小船渡河问题 ——高中物理人教版二轮复习专题 学案

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1．船的实际运动：是随水漂流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2．三种速度：船在静水中的速度v船、水流的速度v水、船的实际速度v。
3．三类问题、四种情境
4．小船渡河问题分析思路
二．典例精讲
1．渡河时间问题
例题1 如图所示，一条小船从A处码头过河，小船在静水中的速度为v，船头指向始终与河岸垂直（沿AA′方向）。当水流速度为v1时，小船运动到河对岸B处的码头靠岸，AB与河岸的夹角为α＝60°。当水流速度为v2时，小船运动到河对岸C处的码头靠岸，AC与河岸的夹角为β＝30°。下列说法正确的是（ ）
A．小船沿AB、AC过河的时间相等
B．小船沿AC过河的时间更长
C．v1∶v2＝1∶2
D．当水流速度为v1时，要使小船到达A′处码头，船头应指向河的上游且与河岸夹角为60°
【答案】A
【解析】因船头始终垂直于河岸，可知船过河的时间为t＝，即小船沿AB、AC过河的时间相等，A项正确，B项错误；由题意可知tan 60°＝，tan 30°＝，解得v1∶v2＝1∶3，C项错误；当水流速度为v1时，要使小船到达A′处码头，则合速度应该垂直河对岸，船头应指向河的上游且与河岸夹角为θ，且有cs θ＝，则θ≠60°，D项错误。
2．渡河位移问题
例题2 （多选）如图，某条河宽为600 m，河水流速恒为v1＝3 m/s，小船在静水中的运动速度大小为v2＝4 m/s，小船可视为质点。则（ ）
A．船的最短渡河时间为120 s
B．若船以最短时间渡河，渡河位移大小为600 m
C．船渡河的速度大小可能大于5 m/s
D．若水流速度为v3＝5 m/s，小船的最短渡河位移大小为750 m
【答案】CD
【解析】船速度v2垂直河岸方向时，渡河所用的时间最短，最短时间t＝ s＝150 s，A项错误；船以最短时间渡河时，合速度大小v＝＝5 m/s，合位移大小s＝vt＝750 m，B项错误；船与下游河岸的夹角小于90°时，合速度大小大于5 m/s，C项正确；若水流速度大于小船在静水中速度，小船不能垂直河岸渡河。如图所示，以水流速度v3矢量的末端为圆心，以船速大小v2为半径作圆，过A点（v3矢量的始端）作圆的切线AC，合速度方向沿AC方向。由图得合速度v合与v3的夹角为θ，且有sin θ＝，合位移AC为最短位移，由几何知识得AC＝，联立解得最短位移AC＝750 m，D项正确。
三．跟踪训练
1．（多选）如图，小船以大小为v1＝5 m/s、船头与上游河岸成θ＝60°角的速度（在静水中的速度）从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d＝180 m，则下列说法中正确的是（ ）
A．河中水流速度为 m/s
B．小船以最短位移渡河的时间为 s
C．小船渡河的最短时间为24 s
D．小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是 m
【答案】BD
【解析】河中水流速度为v2＝v1cs 60°＝2.5 m/s，选项A错误；小船以最短位移渡河的时间为t＝ s＝ s，选项B正确；当船头方向指向正对岸时渡河时间最短，则小船渡河的最短时间为tmin＝ s＝36 s，选项C错误；小船以最短时间渡河时到达对岸沿水流方向的位移大小是x＝v2tmin＝2.5×36 m＝90 m，则总位移大小s＝＝ m，选项D正确。
2．有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒定的大河。小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比值为k，已知船在静水中的速度大小为v，下列说法正确的是（ ）
A．去程是所有渡河方式中路程最小的B．回程是所有渡河方式中时间最短的
C．河水流动的速度为D．河水流动的速度为
【答案】C
【解析确认答案是否正确，缺解析
】
3．小船匀速渡河，已知船在静水中的速度为v船＝5 m/s，水流速度v水＝3 m/s，河宽为d＝60 m，已知在渡河过程中船头方向保持不变，小船渡河时间为t＝20 s。下列说法中正确的是（ ）
A．小船恰好垂直到达河对岸
B．船头方向与河岸的夹角的正切值为0.75
C．小船到达对岸时一定在出发点上游20 m处
D．调整船头的方向，最短的渡河时间为15 s
【答案】B
【解析】小船若垂直到达河对岸，即船的合速度垂直于河岸，则v合＝＝4 m/s，小船的渡河时间t′＝＝15 s，故A错误；设船头方向与河岸的夹角为θ，将船速沿着河岸和垂直于河岸分解，得v⊥＝v船sin θ，根据分运动和合运动的等时性可知t＝＝20 s，解得θ＝37°，tan θ＝0.75，故B正确；结合B选项分析，船速平行河岸分量v＝v船cs θ＝4 m/s，若船头方向与河岸的夹角为θ并指向河岸上游，则小船平行于河岸方向的分运动速度为v平＝v－v水＝1 m/s，则小船到达对岸时，在出发点上游的距离为x＝v平t＝20 m，若船头方向与河岸的夹角为θ并指向河岸下游，则小船平行于河岸方向的分运动速度为v′平＝v＋v水＝7 m/s，则小船到达对岸时，在出发点下游的距离为x′＝v′平t＝140 m，故C错误；当船头垂直于河对岸渡河时，渡河时间最短，为tmin＝＝12 s，故D错误。
4．（多选）如图所示，某段河面宽120 m，小船从A点开始渡河，A点下游160 m的B处是一片左侧边界与河岸垂直的险滩，已知水流速度大小恒为5 m/s。小船不进入险滩处可视为安全渡河，下列说法正确的是（ ）
A．若小船相对静水的速度大小恒为10 m/s，则小船最短渡河时间为10 s
B．若小船相对静水的速度大小恒为8 m/s，则小船最短渡河位移大小为120 m
C．若小船相对静水的速度大小恒为4 m/s，则小船最短渡河位移大小为120 m
D．若要使小船能安全渡河，则小船相对静水的最小速度为3 m/s
【答案】BD
【解析确认答案是否正确，缺解析
】
情境
说明
渡河时间最短
当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河位移最短
当v水＜v船时，如果满足v水－v船cs θ＝0，合速度垂直河岸，则渡河位移最短（等于河宽d）
当v水＞v船时，如果船头方向（即v船方向）与合速度方向垂直，则渡河位移最短，最短渡河位移smin＝
渡河船速最小
在水流速度v水和船的航行方向（即v合方向）一定的前提下，当船头方向（即v船方向）与合速度方向垂直时，有满足条件的最小船速，即v船min＝v水sin θ