传送带模型的动力学问题 ——高中物理人教版二轮复习专题 学案

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1．两点注意的问题
（1）共速时摩擦力可能突变
a．滑动摩擦力突变为零。
b．滑动摩擦力突变为静摩擦力。
c．摩擦力方向突变。
（2）注意物体位移、相对位移和相对路程的区别
a．物体位移：以地面为参考系，单独对物体由运动学公式求得的位移。
b．物体相对传送带的位移大小Δx
①若有一次相对运动：Δx＝x传－x物或Δx＝x物－x传。
②若有两次相对运动：两次相对运动方向相同，则Δx＝Δx1＋Δx2（图甲）；
两次相对运动方向相反，则划痕长度等于较长的相对位移大小Δx2（图乙）。
2．水平传送带问题的常见情形及运动分析
3．倾斜传送带问题的常见情形及运动分析
二．典例精讲
1．水平传送带模型
例题1 如图，水平固定放置的传送带在电机的作用下一直保持速度v＝4 m/s顺时针转动，两轮轴心间距离L＝20 m。一个物块（视为质点）以初速度v0＝12 m/s从左轮的正上方水平向右滑上传送带，物块与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.4，重力加速度g＝10 m/s2。求：
（1）物块在传送带上运动的时间；
（2）物块在传送带上留下的痕迹长度。
【答案】（1）物块在传送带上运动，由牛顿第二定律μmg＝ma，
设物块减速至传送带速度v所用时间为t1，根据运动学公式v＝v0－at1，解得t1＝2 s，
位移x1＝，解得x1＝16 m＜L，
所以物块先匀减速后匀速运动，则L－x1＝vt2，解得t2＝1 s，
在传送带上运动的时间t＝t1＋t2＝3 s。
（2）t1时间内传送带的位移x2＝vt1，
物块在传送带上留下的痕迹长度x＝x1－x2，解得x＝8 m。
例题2 如图所示，水平方向的传送带以v1的恒定速度顺时针转动。一物块从右端以v2（v2＞v1）的速度滑上传送带，物块与传送带间的动摩擦因数为μ，传送带长度L＞。在物块从滑上传送带至离开传送带的过程中，物块的速度随时间变化的图像是图中的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由物块在传送带上的受力可知，物块的加速度为a＝μg，当物块向左运动速度减为零时的位移为x＝，由题可知L＞，故物块没有滑离传送带，物块向左减速到零后向右做匀加速直线运动，当物块速度与传送带速度相同时，物块的位移为x′＝，又v2＞v1，则x＞x′，故向右运动的速度与传送带相等后，物块做匀速直线运动，B项正确。
2．倾斜传送带模型
例题3 倾角为θ的传送带以恒定速率v0顺时针转动。t＝0时在传送带底端无初速轻放一小物块，如图所示。t0时刻物块运动到传送带中间某位置，速度达到v0。不计空气阻力，则物块从传送带底端运动到顶端的过程中，加速度a、速度v随时间t变化的关系图线可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】0～t0时间内，物体轻放在传送带上后做加速运动，说明滑动摩擦力大于重力沿斜面向下的分力，加速度沿斜面向上，且不变，故做匀加速运动；t0之后，当物块速度与传送带相同时，静摩擦力与重力沿斜面向下的分力大小相等，加速度突变为零，物块做匀速直线运动，C项正确，A、B、D三项错误。
例题4 如图甲所示为一车间运送货物的传送带示意图，传送带的倾角为θ。某次运送货物时工人把传送带调到某一恒定的速率沿逆时针方向运行。在t＝0时，将一货物轻放在传送带上的最右端A位置处，2.0 s时货物从B点离开传送带。货物的速度随时间变化的图像如图乙所示，设沿传送带向下为运动的正方向，重力加速度g取10 m/s2。求：
（1）货物与传送带之间的动摩擦因数及θ的正弦值；
（2）在0～2.0 s时间内货物在传送带上划过的痕迹长度；
（3）要使无初速度放在A位置的货物运动到B位置的时间最短，传送带的速率至少应调整到多少；传送带的运行方向如何；最短时间是多少。（结果可用根式表示）
【答案】（1）由题图乙知，
0～1.0 s内a1＝＝10 m/s2，
1.0～2.0 s内a2＝＝2 m/s2，
0～1.0 s内，由牛顿第二定律得mgsin θ＋μmgcs θ＝ma1，
1.0～2.0 s内，由牛顿第二定律得mgsin θ－μmgcs θ＝ma2，
解得μ＝0.5，sin θ＝0.6。
（2）由题图乙知，传送带的速率v1＝10 m/s，
0～1.0 s内传送带比货物多运动Δx1＝v1t1－＝5 m，
