平抛运动的临界与相遇问题 ——高中物理人教版二轮复习专题学案

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1．常见的“三种”临界特征。
（1）有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
（2）若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
（3）若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。
2．平抛运动相遇问题的处理技巧：
（1）找关系：根据两物体的相遇点，寻找两物体相遇时的时间关系、位移（水平位移和竖直位移）关系、速度关系，以及两物体在初始时刻的位置关系等。
（2）用规律：依据抛体运动的基本规律（位移规律、速度规律等），列方程求解。
二．典例精讲
1．平抛运动的临界问题
例题1 如图所示，窗口上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗口上沿高h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物块以速度v垂直于墙壁水平抛出，小物块直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2，则v的取值范围是（ ）
A．v＞7 m/sB．v＜2.3 m/s
C．3 m/s＜v＜7 m/sD．2.3 m/s＜v＜3 m/s
【答案】C
【解析】若小物块恰好碰到窗口上沿，由平抛运动规律，L＝v1t1，h＝，联立解得小物块的速度v1＝7 m/s；若小物块恰好碰到窗口下沿，由平抛运动规律，L＋d＝v2t2，h＋H＝，联立解得小物块的速度v2＝3 m/s。所以小物块速度v的取值范围是3 m/s＜v＜7 m/s，C项正确。
例题2 第19届杭州亚运会，中国女排第九次摘得亚运会金牌。在某次训练中，运动员从底线中点正上方高H＝3 m处将球以速度v0水平击出，球恰好擦着球网上沿进入对方场内，已知排球场长s＝18 m、宽L＝9 m，球网高h＝2.2 m，不计空气及擦网时的阻力，g取10 m/s2，则该运动员的击球速度v0不可能超过（ ）
A．22.5 m/sB． m/sC． m/sD． m/s
【答案】B
【解析】根据平抛规律得H－h＝，H＝，解得球从水平击出到擦网的时间和球运动的总时间分别为t1＝0.4 s、t2＝ s，当运动员击出的球擦网的速度达到最大时，球恰好到对方场内的边界处，如图所示，设球击出的速度方向与球场中线的夹角为θ，则x1＝v0t1＝，x2＝v0t2＝，其中OA＝，BC＝，联立解得v0＝ m/s，B正确，A、C、D错误。
2．平抛运动的极值问题
例题3 某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示。模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平。现让小球由最高点静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为（ ）
A．0B．1 mC．0.2 mD．0.3 m
【答案】C
【解析】小球从最高点到右端出口，满足机械能守恒定律，有mg(H－h)＝，从右端出口飞出后小球做平抛运动，有x＝vt，h＝，联立解得x＝，根据数学知识知，当H－h＝h时，x最大，即h＝1 m时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为Δh＝1 m－0.8 m＝0.2 m，C项正确。
3．平抛运动的相遇问题
例题4 如图所示，在同一竖直平面内，小球a、b从高度不同的两点分别以初速度va和vb沿水平方向抛出，经过时间ta和tb后落到与两抛出点水平距离相等的P点。若不计空气阻力，下列关系正确的是（ ）
A．ta＞tb，va＜vbB．ta＞tb，va＞vb
C．ta＜tb，va＜vbD．ta＜tb，va＞vb
【答案】A
【解析】两个小球都做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，根据h＝，
解得：t＝，因为ha＞hb，则ta＞tb，
根据x＝v0t，因为水平位移相等，ta＞tb，则va＜vb，故A正确，BCD错误。
故选：A。
例题5 如图所示，在一次空地演习中，离地H高处的飞机以水平速度v1发射一颗炮弹欲轰炸地面目标P，反应灵敏的地面拦截系统同时以速度v2竖直向上发射炮弹拦截。设拦截系统与飞机的水平距离为s，不计空气阻力。若拦截成功，则v1，v2的关系应满足（ ）
A．v1＝v2B．v1＝C．v1＝D．v1＝
【答案】D
