2026届高三数学二轮复习讲义：思维提升　培优点6　阿基米德三角形与蒙日圆（含解析）

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考点一 阿基米德三角形
过圆锥曲线上任意两点A，B分别作两条切线相交于点P，则称△PAB为阿基米德三角形.其中∠P为顶角，AB为底边，当AB过圆锥曲线的焦点时，△PAB叫作焦点阿基米德三角形.图中的△PAB分别为椭圆、双曲线、抛物线的阿基米德三角形.
例1 (1)过抛物线x2=2py(p>0)上一点M(x0，y0)的切线方程为 .
答案 x0x=p(y+y0)
解析 y=x22p，y'=xp，由导数的几何意义得所求切线的斜率k=x0p，
∴所求的切线方程为y-y0=x0p(x-x0)，
即x0x=x02+py-py0，又x02=2py0，
∴过抛物线x2=2py(p>0)上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x=p(y+y0).
(2)(多选)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，在两点处的切线相交于点Q，则下列说法中正确的是( )
A.当阿基米德三角形的顶角为直角时，阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆
B.若M为弦AB的中点，则MQ与x轴平行(或重合)
C.若弦AB过抛物线的焦点，则点Q在抛物线的准线上
D.若阿基米德三角形的底边AB过焦点，M为弦AB的中点，则该三角形的面积最小值为2p
答案 ABC
解析 对于A，由蒙日圆的定义知A正确；
对于B，过A的切线方程为y1y=p(x+x1)，
过B的切线方程为y2y=p(x+x2)，
联立方程y12=2px1,y22=2px2,
解得两切线交点Qy1y22p，y1+y22，
又Mx1+x22，y1+y22，
∴MQ与x轴平行(或重合)，B正确；
对于C，设Q(x0，y0)，
则直线AB的方程为y0y=p(x+x0)，
又直线AB经过焦点Fp2，0，
∴0=pp2+x0，∴x0=-p2，C正确；
对于D，若底边AB过焦点，则Q点的轨迹方程是x=-p2，此时y1y2=-p2，易验证kQA·kQB=-1，即QA⊥QB，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q为直角顶点，
∴|QM|=x1+x22+p2=y12+y224p+p2≥2|y1y2|4p+p2=p，
由B项分析可知，MQ与x轴平行(或重合)，
∴S△QAB=12|QM||y1-y2|≥|QM|·|y1y2|≥p2，当且仅当y1=-y2时，等号成立，
∴阿基米德三角形面积的最小值为p2，D错误.
[规律方法] 抛物线y2=2px(p>0)的阿基米德三角形的常见性质
性质1 阿基米德三角形底边上的中线MQ平行(或重合)于抛物线的对称轴.
性质2 底边长为a的阿基米德三角形的面积最大值为a38p.
性质3 抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹.
性质4 如果阿基米德三角形的底边AB过抛物线内定点C(xc，yc)，那么顶点Q的轨迹方程为ycy=p(x+xc).
推论 如果阿基米德三角形的底边AB过焦点，那么点Q的轨迹为抛物线的准线，且QA⊥QB.
性质5 阿基米德三角形底边上的中线QM的中点P在抛物线上，且点P处的切线与底边AB平行.
性质6 在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB.
性质7 在阿基米德三角形中，|AF|·|BF|=|QF|2.
跟踪演练1 若直线l与抛物线y2=2px(p>0)没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点，若直线l方程为ax+by+c=0，则定点的坐标为 .
答案 ca，-bpa
解析 由题意知a≠0，任取直线l：ax+by+c=0上的一点Q(x0，y0)，则ax0+by0+c=0，当b≠0时，y0=-abx0-cb，①
过点Q作抛物线y2=2px的两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在的直线方程为y0y=p(x0+x)，把①式代入可得-abx0-cby=p(x0+x)，
即-aby-px0=px+cby，
令-aby-p=0且px+cby=0，
可得弦AB所在的直线过定点ca，-bpa.
当b=0时，x0=-ca，则弦AB所在的直线方程为y0y=p-ca+x，
将ca，-bpa，即ca，0代入，方程成立.
综上，定点的坐标为ca，-bpa.
考点二 蒙日圆
椭圆的蒙日圆的定义：椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆x2+y2=a2+b2，这个圆称为椭圆的蒙日圆，也称为椭圆的外准圆.
