斜抛运动 ——高中物理人教版二轮复习专题 学案

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1．基本规律和极值。
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。
初速度可分解为v0x＝v0cs θ，v0y＝v0sin θ。
在水平方向，物体的位移和速度分别为
x＝v0xt＝(v0cs θ)t， ①
vx＝v0x＝v0cs θ， ②
在竖直方向，物体的位移和速度分别为y＝v0yt－＝(v0sin θ)t－， ③
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt。 ④
在最高点，vy＝0，由④式得到t＝，⑤
将⑤式代入③式得物体的射高ym＝，⑥
物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0，
由③式得总时间t总＝， ⑦
将⑦式代入①式得物体的射程xm＝，
当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大。
所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大。
2．逆向思维法处理斜抛问题。
对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题。
二．典例精讲
1．斜抛运动规律的应用
例题1 如图甲，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（ ）
A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B．谷粒2在最高点的速度小于v1
C．两谷粒从O到P的运动时间相等
D．两谷粒从O到P的平均速度相等
【答案】B
【解析】抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A项错误；在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同，谷粒2运动时间较长，C项错误；两谷粒水平方向的分运动均为匀速直线运动，水平位移相同，但谷粒2运动时间较长，故谷粒2水平方向上的速度小于v1，B项正确；两谷粒从O点运动到P点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D项错误。
例题2 （多选）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．运动时间为 s
B．落地速度与水平方向夹角为60°
C．重物离PQ连线的最远距离为10 m
D．轨迹最高点与落点的高度差为45 m
【答案】BD
【解析】将初速度分解为沿PQ方向的分速度v1和垂直PQ方向的分速度v2，则有v1＝v0cs 60°＝10 m/s，v2＝v0sin 60°＝ m/s，将重力加速度分解为沿PQ方向的分加速度a1和垂直PQ方向的分加速度a2，则有a1＝gsin 30°＝5 m/s2，a2＝gcs 30°＝ m/s2，垂直PQ方向根据对称性可得重物的运动时间t＝2×＝4 s，重物离P、Q连线的最远距离dmax＝ m，故A、C错误；重物落地时竖直分速度大小vy＝－v0sin 30°＋gt＝30 m/s，则落地速度与水平方向夹角的正切值tan θ＝，可得θ＝60°，故B正确；从抛出到最高点所用时间t1＝＝1 s，则从最高点到落地所用时间t2＝t－t1＝3 s，轨迹最高点与落点的高度差h＝＝45 m，故D正确。
2．利用逆向思维研究斜抛运动
例题3 如图，运动员起跳投篮。篮球恰好垂直击中篮板“打板区”方框的上沿线中点，反弹落入篮圈，已知篮球出手时球心离地的高度h1＝2.25 m，与篮板的水平距离L1＝1.17 m，篮圈离地的高度h2＝3.05 m，“打板区”方框的上沿线离篮圈的高度h3＝0.45 m，若篮球的直径d＝0.24 m。不考虑空气作用力和篮球的转动，重力加速度g取10 m/s2。求篮球击中篮板时的速度大小。
【答案】2.1 m/s
【解析】运动员起跳投篮，篮球恰好垂直击中篮板“打板区”方框的上沿线中点，其逆过程可以看作是平抛运动，则有h3＋h2－h1＝，L1－＝v0t1，代入数据解得v0＝2.1 m/s。
三．跟踪训练
1．（多选）一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，下列图像可能正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】小鱼只受重力，做斜上抛运动
水平方向：匀速直线运动
vx一定，C错误。
x＝vxt，x－t图线斜率不变，A可能正确。
竖直方向：竖直上抛运动
vy＝vy0－gt，且vy减为0，D可能正确。
y＝vy0t－，B错误。
2．如图，篮球从水平地面上方的某点B斜向上抛出，刚好垂直击中篮板上的A点，不计空气阻力。抛出时篮球的速度大小为v0，方向与水平成θ角。若抛射点B向远离篮板方向水平移动一小段距离，保持抛射点高度不变，要使抛出的篮球仍能垂直击中篮板上的A点，则下列措施可行的是（ ）
A．v0不变，θ增大B．v0不变，θ减小
C．v0增大，θ减小D．v0增大，θ不变
【答案】C
【解析】将篮球运动的逆过程看作是反向的平抛运动，则竖直高度不变，根据t＝知时间不变，当水平位移增加时，根据x＝vxt可知水平速度增加，竖直速度vy＝gt不变，根据v0＝，tan θ＝可知v0增大，θ减小，故ABD错误，C正确。
故选：C。
3．（多选）某次消防演练时，着火点在离地高度为10 m的平台上，横截面如图所示，平台AB边足够长，水枪喷出的水柱与AB边在同一竖直面内，水枪离地高度忽略不计。水从水枪枪口射出的初速度大小恒为20 m/s，水的射出速度方向与水平方向夹角α可调节，水枪的水平距离也可调，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．只要能落到AB边上，α越大，水在空中运动时间越长
B．只要能落到AB边上的水速度大小都为 m/s
C．当α＝45°时，水在AB边上的落点距A点最远
D．水在AB边上的落点距A点最远为20 m
【答案】ABD
【解析】A．水能落在平台上，竖直方向位移相同y＝10 m，由y＝v0sin αt－，可知，α越大，t越大，A正确；
B．由水枪喷出的质量为Δm的水，从喷出至落到AB边的过程，由动能定理可得－Δmgh＝，解得v1＝ m/s，B正确；
C．水在AB边上的落点距A点最远时，轨迹如图所示，当θ＝45°时，水在AB边上的落点距A点最远，根据tan θ＝，tan α＝，由于vy0＞vyA可知此时α＞45°，故C错误；
D．研究水从A点落到平台上，设时间为t，水平方向有vAcs θ·t＝x，竖直方向有vAsin θ＝，又vA＝v1＝，解得x＝20 m，故D正确。
4．据史载，战国时期秦楚之战中就有使用投石机的战例。最初的投石机结构很简单，一根巨大的杠杆，长端是用皮套或是木筐装载的石块，短端系上几十根绳索，当命令下达时，数十人同时拉动绳索，利用杠杆原理将石块抛出。 某学习小组用如图所示的模型演示抛石过程。质量m＝1 kg的石块装在长臂末端的口袋中，开始时口袋位于水平面并处于静止状态。现对短臂施力，当长臂转到与竖直方向夹角为θ＝53°时立即停止转动，石块以v0＝20 m/s的速度被抛出后打在地面上，石块抛出点P离地面高度h＝1.65 m，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6。
（1）求抛出后石块距离地面的最大高度；
（2）若在石块运动轨迹最高点左侧竖立一块长度L＝3.2 m的木板充当城墙挡住石块，求木板离石块抛出点的最近距离。
【答案】（1）14.45 m （2）37.2 m
【解析】（1）石块抛出时沿竖直方向的分速度为v0y＝v0sin θ＝16 m/s，则石块抛出点到最高点的高度差为h1＝＝12.8 m，抛出后石块距离地面的最大高度为H＝h1＋h＝14.45 m。
（2）当石块刚好被木板上端挡住时，木板离石块抛出点距离最近。石块从最高点到木板上端的过程中做平抛运动，竖直方向有H－L＝，解得t2＝＝1.5 s，石块从抛出点到最高点所用时间为t1＝＝1.6 s，石块抛出时的水平分速度为v0x＝v0cs θ＝12 m/s，则木板离石块抛出点的最近距离为x＝v0x(t1＋t2)＝37.2 m。