电场强度的叠加 ——高中物理人教版二轮复习专题 学案

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1．电场强度的理解
（1）电场强度反映电场本身的性质，由场源和位置决定，与试探电荷无关。
（2）根据定义式E＝，对某一位置E一定，F与q成正比。
2．场强公式的比较
三个公式
3．电场的叠加
（1）电场叠加：多个电荷在空间某处产生的电场强度为各电荷单独在该处所产生的电场强度的矢量和。
（2）运算法则：平行四边形定则。
4．点电荷电场强度的叠加（如图所示）
5．非点电荷的电场强度的求解
（1）对称法：利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题简化。
例如：如图所示，均匀带电的球壳在O点产生的电场，等效为弧BC产生的电场，弧BC产生的电场强度方向，又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向。
（2）填补法：将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍。
（3）等效法：在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景。
例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个等量异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示。
（4）微元法：将带电体分成许多电荷元，每个电荷元看成点电荷，先根据库仑定律求出每个电荷元的场强，再结合对称性和场强叠加原理求出合场强。
二．典例精讲
1．点电荷的电场强度的叠加
例题1 （2024·贵州·历年真题）如图，A、B、C三个点位于以O为圆心的圆上，直径AB与弦BC间的夹角为30°。A、B两点分别放有电荷量大小为qA、qB的点电荷时，C点的电场强度方向恰好沿圆的切线方向，则等于（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】根据题意，qA、qB带异种电荷，假设qA为正点电荷，qB为负点电荷，两点电荷产生的场强如图所示：
设圆的半径为r，根据数学知识A点到C点的距离rA＝r
B点到C点的距离rB＝2rcs 30°＝
根据点电荷的场强公式，点电荷qA在C点产生的场强EA＝
点电荷qB在C点产生的场强EB＝
根据数学知识tan 30°＝，代入数据联立解得
综上分析，故ACD错误，B正确。故选：B。
2．非点电荷的电场强度的求解
例题2 （对称法）（2024·河北·历年真题）如图，真空中有两个电荷量均为q（q＞0）的点电荷，分别固定在正三角形ABC的顶点B、C。M为三角形ABC的中心，沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为。已知正三角形ABC的边长为a，M点的电场强度为0，静电力常量为k。顶点A处的电场强度大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】B点C点的电荷在M的场强的合场强为E＝
因M点的合场强为零，因此带电细杆在M点的场强EM＝E，
由对称性可知带电细杆在A点的场强为EA＝EM＝E，方向竖直向上，
因此A点合场强为E合＝EA＋，故选D。
例题3 （填补法）已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为R。现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为V＝，则A点处检验电荷q受到的电场力的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】实心大球对q的库仑力F1＝，实心小球的电荷量Q′＝＝，实心小球对q的库仑力F2＝＝，检验电荷q所受的电场力F＝F1－F2＝，选项B正确。
例题4 （等效法）（2025·云南·模拟题）如图所示，图甲中MN为足够大的不带电接地薄金属板，在金属板的右侧，距离为d的位置上放一个电荷量为＋q的点电荷O，由于静电感应产生了如图甲所示的电场。P是金属板上的一点，P点与点电荷O之间的距离为r，几位同学想求出P点的电场强度大小，但发现很难，几位同学经过仔细研究，从图乙所示的电场得到了一些启示，经过查阅资料他们知道图甲所示的电场分布与图乙中虚线右侧的电场分布是一样的。图乙中两异种点电荷所带电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2d，虚线是两点电荷连线的中垂线。由此他们分别对P点的电场强度方向和大小作出以下判断，其中正确的是（ ）
