2024学生版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题六　培优点7　隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形45

这是一份2024学生版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题六　培优点7　隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形45，共3页。试卷主要包含了若椭圆C，如图，△PAB为阿基米德三角形，已知椭圆C，已知两动点A，B在椭圆C，如图，过点P作抛物线C等内容，欢迎下载使用。

A．1 B．2 C．3 D．4
2．(2023·烟台模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，△PAB的面积S的最小值为( )
A.eq \f(4,3) B．2
C．4 D．4eq \r(2)
3．已知在平面直角坐标系Oxy中，A(－2,0)，动点M满足|MA|＝eq \r(2)|MO|，得到动点M的轨迹是阿氏圆C.若对任意实数k，直线l：y＝k(x－1)＋b与圆C恒有公共点，则b的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\r(5)，\r(5))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\r(6)，\r(6)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\r(7)，\r(7))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2\r(2)，2\r(2)))
4．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下特征：
①P点必在抛物线的准线上；②PF⊥AB.
若经过抛物线y2＝4x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为( )
A．x－2y－1＝0 B．2x＋y－2＝0
C．x＋2y－1＝0 D．2x－y－2＝0
5．(多选)(2023·廊坊模拟)如图，△PAB为阿基米德三角形．抛物线x2＝2py(p>0)上有两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B为切点的抛物线的切线PA，PB相交于点P.给出如下结论，其中正确的为( )
A．若弦AB过焦点，则△ABP为直角三角形且∠APB＝90°
B．点P的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(x1x2,2)))
C．△PAB的边AB所在的直线方程为(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0
D．△PAB的边AB上的中线与y轴平行(或重合)
6．(多选)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A，B为椭圆上两个动点．直线l的方程为bx＋ay－a2－b2＝0.下列说法正确的是( )
A．C的蒙日圆的方程为x2＋y2＝3b2
B．对直线l上任意一点P，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))>0
C．记点A到直线l的距离为d，则d－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))的最小值为eq \f(4\r(3),3)b
D．若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH面积的最大值为6b2
7．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的eq \f(2,3).已知A(－2,1)，B(2,1)为抛物线C：x2＝4y上两点，则在A点处抛物线C的切线的斜率为________；弦AB与抛物线所围成的封闭图形的面积为________．
8．(2023·赣州模拟)已知两动点A，B在椭圆C：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)上，动点P在直线3x＋4y－10＝0上，若∠APB恒为锐角，则椭圆C的离心率的取值范围为__________．
9．(2023·开封模拟)如图，过点P(m，n)作抛物线C：x2＝2py(p>0)的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，动点Q为抛物线C上在A，B之间的任意一点，抛物线C在点Q处的切线分别交PA，PB于点M，N.
(1)若AP⊥PB，证明：直线AB经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))；
(2)若分别记△PMN，△ABQ的面积为S1，S2，求eq \f(S1,S2)的值．
10.已知圆O：x2＋y2＝5，椭圆：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和2eq \r(2).
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，P为圆上任意一点，过P分别作椭圆两条切线与椭圆相切于A，B两点．
①若直线PA的斜率为2，求直线PB的斜率；
②作PQ⊥AB于点Q，求证：|QF1|＋|QF2|是定值．