自由落体与竖直上抛运动 ——高中物理人教版二轮复习专题 学案

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1．三种常见的抛体运动的规律
2．自由落体运动中常见推论
（1）比例关系式
（2）自由落体运动在相等时间内，速度变化量相同。由加速度的定义式a＝可得∆v＝a∆t，而自由落体的加速度为g，故∆v＝g∆t，即相等时间内，速度变化量相同。
（3）连续相等时间T内下落的高度之差∆h＝gT2。
3．竖直上抛运动的研究方法
4．竖直上抛运动中的重要特性
（1）对称性
（2）多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，由于位移方向的未知造成多解。
二．典例精讲
1．（多选）如图所示是用闪光周期为Δt的相机拍摄的一张真空中羽毛与苹果从A点开始自由下落的频闪照片，下列说法中正确的是（ ）
A．位移一定满足x1∶x2∶x3＝1∶2∶3
B．速度一定满足vB∶vC∶vD＝1∶3∶5
C．苹果下落的加速度大小为
D．羽毛下落到C点的速度大小为
【解析】CD
【解析】A．位移满足关系x1∶x2∶x3＝1∶3∶5，故A错误；
B．速度满足关系vB∶vC∶vD＝1∶2∶3，故B错误；
C．根据，可得苹果下落的加速度大小为，故C正确；
D．羽毛下落到C点的速度大小为，故D正确。
故选CD。
2．如图所示为“眼疾手快”游戏装置示意图，游戏者需接住从支架上随机自由落下长为0.2 m的圆棒。某次游戏中，一未被接住的圆棒下落过程依次经过A、B两点，A、B间距为0.4 m，该棒未下落时下端距A点0.2 m。已知B点距离地面足够高，圆棒下落过程中始终保持竖直，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，该棒经过AB段距离所需的时间为（ ）
A．0.2 sB．0.4 sC． sD． s
【答案】A
【解析】设圆棒下端运动到A点的时间为t1，则0.2 m＝
解得：t1＝0.2 s
设圆棒上端运动到B点的时间为t2，则(0.2＋0.2＋0.4) m＝
解得：t2＝0.4 s
故棒经过AB段距离所需的时间为：t＝t2－t1＝0.2 s，故A正确，BCD错误。
故选：A。
3．从高度为125 m的塔顶先后自由释放a、b两球，自由释放这两个球的时间差为1 s，g取10 m/s2，不计空气阻力，以下判断正确的是（ ）
A．b球下落高度为20 m时，a球的速度大小为20 m/s
B．a球接触地面瞬间，b球离地高度为45 m
C．在a球接触地面之前，两球保持相对静止
D．在a球接触地面之前，两球离地的高度差恒定
【答案】B
【解析】A．b球下落高度为20 m时所用时间t1＝ s＝2 s，则a球下降了3 s，a球的速度为v＝g(t1＋1 s)＝30 m/s，故A错误；
B．a球下降的总时间为t2＝ s＝5 s，此时b球下降4 s，b球的下降高度为h′＝×10×42 m＝80 m，故b球离地面的高度为hb＝(125－80) m＝45 m，故B正确；
CD．由自由落体运动的规律可得，在a球接触地面之前，两物体加速度相同，故先下落的a球相对后下落的b球做匀速直线运动，两者的距离随时间均匀增大，故C错误。
因此两球离地的高度差变大，故D错误。
4．（多选）如图所示，水平桌面上方有三个金属小球a、b、c，离桌面高度分别为h1∶h2∶h3＝5∶3∶1。若同时静止释放a、b、c，不计空气阻力，则（ ）
A．三球运动时间之比为5∶3∶1
B．三球到达桌面时的速度之比是∶∶1
C．三个小球下落到距地面相同高度处速度大小相等
D．b与a落地的时间差小于c与b落地的时间差
【答案】BD
【解析】A、金属小球做自由落体运动，根据h＝可知t＝，由于h1∶h2∶h3＝5∶3∶1，故三球运动时间之比为t1∶t2∶t3＝∶∶＝∶∶1，故A错误；
B、根据v＝gt可知，三球到达桌面时的速度之比v1∶v2∶v3＝t1∶t2∶t3＝∶∶1，故B正确；
C、在同一高度，由于做自由落体运动的时间不同，故三个小球速度不同，故C错误；
D、根据h＝可得a、b运动时间差为：Δt1＝，b、c运动时间之差为：Δt2＝，所以Δt1＜Δt2，即b与a落地的时间差小于c与b落地的时间差，故D正确。
故选：BD。
