026学年高一上学期12月月考试题 数学（含答案）

这是一份湖北省顶级名校2025-2026学年高一上学期12月月考试题 数学（含答案），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列函数中，定义域与值域相同的函数是（ ）
A．B．C．D．
2．函数与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．若函数为上的单调递增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ）
A．B．C．D．
5．函数（）的值域为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，定义域为的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，则所有交点的横､纵坐标之和为（ ）
A．0B．5C．10D．20
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．的定义域为B．为奇函数
C．为上的减函数D．无最值
10．已知函数和的定义域均为R，为奇函数，为偶函数，，则（ ）
A．B．
C．D．的图象关于直线对称
11．若，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知，，则 （用，表示）．
13．函数的值域为 .
14．设，若有不相等的实数满足，则的取值范围是 .
四、解答题
15．化简求值：
(1)已知，求的值．
(2)已知，求：．
16．已知函数.
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围.
17．已知命题，，命题，．
(1)若为假命题，求实数的取值范围；
(2)若，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．
18．已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点．
(1)求a，b的值；
(2)求不等式的解集；
(3)设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围．
19．已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称具有“-互倒性”．设，．
(1)判断函数是否具有“-互倒性”，并说明理由；
(2)当时，若函数与的图象恰有一个交点，求实数的值；
(3)当时，设，已知在区间上有两个零点，，证明：．
1．B
根据指对幂函数的性质确定各项函数对应的值域和定义域，即可得.
【详解】函数的值域为，而其定义域为，A不符合，
函数的值域为，且其定义域也为，B符合，
函数的值域为，而其定义域为，C不符合，
函数的值域为，而其定义域为，D不符合.
故选：B
2．A
根据指数函数和幂函数的图象和性质直接判断即可.
【详解】函数为单调递减的指数函数，且过点，其值域为，排除B，D.
函数为幂函数，定义域和值域都是，且单调递增，过点.
故选：A.
3．B
根据指数函数、二次函数的单调性，结合分段点函数值的大小关系列不等式组求解可得.
【详解】由在上单调递增，可得
解得：.
故选：B.
4．C
根据幂函数的定义及单调性求出，再结合指数函数的性质可得.
【详解】因为函数为幂函数，
所以，解得或，
又为为增函数，则，
故恒过定点.
故选：C.
5．B
应用换元法及对数函数的性质，令，从而有，结合二次函数的性质求值域.
【详解】，且，
令，则，
又的图象开口向上且对称轴为，且，
所以.
故选：B
6．D
由，利用指数函数的单调性即可比较与的大小，又，利用不等式的性质即可求解.
【详解】由，又在上单调递增，
又，所以，即，又，所以，
故选：D.
7．B
利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再由解析式及对数函数、复合函数的单调性判断的单调性，应用奇偶性、单调性解不等式即可.
【详解】由解析式知，函数的定义域为，
且，
所以在上为奇函数，且为连续函数，
由在上单调递增，在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，
结合奇函数的对称性，在上单调递增，
由，
所以不等式的解集为.
故选：B
8．D
根据题意得到，的图象关于对称，设关于点对称的坐标为，，则，，同理可得，，即可得到答案.
【详解】因为定义域为，
令，
则，
所以为奇函数，图象关于原点对称，
故的图象关于对称，因为，则的图象也关于对称，
所以与的交点也关于对称，
若函数与的图象有四个交点，分别为，
不妨设，则，，
则，，
则所有交点的横､纵坐标之和为.
故选：D.
9．ABD
利用指数函数的性质及函数的单调性、奇偶性一一判定选项即可.
【详解】对于A项，由可知，所以，即其定义域为，A正确；
对于B项，，显然，
所以为奇函数，B正确；
对于C项，由A项结论可知显然错误；
对于D项，由指数函数的性质知：当时，
，所以，
则，故D正确；
故选：ABD
10．BCD
由为奇函数，令，可判断B，由，令可判断A，由是偶函数，通过方程组法可判断C，由对称性的概念可判断D.