A．方向沿P点和点电荷O的连线向左，大小为
B．方向沿P点和点电荷O的连线向左，大小为
C．方向垂直于金属板向左，大小为
D．方向垂直于金属板向左，大小为
【答案】C
【解析】常见电场的电场线分布及等势面的分布要求我们能熟练掌握，并要注意沿电场线的方向电势是降低的，同时注意等量异号电荷形成电场的对称性。
根据P点的电场线方向可以得P点的电场强度方向是垂直于金属板向左，两异号点电荷电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2d，P点与点电荷O之间的距离为r，根据点电荷的场强公式E＝，P点的电场是由两异号点电荷分别产生的场强叠加产生的，设正负电荷在P点产生的场强方向与水平方向成α角，cs α＝，根据场强的叠加法则和几何关系得大小为E＝。故C正确，ABD错误。故选：C。
例题5 （微元法）（2024·河北石家庄·联考题）如图所示，真空中有一电荷均匀分布的带正电圆环，半径为r，带电荷量为q，圆心O在x轴的坐标原点处，圆环的边缘A点与x轴上P点的连线与x轴的夹角为37°，静电力常量为k，取sin 37°＝，cs 37°＝，则整个圆环产生的电场在P点的电场强度大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】把圆环分为n等份（n足够大），每一份的电荷量为Δq，则有n＝，每小份可以看成点电荷，由点电荷的电场强度公式可知每小份产生的电场在P点的电场强度大小均为E0＝，由几何关系sin 37°＝，可得E0＝。在P点，E0在垂直x轴方向的分量大小为Ey，根据对称性，n个Ey的矢量和为0，E0在x轴方向的分量大小为Ex＝E0cs 37°，n个Ex的矢量和就是圆环产生的电场在P点的电场强度，即E＝nEx，解得E＝，A、C、D错误，B正确。故选B。
三．跟踪训练
1．如图所示，四个点电荷所带电荷量的绝对值均为Q，分别固定在正方形的四个顶点上，正方形边长为a，则正方形两条对角线交点处的电场强度（ ）
A．大小为，方向竖直向上B．大小为，方向竖直向上
C．大小为，方向竖直向下D．大小为，方向竖直向下
【答案】C
【解析】一个点电荷在两条对角线交点O处产生的电场强度大小为E＝＝，对角线上的两异种点电荷在O处的合电场强度为E合＝2E＝，方向由正电荷指向负电荷，两对角线方向的电场强度互相垂直，合电场强度为EO＝＝，方向竖直向下。故选C。
2．如图所示，电荷均匀分布的半球，在中心O处的电场强度的大小为E0，现沿图示方向过球心O从半球上切下一瓣，夹角为α＝60°，则切下的一瓣在O点的电场强度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】将半球面看作是无数点电荷的集合，根据对称性可知O点只具有竖直平面内的电场强度分量，且切下的一瓣在O点的电场强度与水平方向夹角为，斜向右下，剩余的一瓣在O点的电场强度与水平方向夹角为，斜向左下，如图所示，根据矢量的运算法则及几何关系可知切下的一瓣在O点的电场强度为。故选B。
3．如图所示，半径为R的绝缘细圆环上均匀分布着电荷量为Q的正电荷，A、B、C三点将圆周三等分。取走A、B处弧长均为ΔL的圆弧上的电荷（ΔL≪R），静电力常量为k，此时圆心O处电场强度（ ）
A．方向沿CO，大小为B．方向沿OC，大小为
C．方向沿CO，大小为D．方向沿OC，大小为
【答案】A
【解析】由于圆环所带电荷量均匀分布，所以长度为Δl的小圆弧所带电荷量q＝，没有取走电荷时圆心O点的电场强度为零，取走A、B处电荷后，圆环剩余电荷在O点产生的电场强度大小等于取走的两电荷在O点产生的场强的叠加，方向相反，即E＝，解得E＝，方向沿CO，故选A。
4．（2024·河北沧州·模拟题）如图所示，半径为R的均匀带电金属球壳，所带电荷量为Q。在球壳上取一小面积ΔS （ΔS≪4πR2）， 球壳上其余部分电荷对ΔS所带电荷的作用力为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在紧挨着ΔS面取两点a和b，a在内部，b在外部。
设ΔS所带电荷分别在a、b两点形成的电场强度大小为E1，其余部分在a、b两点形成的电场强度大小为E2，所以a点电场强度大小为E1－E2＝0，b点电场强度大小为E1＋E2＝，解得E2＝，所以其余部分对ΔS所带电荷的电场力F＝E2q＝＝，故A正确，BCD错误。