1.0～2.0 s内货物比传送带多运动Δx2＝(v1＋v2)t2－v1t2＝1 m，
则货物在传送带上划过的痕迹长度为Δx1＝5 m。
（3）传送带应逆时针运行，且运行速度应足够大确保货物从A到B一直以加速度
a1＝gsin θ＋μgcs θ＝10 m/s2，做匀加速运动；
设传送带的速率至少应调到v3，货物运动到B位置的最短时间为t3，
传送带A、B间的长度x＝(v1＋v2)t2＝16 m，＝2a1x，v3＝a1t3，
解得v3＝ m/s，t3＝ s。
三．跟踪训练
1．（多选）如图所示，水平传送带长L＝5.3 m，运行速率v＝1 m/s，在其左端以初速度v0＝2 m/s水平滑上一物块。若物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2，则物块从左到右的运动过程中（ ）
A．刚放上时，物块受到向左的滑动摩擦力
B．物块一直做匀减速直线运动
C．物块在传送带上的运动时间为5.2 s
D．物块在传送带上留下的划痕长度为0.3 m
【答案】AC
【解析】物块滑上传送带时，由于v0＞v，物块受到向左的滑动摩擦力，A正确；根据μmg＝ma，物块的加速度大小为a＝5 m/s2，匀减速至与传送带共速的时间为t＝＝0.2 s，位移为x＝v0t－，解得x＝0.3 m＜L，则物块先做匀减速运动，然后与传送带一起做匀速运动，匀速运动的时间为t1＝＝5 s，故物块在传送带上的运动时间为t总＝t＋t1＝5.2 s，B错误，C正确；传送带在0～0.2 s时间内的位移为x2＝vt＝0.2 m，物块在传送带上留下的划痕长度为x′＝x－x2＝0.3 m－0.2 m＝0.1 m，D错误。
2．如图所示，一足够长的倾斜传送带以恒定的速率逆时针转动，某时刻在传送带上适当的位置放上具有一定初速度的小物块，如图所示。取沿传送带向下的方向为正方向，则下列v－t图中不可能描述小物块在传送带上运动的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A、若μ＜tan θ，物块的初速度为正且大于传送带的速度，则物块受到的摩擦力沿传送带向上，受到的合力沿传送带向下，根据牛顿第二定律mgsin θ－μmgcs θ＝ma，解得a＝g(sin θ－μcs θ)，沿传送带向下做匀加速直线运动，故A可能；
B、若μ≥tan θ，物块的初速度为正且小于传送带的速度，则物块受到的摩擦力沿传送带向下，受到的合力沿传送带向下，根据牛顿第二定律mgsin θ＋μmgcs θ＝ma，解得a＝g(sin θ＋μcs θ)，沿传送带向下做匀加速直线运动，当与传送带共速时，摩擦力变为静摩擦力且沿传送带向上，开始做匀速运动，故B可能；
C、若μ≥tan θ，物块的初速度为负，则物块受到的摩擦力沿传送带向下，受到的合力沿传送带向下，根据牛顿第二定律mgsin θ＋μmgcs θ＝ma，解得a＝g(sin θ＋μcs θ)，先沿传送带向上做匀减速直线运动，速度为零后沿传送带向下做匀加速直线运动，加速度保持不变，当与传送带共速时，摩擦力变为静摩擦力且沿传送带向上，开始做匀速运动，故C可能；
D、若μ＜tan θ，物块的初速度为负，则物块受到的摩擦力沿传送带向下，受到的合力沿传送带向下，根据牛顿第二定律mgsin θ＋μmgcs θ＝ma1，解得a1＝g(sin θ＋μcs θ)，先沿传送带向上做匀减速直线运动，速度为零后沿传送带向下做匀加速直线运动，加速度保持不变，当与传送带共速时，摩擦力方向变为沿传送带向上，仍然是滑动摩擦力，根据牛顿第二定律mgsin θ－μmgcs θ＝ma2，解得a2＝g(sin θ－μcs θ)，故继续做加速运动，a1＞a2，结合v－t图像斜率表示加速度可知D不可能。
本题选不可能的，故选D。
3．机场地勤工作人员利用传送带从飞机上卸行李。如图所示，以恒定速率v1＝0.6 m/s运行的传送带与水平面间的夹角α＝37°，转轴间距L＝3.95 m。工作人员沿传送方向以速度v2＝1.6 m/s从传送带顶端推下一件小包裹（可视为质点）。小包裹与传送带间的动摩擦因数μ＝0.8。取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8。求：
（1）小包裹相对传送带滑动时加速度的大小a；
（2）小包裹通过传送带所需的时间t。
【答案】（1）0.4 m/s2 （2）4.5 s