【详解】由为奇函数，得，
令，得，B正确．
对于，
令，得，A错误．
因为是偶函数，所以，
对于，以代替x得①，
则②，所以，C正确．
①与②相减得，
即，则的图象关于直线对称，D正确．
故选：BCD
11．AD
令，利用单调性可得，判断A；利用赋值法判断B；可得判断C；令，利用单调性可判断D.
【详解】由题意知，整理得，
令为增函数，为增函数，
所以函数单调递增，，故A正确；
当时不满足，故B错误；
由，故C错误；
令，函数单调递增，
因为，所以，故D正确.
故选：AD.
12．
根据换底公式即可求解.
【详解】.
故答案为：
13．
利用换元法转化为指数函数和二次函数的值域问题求解即可.
【详解】令，
则原函数值域等价于函数的值域，
由指数函数性质可知，故函数的值域为.
故答案为：
14．
根据解析式作出函数的图象，得到的范围，再由得到，从而得解.
【详解】对于，
当时，，则；
当时，，则，且当时，；
当时，，则，
且当时，，当时，，；
作出函数的图象，如图，
不妨设，因为，则，
由得，则，
由，得，即，
则.
故答案为：.
15．(1)；
(2).
（1）将目标式化为，结合化简求值即可；
（2）根据已知先求出、，再代入目标式求值.
【详解】（1）由，则，
而，则；
（2）由，
，
所以.
16．(1)
(2)
（1）根据二次函数以及对数复合函数的单调性即可求解，
（2）利用二次函数的性质求解的最值，即可根据对任意的恒成立，分离参数，利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）若在上单调递增，则需满足，解得
（2），
由于，，故，
由于对于任意，存在，使得不等式成立，故，因此对任意的恒成立，
因此对任意的恒成立，
故对任意的恒成立，
由于，当且仅当时取到等号，
故
17．(1)
(2)
（1）由为真命题求出实数的取值范围，则其补集就是为假命题实数的取值范围；
（2）分真假、假真两种情况求解.
【详解】（1）若为真命题，则当，不等式变为解集为，满足；
若，则，解得，
所以实数的取值范围为，
所以当为假命题时，实数的取值范围为.
（2）若命题为真，即，，
令，则，不等式变为，即，
设，
的图象开口向下，对称轴为，在单调递减，
所以，所以，
即命题为真时，实数的取值范围为.
若真假，则，解得；
若假真，则或，解得
综上，若，中有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围为.
18．(1)
(2)
(3)
（1）直接待定系数法求解即可；
（2）结合（1）得，进而得，再解指数不等式即可得；
（3）根据题意，转化为函数在上的值域为函数在上的值域的子集，进而根据集合关系求解即可.
【详解】（1）由题意知，，即，解得：
所以，
（2）由（1）知，，
所以，即，
所以，令，
则，
解得；解得，
所以，的解集为，即，解得，
所以不等式的解集为
（3）由得函数，
当时，，
故，
当时，
因为对任意，存在，使得成立，
所以是的子集，
所以，即，
所以实数的取值范围为
19．(1)答案见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
（1）假设具有“-互倒性”，由求判断；
（2）将函数与的图象恰有一个交点转化为恰有一根求解；
（3）用反证法证明.
【详解】（1）函数定义域为，对，
,
若，则，
整理得：，
若函数具有“-互倒性”，则方程中各项系数为，则，解得，
即存在，使函数具有“-互倒性”.
（2）当时，,
函数与的图象恰有一个交点，即方程有且仅有一个解，
令，则，，方程变为：，
即，令，
对，由均值不等式，当且仅当，即时取等号，
对，当时其最小值为，
所以当时，取得最小值，
因为方程有且仅有一个解，所以.
（3）当时，，
设是的两个零点，则①，
②，
①②得，
整理得
假设，则，所以，
又，所以，而与同号，
所以与同号，
与矛盾，
所以假设不成立，所以.