功能关系及其与图像的综合问题 ——高中物理人教版二轮复习专题 学案

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1．对功能关系的理解
（1）做功的过程就是能量转化的过程。不同的力做功，对应不同形式的能量转化。
（2）功是能量转化的量度，做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。
2．几种常见的功能关系及其表达式
二．典例精讲
1．功能关系的理解与应用
例题1 （多选）（2025·新疆乌鲁木齐·模拟题）如图所示，质量为2 kg的物体沿倾角为30°的固定斜面匀减速上滑了2 m距离，物体加速度的大小为8 m/s2（重力加速度g取10 m/s2）。在此过程中（ ）
A．物体的重力势能增加了40 JB．物体的机械能减少了12 J
C．物体的动能减少了32 JD．斜面克服摩擦力做功为12 J
【答案】BC
【解析】物体重力势能的增加量等于克服重力做的功，故有ΔEp＝mg·ssin 30°＝20 J，故物体的重力势能增加了20 J，故A错误；物体上滑过程，据牛顿第二定律有mgsin 30°＋f＝ma，解得f＝6 N，摩擦力对物体做的功等于物体机械能的改变量，故有ΔE机＝－f·s＝－12 J，即物体机械能减少了12 J，故B正确；据动能定理有ΔEk＝－mg·ssin 30°－fs＝－32 J，故物体的动能减少了32 J，故C正确；由于物体在上滑的过程中，斜面保持静止不动，所以斜面克服摩擦力做功为零，故D错误。故选BC。
例题2 （2024·山东·历年真题）如图所示，质量均为m的甲、乙两同学，分别坐在水平放置的轻木板上，木板通过一根原长为l的轻质弹性绳连接，连接点等高且间距为d（d＜l）。两木板与地面间动摩擦因数均为μ，弹性绳劲度系数为k，被拉伸时弹性势能E＝（x为绳的伸长量）。现用水平力F缓慢拉动乙所坐木板，直至甲所坐木板刚要离开原位置，此过程中两人与所坐木板保持相对静止，k保持不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，则F所做的功等于（ ）
A．＋μmg(l－d)B．＋μmg(l－d)
C．＋2μmg(l－d)D．＋2μmg(l－d)
【答案】B
【解析】当甲所坐木板刚要离开原位置时，对甲及其所坐木板整体有μmg＝kx0，解得弹性绳的伸长量x0＝，则此时弹性绳的弹性势能为E0＝；水平力F缓慢拉动乙所坐木板，可认为乙与其所坐木板的动能变化量为零，从开始拉动乙所坐木板到甲所坐木板刚要离开原位置的过程，乙所坐木板的位移为x1＝x0＋l－d，由功能关系可知该过程F所做的功W＝E0＋μmgx1＝＋μmg(l－d)，B正确。
2．功能关系与图像的综合应用
例题3 （多选）（2025·山东济南·模拟题）如图甲所示，倾角为θ＝37°的光滑斜面固定在水平地面上，匀强电场沿斜面方向。带正电的滑块以一定的初速度从斜面底端开始上滑。若斜面足够长，上滑过程中滑块的机械能和动能随位移变化的关系图线如图乙所示，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，则下列说法正确的是（ ）
A．滑块上升过程中动能与电势能之和增大
B．滑块的重力大小为
C．滑块受到的静电力大小为
D．滑块上滑过程中，重力势能增加了4E0
【答案】BC
【解析】滑块上升过程中重力势能增加，根据能量守恒定律可知，动能与电势能之和减少，故A错误；由题图知，上滑过程中，机械能减少，则静电力对木块做负功，滑块的机械能减少了ΔE＝4E0－3E0＝E0，动能减少ΔEk＝4E0，所以滑块的重力势能增加了ΔEp＝4E0－E0＝3E0，故D错误；由图乙可知滑块上滑的距离为x0，则有Fx0＝E0，滑块受到的静电力大小为F＝，故C正确；滑块上滑过程中，重力做负功，滑块的部分动能转化为重力势能，则有mgsin 37°·x0＝3E0，则滑块的重力大小为mg＝，故B正确。故选BC。
三．跟踪训练
1．（2024·北京·模拟题）如图所示，一条不可伸长的轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球A和B，B球的质量是A球的3倍。用手托住B球，使轻绳拉紧，A球静止于地面。不计空气阻力、定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦，重力加速度为g。由静止释放B球，到B球落地前的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．A球的加速度大小为2g
B．拉力对A球做的功等于A球机械能的增加量
C．重力对B球做的功等于B球动能的增加量
D．B球机械能的减少量大于A球机械能的增加量
【答案】B
【解析】A．设A球质量m，则B球质量3 m，绳子张力大小T，
根据牛顿第二定律3mg－T＝3 ma，T－mg＝ma，解得a＝，故A错误；
B．拉力对A球做正功，拉力对A球做的功等于A球机械能的增加量，故B正确；
C．根据动能定理，重力与绳子拉力的合力对B球做的功等于B球动能的增加量，故C错误；
D．对A、B整体，整体只有重力做功，机械能守恒，则B球机械能的减少量等于A球机械能的增加量，故D错误。
故选B。
2．（2024·江苏·联考题）如图半径为R的圆弧曲面固定在水平面上，圆弧曲面各处粗糙程度相同。小物块从圆弧上的A点由静止释放，下滑到最低点B。规定B点重力势能为零。物块下滑过程中，重力势能Ep和机械能E与高度h关系图像中，最接近真实情况的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据重力势能与重力做功的关系，在下落高度h时，其重力势能为Ep＝mg(R－h)＝mgR－mgh，故重力势能与高度h的图像是一条斜率不变的倾斜直线，且当h＝0时，重力势能最大，h＝R时，重力势能为零。物块下落高度h时，由功能关系可得此时物块的机械能为E＝mgR－Wf，在下滑的过程中，物块的速度逐渐增大。设在运动过程中重力与速度的夹角为θ，则在运动过程中根据牛顿第二定律得F向＝FN－mgsin θ＝，根据滑动摩擦力的定义可知f＝μFN′，即物块在下滑的过程中，物块所受摩擦力逐渐增大，故摩擦力做的功逐渐增大，即在下滑相同的高度时，物块的机械能损耗的越多。
综上所述，故A正确，BCD错误。故选A。
能量
功能关系
表达式
势能
重力做的功等于重力势能减少量
W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
弹力做的功等于弹性势能减少量
静电力做的功等于电势能减少量
分子力做的功等于分子势能的减少量
动能
合外力做的功等于物体动能变化量
W＝Ek2－Ek1＝
机械能
除重力和弹力之外的其他力做的功等于机械能变化量
W其他＝E2－E1＝ΔE
摩擦产生的内能
一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的绝对值等于产生的内能
Q＝Ff·x相对
电能
克服安培力做的功等于电能增加量
W克安＝E2－E1＝ΔE电