【解析】（1）小包裹的初速度v2大于传送带的速度v1，所以开始时小包裹受到的传送带的摩擦力沿传送带向上，因为小包裹所受滑动摩擦力大于重力沿传送带方向上的分力，即μmgcs θ＞mgsin θ，所以小包裹先做匀减速直线运动，然后与传送带共速后做匀速直线运动至传送带底端，根据牛顿第二定律可知μmgcs θ－mgsin θ＝ma，解得a＝0.4 m/s2。
（2）根据（1）可知小包裹开始阶段在传送带上做匀减速直线运动，
用时t1＝ s＝2.5 s
在传送带上滑动的距离为x1＝×2.5 m＝2.75 m
共速后，匀速运动的时间为t2＝ s＝2 s，所以小包裹通过传送带所需的时间为t＝t1＋t2＝4.5 s。
4．传送带在生产生活中广泛应用。如图所示，一水平传送带长L＝10 m，以v＝5 m/s的速度运行。水平传送带的右端与一光滑斜面平滑连接，斜面倾角θ＝30°。一物块由静止轻放到传送带左端，物块在传送带上先做匀加速运动，后做匀速直线运动，然后冲上光滑斜面。已知物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.25，重力加速度取g＝10 m/s2。求：
（1）物块从传送带左端第一次到达传送带右端所用时间；
（2）物块沿斜面上滑的最大位移的大小；
（3）从物块轻放到传送带左端开始计时，通过计算说明t＝10 s时物块所处的位置。
【答案】（1）3 s （2）2.5 m （3）物块在斜面上距离斜面底端2.5 m处
【解析】（1）物块在传送带上的匀加速运动过程，根据牛顿第二定律有μmg＝ma1
解得a1＝2.5 m/s2
物块在传送带上的匀加速运动过程中，由运动学公式v＝v0＋at有v＝a1t1
解得t1＝2 s
运动的距离为x1＝＝5 m
物块在传送带上匀速运动的时间为t2＝＝1 s
物块从传送带左端第一次到达传送带右端所用时间t＝t1＋t2＝3 s。
（2）物块沿斜面上升过程，根据牛顿第二定律有mgsin θ＝ma2，解得a2＝5 m/s2，
对物块沿斜面上升过程，由运动学公式v2－＝2ax，有v2＝2a2x2，
解得物块沿斜面上滑的最大位移的大小为x2＝2.5 m。
（3）设物块从斜面底端上滑到最大位移处所需时间为t3，
由运动学公式v＝v0＋at有v＝a2t3，解得t3＝1 s。
设物块第一次沿斜面下滑过程所需时间为t4，则有x2＝，解得t4＝1 s。
物块沿斜面下滑至斜面底端时的速度为v1＝a2t4＝5 m/s，
物块沿水平传送带向左减速运动，速度减为零所需时间为t5＝＝2 s。
物块在传送带上的往返运动具有对称性，物块沿水平传送带第二次向右加速运动，到达斜面底端所需时间为t6＝t5＝2 s。
物块第二次沿斜面上滑到最大位移处所需时间为t7＝t3＝1 s。
因为t1＋t2＋t3＋t4＋t5＋t6＋t7＝10 s，
所以10 s时，物块刚好第二次上滑到最大位移处，物块在斜面上距离斜面底端2.5 m处。
情景
物块的运动情况
传送带不足够长（物块最终未与传送带相对静止）
传送带足够长（物块先与传送带达到相对静止）
一直加速（加速度a＝μg）
先加速后匀速
v0＜v时，一直加速（加速度a＝μg）
v0＜v时，先加速再匀速
v0＞v时，一直减速（加速度a＝μg）
v0＞v时，先减速再匀速
滑块一直减速到右端（加速度a＝μg）
物块先减速到速度为0，后被传送带传回左端
若v0≤v，则返回到左端时速度为v0；若v0＞v，则返回到左端时速度为v
情景
物块的运动情况
传送带不足够长（物块最终未与传送带相对静止）
传送带足够长（物块先与传送带达到相对静止）
一直加速（一定满足μmgcs θ＞mgsin θ，即μ＞tan θ）
先加速后匀速（一定满足关系μ＞tan θ）
一直加速（加速度为a1＝gsin θ＋μgcs θ）
若μ≥tan θ，先加速后匀速
若μ＜tan θ，先以a1加速，共速后摩擦力方向改变，再以a2＝gsin θ－μgcs θ加速
v0＜v时，一直加速（加速度为a1＝gsin θ＋μgcs θ）
v0＜v时，若μ≥tan θ，先加速后匀速；若μ＜tan θ，先以a1加速，后以a2＝gsin θ－μgcs θ加速
v0＞v时，若μ＜tan θ，一直加速，加速度大小为gsin θ－μgcs θ；若μ＞tan θ，一直减速，加速度大小为μgcs θ－gsin θ；若μ＝tan θ，一直匀速
v0＞v时，若μ＞tan θ，先减速后匀速；若μ＜tan θ，一直加速；若μ＝tan θ，一直匀速
（摩擦力方向一定沿传送带向上）
μ＜tan θ，一直加速；μ＝tan θ，一直匀速
μ＞tan θ，一直减速
μ＞tan θ，先减速到速度为0后反向加速，若v0≤v，运动到原位置时速度大小为v0；若v0＞v，运动到原位置时速度大小为v