第15讲 几何图形初步（讲义） 2大考点10大题型（举一反三）-2025年中考数学一轮复习（全国版）

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考点一
线段与角
1、直线、射线、线段
(1)直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简称：两点确定一条直线。
(2)相交线：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交。这个公共点叫做它们的交点。
(3)两点的所有连线中，线段最短。 简称：两点之间，线段最短。
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。
(4)线段的中点：线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点。
(5)直线没有端点，向两方无限延伸，不可度量；
射线有一个端点，向一方无限延伸，不可度量；
线段有两个端点，不向任何一方延伸，能度量。
2、角
(1)定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，两条射线是角的两条边。
(2)角的度量
1°=60′， 1′=60″
(3)角的分类
①锐角(0°< α < 90°)
②直角(α = 90°)
③钝角(90°< α < 180°)
④平角(α =180°)
⑤周角(α =360°)
(4)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
(5)角平分线的性质与判定：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
(6)余角与补角
余角：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角。
补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角。
性质：同角(等角)的余角相等。同角(等角)的补角相等。
【题型1 直线、射线和线段】
【例1】（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【变式1-1】（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．

【变式1-2】（2024·浙江温州·中考真题）下面给出的四条线段中，最长的是（ ）
A．aB．bC．cD．d
【变式1-3】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有 个交点
【题型2 线段长度的相关计算】
【例2】（2024·四川达州·二模）如图，点C在线段AB上，图中三条线段中，若有一条线段长是另一条线段长的两倍，则称点C是线段AB的“巧分点”． 已知AB=6，点C是线段AB的“巧分点”，则BC= .

【变式2-1】（2024·河北秦皇岛·一模）如图，点A，B，C在直线l上，AB=m，BC=nAB，m，n满足m−3+n−22=0．
(1)求线段AC的长．
(2)P为线段BA延长线上一点，若以PA，AB，BC的长为边长的三角形为等腰三角形，求线段PC的长．
【变式2-2】（2024·山东菏泽·中考真题）已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段AC= cm．
【变式2-3】（2024·河南驻马店·一模）有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M−P−N，若该折线M−P−N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线A−C−B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD=3,CE=4，则线段BC的长是（ ）
A．2B．4C．2或14D．4或14
【题型3 确定线段之间的关系】
【例3】（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，已知M是线段AB的中点，N是AM上一点且满足MN=2AN，P为BN的中点，则AB=（ ）MP．
A．9B．10C．11D．12
【变式3-1】（2024·江西·中考模拟）如图，C，B是线段AD上的两点，若AB=CD，BC=2AC，则AC与CD的关系为（ ）

A．CD=2ACB．CD=3ACC．CD=4ACD．不能确定
【变式3-2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图，A、B、C、D依次是直线m上的四个点，且线段AB+CD=5，则线段AD−BC=
【变式3-3】（2024·江苏·模拟预测）如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC,BC的中点．
(1)若AC=9cm,CB=6cm，求线段MN的长；
(2)若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？请直接写出你的答案．
(3)若C在线段AB的延长线上，且满足AC−BC=bcm，M、N分别为AC,BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
【题型4 与角平分线相关的计算】
【例4】（2024·山东东营·中考真题）如图，直线AB、CD相交于点O,射线OM平分∠BOD,若∠AOC=42°，则∠AOM等于（ ）
A．159∘B．161∘C．169∘D．138∘
【变式4-1】（2024·山东日照·中考真题）如图，AD是∠CAE的平分线，∠B=35°，∠DAC=60°，则∠ACD等于（ ）
A．25°B．85°C．60°D．95°
【变式4-2】（2024·四川乐山·中考真题）如图，E是直线CA上一点，∠FEA=40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB=（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【变式4-3】9．（2024·湖南益阳·中考真题）如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠AOD= 度．
考点二
相交线与平行线
1、邻补角与对顶角
邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做互为邻补角。
对顶角：有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
对顶角相等。
2、垂线
(1)定义：两直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
(2)性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
(3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
3、同位角、内错角、同旁内角
如图，∠1和∠4是同位角，∠3和∠4是内错角，∠2和∠4是同旁内角。
4、平行线
(1)定义：在平面内不相交的两条直线叫做平行线。
(2)平行公理
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
(3)平行线的性质
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
(4)平行线的判定
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
【题型5 与对顶角、邻补角相关的计算】
【例5】（2024·广东深圳·中考真题）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF=120°，DE与地面平行，∠ABD=50°，则∠ACB=（ ）

A．70°B．65°C．60°D．50°
【变式5-1】（2024·北京·中考真题）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC=120°，则∠BOD的大小为（ ）

A．30°B．40°C．50°D．60°
【变式5-2】（2024·福建莆田·中考真题）将一副三角尺按如图所示放置，则∠1= 度．
【变式5-3】（2024·河北·中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应 （填“增加”或“减少”） 度．
【题型6 确定角度之间的关系】
【例6】（2024·北京·模拟预测）如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．

(1)求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF．
(2)如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系．
(3)已知∠BEQ=1n∠BEP，∠DFQ=1n∠DFP，有∠P与∠Q有什么关系．（直接写结论）
【变式6-1】（2024·浙江衢州·中考真题）已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）
A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角
【变式6-2】（2024·山西太原·一模）综合与探究：如图，射线OB在OA上方，射线OC在OA下方，∠AOB=α，∠AOC=β（0°