5．某同学从教学大楼的5楼将一小玩具从窗口竖直向上抛出，抛出后第2 s内玩具的位移为－5 m（取竖直向上为正方向）。已知每层楼高度约为3 m，忽略空气阻力，重力加速度大小g＝10 m/s2，则玩具抛出后距窗口3 m的时间不可能是（ ）
A． sB． s
C． sD． s
【答案】D
【解析】竖直向上为正方向，第2 s内的位移为－5 m，可得1.5 s的瞬时速度为－5 m/s，由v＝v0－gt，带入可得竖直上抛的初速度为10 m/s。由竖直上抛运动的对称性可知离抛出点3m的时刻一共有3个，h＝v0t－，当h＝3 m时，可得t＝ s或t＝ s，当h＝－3 m时，可得t＝ s，故不可能的为D。
6．在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中，需要重力加速度g的精确值，这可由实验精确测得。近年来测量g的一种方法叫作“对称自由下落法”，它是将测量g转变为测量长度和时间，具体做法是：如图所示，将真空长直管沿竖直方向放置，自其中的O点竖直上抛小球，测得小球从离开O点到落回O点所用的时间为T1，小球在运动过程中经过比O点高H的P点，小球从离开P点到落回P点所用的时间为T2，则g等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】小球从O点上升到最大高度的过程中，有h1＝，
小球从P点上升到最大高度的过程中，有h2＝，
依据题意有h1－h2＝H，联立解得g＝，
故选B。
7．升降机从井底以5 m/s的速度向上匀速运行，某时刻一螺钉从升降机底板松脱，再经过4 s升降机底板上升至井口，此时螺钉刚好落到井底，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．螺钉松脱后做自由落体运动
B．螺钉松脱后先做匀减速直线运动，到达最高点后加速度的方向发生改变
C．螺钉落到井底时的速度大小为40 m/s
D．矿井的深度为80 m
【答案】D
【解析】AB．螺钉松脱后先做竖直上抛运动，到达最高点后再做自由落体运动，全过程加速度均竖直向下，故AB错误；
C．规定向下为正方向，根据v＝－v0＋gt，螺钉落到井底时的速度大小为v＝35 m/s，故C错误；
D．螺钉下降距离为h′＝－v0t＋＝60 m，因此井深h＝v0t＋h′＝80 m，故D正确。
故选D。
三．跟踪训练
1．工人为某小区安装空调外机时，由于操作不慎，一膨胀螺丝从16楼地面等高处由静止下落到1楼的草坪上。已知每层楼层高为3 m，忽略空气阻力和膨胀螺丝的大小，重力加速度大小取g＝10 m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．膨胀螺丝的下落时间为 s
B．膨胀螺丝落地前瞬间的速度大小为 m/s
C．膨胀螺丝经过15楼和12楼所用时间之比为1∶(2－)
D．膨胀螺丝经过15楼和12楼所用时间之比为1∶2
【答案】C
【解析】A、膨胀螺丝在空中下落的高度为h＝45 m，根据自由落体运动下落时间和高度的关系有h＝，代入数据解得t＝3 s，故A错误；
B、膨胀螺丝落地前瞬间的速度大小v＝gt＝10×3 m/s＝30 m/s，故B错误；
CD、根据初速度为零的匀加速直线运动在第1x、第2x、第3x⋯⋯第nx所用时间之比为1∶()∶()∶⋯∶()可知，膨胀螺丝经过15楼和12楼所用时间之比为1∶(2－)，故C正确，D错误。
故选：C。
2．有A，B两球质量分别是2m和m，通过长为L的竖直轻绳相连。用手拿着A球，B球距地面高度为h，释放后两球落地时间差为Δt，不计空气阻力，则以下说法中正确的是（ ）
A．若将两小球位置互换，则时间差Δt增大
B．若将h增大，则时间差Δt增大
C．若将L增大，则时间差Δt增大
D．若将B小球质量也增大到2m，则时间差Δt增大
【答案】C
【解析】AD．两小球做自由落体运动，运动情况与质量无关，则将两小球位置互换或将B小球质量也增大到2m，则时间差Δt不变，故AD错误；
C．根据自由落体运动规律有h＝，h＋L＝，
时间差为Δt＝t2－t1，可知若将L增大，则时间差Δt增大，故C正确；
B．根据自由落体运动规律可得，B球落地时A球的速度为v＝，
则有L＝vΔt＋可知，若将h增大，则时间差Δt减小，故B错误。故选C。
3．如图所示，长为L的圆筒竖直静止在空中，筒的下端离地高为L，一个小球在筒正上方距其上端高为L处由静止释放，此后某时刻由静止释放圆筒，圆筒和球同时落地且不反弹，不计球的大小，不计空气阻力，重力加速度为g，则小球在筒内运动的时间为