【解析】炮弹运行的时间t＝，在这段时间内飞机发射炮弹在竖直方向上的位移大小为：h1＝，拦截炮弹在这段时间内向上的位移大小为：h2＝v2t－；则H＝h1＋h2＝v2t，所以有：v1＝，故ABC错误，D正确。故选D。
三．跟踪训练
1．如图，在同一竖直平面内，距地面不同高度的地方以不同的水平速度同时抛出两个小球。则两球（ ）
A．可能在空中相遇
B．落地时间可能相等
C．抛出到落地的水平距离有可能相等
D．抛出到落地的水平距离一定不相等
【答案】C
【解析】A、平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，相等时间内下降的高度相等，可知两球不可能在空中相遇，故A错误；
B、平抛运动的时间由高度决定，两球平抛运动的高度不同，则运动时间不同，故B错误；
CD、根据h＝得：t＝，则抛出到落地的水平距离：x＝v0t＝，可知初速度不同，高度不同，水平距离可能相等，故C正确，D错误。
故选：C。
2．如图所示，打水漂是一种大众游戏，将扁平的石块向水面快速抛出，石块可能会在水面上一跳一跳地飞向远方。要使石块从水面跳起产生“水漂”效果，石块接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石块从距水面高度为h处水平抛出，若不计空气阻力，重力加速度为g，则抛出速度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据平抛运动规律可知竖直方向有＝2gh，结合题意石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ，可知抛出速度的最小值满足，如图：
tan θ＝
解得v0＝
故选A。
3．如图，在某闯关娱乐节目中，小红从轨道abc上的不同位置由静止自由滑下，从c处水平飞出，都能落到直径为l的圆形浮板上，轨道、直径在同一竖直面内。c点离水面的高度为h，浮板左端离c点的水平距离为l。运动过程中，小红视为质点并忽略空气阻力，重力加速度为g，则小红离开c时速度v的范围为（ ）
A．≤v≤B．≤v≤
C．≤v≤D．≤v≤
【答案】B
【解析】根据h＝，运动时间t＝
当落到浮板左端时，速度v1＝
当落到浮板右端时，速度v2＝
所以小红离开c时速度v的范围为≤v≤
故选B。
4．（多选）某次野外拍摄时拍到了青蛙捕食昆虫的有趣画面：如图所示，一只青蛙在离水面高1 m的C洞潜伏。某时刻，一只昆虫喝完水后从B点开始沿着一根与水面之间夹角为53°的树干AB以v1＝0.5 m/s匀速上行，A点在C点正上方且比水面高1.8 m；与此同时，青蛙以v2＝3 m/s水平跳出。已知青蛙捕食时，舌头能伸出5 cm。取重力加速度大小g＝10 m/s2，空气阻力不计，sin 53°＝0.8，则下列说法正确的是（ ）
A．青蛙此次捕食能成功
B．青蛙落水点到B点的距离等于0.15 m
C．若青蛙与昆虫恰好在树干相遇，则昆虫速度大于v1
D．青蛙捕到昆虫时，青蛙速度的最小值为5 m/s
【答案】ACD
【解析】以O为坐标原点，OB、OA为x、y轴建立坐标系。
AB直线方程为y＝＋1.8。青蛙从C洞平抛至速度方向与AB平行，tan 53°＝得vy＝4 m/s，又平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，则vy＝gt，故t＝0.4 s，平抛运动下降高度h＝＝0.8 m，水平位移x＝v2t＝1.2 m，则青蛙在平抛运动过程中过点M(1.2，0.2)。M点在AB上且平抛轨迹在M点的切线恰与AB平行故曲线与AB相切于M点。昆虫从B沿BA方向爬行距离s＝v1t＝0.2 m。直角△MNB中MN＝0.2 m，BM＝0.25 m，BN＝0.15 m。故t＝0.4 s时青蛙和昆虫都在AB直线上相距BM－s＝0.05 m，在青蛙捕食舌头伸长范围内，故可以捕食成功，选项A正确；
落水点与B点的距离小于NB＝0.15 m，选项B错误；
若青蛙与昆虫恰好在树干相遇于M点，则昆虫速度大于v1，C正确；
青蛙在M点的速度大小vM＝＝5 m/s，选项D正确。
5．如图所示，沙滩排球比赛中，球员将球在边界中点正上方沿中线水平向右击出，空气阻力忽略不计。
（1）若球刚好过网落在对方场地中间位置，求击球高度H与球网高度h之比；
（2）若已知击球高度h1、球网高度h2、半个球场的长度x，重力加速度为g，球既不出界又不触网，求其初速度v0大小的范围。
【答案】（1）由平抛运动规律有H＝
排球落在对方场地中间位置，水平位移为x＋＝v0t1
排球刚好过网，则H－h＝，x＝v0t2
联立解得
（2）球若刚好不出界，则h1＝，2x＝v0t3
解得初速度最大值v0max＝
球若刚好触网，则h1－h2＝，x＝v0t4
解得初速度临界值v0min＝
球既不出界又不触网，其初速度v0大小的范围为＜v0≤。