例2 (1)已知椭圆M的方程为x24+y2=1，过平面内椭圆M外的点P作椭圆M的两条互相垂直的切线，则点P的轨迹方程为( )
A.x2+y2=5B.x2+y2=4
C.x2+y2=3D.x2+y2=52
答案 A
解析 设点P(x0，y0)，当切线斜率存在且不为0时，x0≠±2，y0≠±1，
设切线方程为y-y0=k(x-x0)，
联立x24+y2=1,y-y0=k(x-x0),
消去y得(4k2+1)x2+8(y0-kx0)kx+4(y0-kx0)2-4=0，
则Δ=64k2(y0-kx0)2-4×(4k2+1)[4(y0-kx0)2-4]=0，即(4-x02)k2+2x0y0k+1-y02=0，两切线垂直，故其斜率之积为-1，则由根与系数的关系知1-y024-x02=-1，即x02+y02=5.
当切线斜率不存在或为0时，此时点P坐标为(2，1)，(-2，1)，(-2，-1)，(2，-1)，满足方程x02+y02=5，故所求轨迹方程为x2+y2=5.
(2)(多选)已知焦点在x轴上的椭圆C的长轴长为4，离心率为e=12，P为蒙日圆上任一点，则以下说法正确的是( )
A.过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，则有PA⊥PB
B.过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点，则kOP·kAB=-43
C.过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则S△APB的取值范围为97，167
D.过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，O为原点，则S△AOB的最大值为3
答案 ACD
解析 由题意知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为e=12，
故a=2，ca=12，所以c=1，b2=a2-c2=3，则椭圆方程为x24+y23=1，“蒙日圆”的方程为x2+y2=7.
对于A，由蒙日圆的定义知
PA⊥PB，A正确；
对于B，设A(x2，y2)，B(x3，y3)，则PA的方程为x2x4+y2y3=1，
PB的方程为x3x4+y3y3=1，
两切线过点P(x1，y1)，故x2x14+y2y13=1，
x3x14+y3y13=1，
即点A，B在直线xx14+yy13=1上，因为两点确定一条直线，
故直线AB的方程为xx14+yy13=1，则kAB=-3x14y1，
而kOP=y1x1，故kOP·kAB=-34，B错误；
对于C，由于直线AB的方程为xx14+yy13=1，联立x24+y23=1，
得(3x12+4y12)x2-24x1x+48-16y12=0，
Δ=(24x1)2-4(3x12+4y12)(48-16y12)
=64y12(3x12+4y12-12)>0，
则x2+x3=24x13x12+4y12，x2x3=48-16y123x12+4y12，
故|AB|=1+kAB2·(x2+x3)2-4x2x3
=1+9x1216y12×8|y1|3x12+4y12-123x12+4y12
=29x12+16y123x12+4y12-123x12+4y12，
又点P到直线AB的距离d1=|3x12+4y12-12|9x12+16y12，
故S△APB=12|AB|d1
=9x12+16y123x12+4y12-123x12+4y12·|3x12+4y12-12|9x12+16y12
=(3x12+4y12-12)3x12+4y12-123x12+4y12，
又x12+y12=7，故令t=3x12+4y12-12=y12+9，t∈[3，4]，则S△APB=t3t2+12=11t+12t3，
令f(t)=1t+12t3，显然f(t)在[3，4]上单调递减，
故y=11t+12t3在[3，4]上单调递增，
则(S△APB)min=1f(3)=97，
(S△APB)max=1f(4)=167，
即S△APB的取值范围为97，167，C正确；
对于D，由C的分析可知
|AB|=29x12+16y123x12+4y12-123x12+4y12，
而点O到直线AB的距离d2=|-12|9x12+16y12，
故S△AOB=12|AB|d2
=9x12+16y123x12+4y12-123x12+4y12·|-12|9x12+16y12
=123x12+4y12-123x12+4y12，
又x12+y12=7，
故令t=3x12+4y12-12=y12+9，t∈[3，4]，
则S△AOB=12tt2+12=12t+12t，
而t+12t≥212=43，当且仅当t=12t，
即t=23∈[3，4]时，等号成立，
故S△AOB=12t+12t≤1243=3，
即S△AOB的最大值为3，D正确.
[规律方法] (1)设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点.
性质1 PA⊥PB.
性质2 kOP·kAB=-b2a2.
性质3 kOA·kPA=-b2a2，kOB·kPB=-b2a2(垂径定理的推广).
性质4 PO平分椭圆的切点弦AB.
性质5 延长PA，PB分别交蒙日圆O于两点C，D，则CD∥AB.
性质6 S△AOB的最大值为ab2，S△AOB的最小值为a2b2a2+b2.
性质7 S△APB的最大值为a4a2+b2，S△APB的最小值为b4a2+b2.