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据h＝可得球下落的时间t1＝，圆筒下落的时间t2＝，则释放圆筒时小球已经运动的时间为t0＝t1－t2＝，释放筒时，小球的速度v0＝gt0＝，落地前，小球相对筒做速度为v0的匀速直线运动，则小球穿过圆筒的时间t＝，B项正确。
故选B。
4．将一个物体在t＝0时刻以一定的初速度竖直向上抛出，t＝0.8 s时刻物体的速度大小变为8 m/s（g取10 m/s2），则下列说法正确的是（ ）
A．物体一定是在t＝3.2 s时回到抛出点
B．t＝0.8 s时刻物体的运动方向可能向下
C．物体的初速度一定是18 m/s
D．t＝0.8 s时刻物体一定在初始位置的下方
【答案】A
【解析】解：物体做竖直上抛运动，在0.8 s内的速度变化量Δv＝gt＝10×0.8 m/s＝8 m/s，由于初速度不为零，可知t＝0.8 s时刻速度的方向一定竖直向上，不可能竖直向下，物体处于抛出点的上方．故B错误，D错误。
可知初速度v0－gt＝v，代入数据解得v0＝16 m/s，
则上升到最高点的时间：t1＝＝1.6 s，
则回到抛出点的时间t＝2t1＝2×1.6 s＝3.2 s，故A正确，C错误。
故选：A。
5．t＝0时刻从某点竖直上抛一个小球，用一台固定的相机每隔时间T拍一张照片（不计曝光时间），0、T、2T时刻的照片从左向右排列如图所示，不计空气阻力，重力加速度为g，则小球的初速度为（ ）
A．gTB．C．D．2gT
【答案】C
【解析】根据竖直上抛运动的对称性，知小球竖直上抛运动到最高点的时间为T＋＝，则竖直上抛的初速度大小v0＝，故ABD错误，C正确。
6．如图（1）所示，在空中某点同时竖直抛出甲、乙物体，因为材料和体积原因，甲物体所受的空气阻力可忽略不计，而乙物体则竖直向下做匀速直线运动。取竖直向下方向为正方向，甲、乙两物体的位移一时间（x－t）图像如图（2）所示，已知t3＝3t1，抛出点离地足够高，则（ ）
A．0－t3时间内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．0－t3时间内有两个时刻甲、乙速度大小相等
C．甲、乙相遇之前，t2时刻它们的竖直高度差最大
D．阴影部分面积大小表示0－t3时间内甲、乙的相对位移
【答案】B
【解析】A选项，0－t3时间内，位移相等，时间相同，平均速度相等，故A错误；
B选项，因为0－t3时间内位移相等，－[v甲·3t1－]＝v乙·3t1，解得v甲＋v乙＝，由甲的竖直上抛，有v甲＝gt1，联立解得v乙＝，0－t1、t1－t2内各有一个时刻甲、乙速度大小相等，B选项正确。
C选项，甲、乙速度相同（共速），间距最大，C选项错误。
D选项，x－t图所围面积无意义，0－t3时间内甲、乙相对位移为0，D选项错误。
三种运动
自由落体运动
竖直上抛运动
竖直下抛运动
条件
初速度为0，只受重力
初速度向上、只受重力
初速度向下、只受重力
基本
公式
v＝gt
v＝v0－gt
v＝v0＋gt
h＝
h＝v0t－
h＝v0t＋
v2＝2gh
v2－＝－2gh
v2－＝2gh
1T末、2T末、3T末……nT末瞬时速度的比
1∶2∶3∶…∶n
1T内、2T内、3T内……nT内位移的比
12∶22∶32∶…∶n2
第一个T内、第二个T内、第三个T内……第n个T内位移的比
1∶3∶5∶…∶(2n－1)
位移x、2x、3x……nx所用时间的比
1∶∶∶…∶
连续相等的位移所用时间的比
1∶()∶()∶…∶()
分段法
上升阶段：a＝g的匀减速直线运动
下降阶段：自由落体运动
全程法
初速度v0向上，加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－（向上方向为正方向）
若v＞0，物体上升，若v＜0，物体下落
若h＞0，物体在抛出点上方，若h＜0，物体在抛出点下方
时间对称
物体上升到最高点所用时间与从最高点落回到原抛出点所用时间相等，
即t上＝t下
物体在上升过程中经过某两点之间所用的时间与下降过程中经过该两点之间所用的时间相等
速度对称
物体上抛时的初速度与物体又落回原抛出点时的速度大小相等、方向相反
物体在上升阶段和下降阶段经过同一个位置时的速度大小相等、方向相反
能量对称
竖直上抛运动物体在上升和下降过程中经过同一位置时的动能、重力势能及机械能分别相等