(2)蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广
双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是蒙日圆：x2+y2=a2-b2(只有当a>b时才有蒙日圆).
(3)抛物线y2=2px(p>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是该抛物线的准线：x=-p2(可以看作半径无穷大的圆).
跟踪演练2 (多选)已知椭圆C：x25+y24=1，O为原点，则下列说法中正确的是( )
A.椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=9
B.过直线l：x+2y-3=0上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，当∠MPN为直角时，直线OP的斜率为-43
C.若P为蒙日圆上一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，则PO平分椭圆的切点弦MN
D.若P为蒙日圆上一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，且O，P到MN的距离分别为d1，d2，则d1d2=209
答案 ACD
解析 对于A，椭圆C：x25+y24=1的蒙日圆方程为x2+y2=9，A正确；
对于B，依题意，点P是直线l与蒙日圆的交点，则x+2y-3=0,x2+y2=9,
解得P-95，125或P(3，0)，
直线OP的斜率为-43或0，B错误；
对于C，设P点坐标为(x0，y0)，
直线OP斜率kOP=y0x0，
由切点弦公式得到MN的方程为x0xa2+y0yb2=1，kMN=-b2x0a2y0，kOP·kMN=-b2a2，
由点差法可知，PO平分MN，C正确；
对于D，设P(a2+b2cs θ，a2+b2sin θ)，
则直线MN的方程为xb2a2+b2cs θ+
ya2a2+b2sin θ-a2b2=0，
则原点O到直线MN的距离
d1=a2b2(a2+b2)(a4sin2θ+b4cs2θ)，
则点P到直线MN的距离
d2=|b2(a2+b2)cs2θ+a2(a2+b2)sin2θ-a2b2|(a2+b2)(a4sin2θ+b4cs2θ)
=a4sin2θ+b4cs2θ(a2+b2)(a4sin2θ+b4cs2θ)
=a4sin2θ+b4cs2θa2+b2，
故d1d2=a2b2a2+b2=209，D正确.
专题强化练
[分值：30分]
1.(13分)如图，过圆 M：x2+(y+4)2=1上一点P作抛物线C：x2=4y的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，求△PAB面积的最大值.
解 设 P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则切线PA的方程为 y-y1=x12(x-x1)，
切线PB的方程为 y-y2=x22(x-x2)，
将点P(x0，y0)分别代入直线方程中，
可得x0x1-2(y0+y1)=0,x0x2-2(y0+y2)=0,
所以直线AB的方程为x0x-2(y+y0)=0.
联立x0x-2(y+y0)=0,x2=4y,
可得x2-2x0x+4y0=0，Δ=4x02-16y0>0，
则x1+x2=2x0，x1x2=4y0，
所以|AB|=1+kAB2·(x1+x2)2-4x1x2
=(4+x02)(x02-4y0).
设点P到直线AB的距离为d，则d=|x02-4y0|x02+4，
所以S△PAB=12|AB|·d=(x02-4y0)322.
由于点P在圆M上，则x02=-y02-8y0-15，
代入上式得S△PAB=(-y02-12y0-15)322，y0∈[-5，-3]，所以当 y0=-5时， △PAB面积的最大值为 205.
2.(17分)如图，已知椭圆C：x24+y23=1，圆E：x2+y2=7，过圆E上的任一点M作椭圆C的一条切线MA，A为切点，延长MA与圆E交于点D，O为坐标原点.若直线OM，OD的斜率存在，且分别为k1，k2，证明：k1·k2为定值.
证明 当切线MA 的斜率存在且不为零时，
设切线MA的方程为y=kx+m(k≠0).
由y=kx+m,x24+y23=1,
消去y得(3+4k2)x2+8mkx+4m2-12=0，
所以Δ=64m2k2-4(3+4k2)(4m2-12)=0，
即m2=3+4k2.由y=kx+m,x2+y2=7,
消去y得(1+k2)x2+2mkx+m2-7=0，
所以Δ=4m2k2-4(1+k2)(m2-7)=16+12k2>0，
设M(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1+x2=-2mk1+k2，x1x2=m2-71+k2，
所以k1·k2=y1y2x1x2
=(kx1+m)(kx2+m)x1x2
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2x1x2
=k2·m2-71+k2+km·-2mk1+k2+m2m2-71+k2
=m2-7k2m2-7.
因为m2=3+4k2，
所以k1·k2=m2-7k2m2-7=3+4k2-7k23+4k2-7=-34；
当切线MA的斜率不存在或为零时，易得k1·k2=-34成立.综上，k1·k2为定值-34.