2026届高三数学二轮复习课件：专题3 立体几何 第5讲 翻折、探究性问题（含解析）

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考点二　空间中的探究性问题
目 录 索 引
解决翻折问题的关键(1)盯住量:看翻折前后线面位置关系的变化情况,根据翻折过程,把翻折前后没有变化和发生变化的量准确找出来,因为它们反映了翻折后空间图形的特征;(2)会转化:根据需要解决的立体几何问题(证明位置关系,求解空间角或距离),确立转化的目标;(3)得结论:对转化后的问题,用定义、判定定理、性质定理、基本事实及相关公式解决.
(2025新高考Ⅱ,17)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,F为CD的中点,点E在AB上,EF∥AD,AB=3AD,CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A',使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°.(1)证明:A'B∥平面CD'F;(2)求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值.【一题多解】
(1)证明 由题意知,EB∥FC,FC⊂平面CD'F,EB⊄平面CD'F,所以EB∥平面CD'F.又A'E∥D'F,D'F⊂平面CD'F,A'E⊄平面CD'F,所以A'E∥平面CD'F.又A'E∩EB=E,A'E,EB⊂平面A'EB,所以平面A'EB∥平面CD'F.又A'B⊂平面A'EB,所以A'B∥平面CD'F.(2)解 因为AB∥CD,∠DAB=90°,F为CD的中点,CD=2AD,EF∥AD,所以四边形AEFD为正方形且FD'=FC,所以EF⊥FC,EF⊥FD',又平面EFD'A'∩平面EFCD=EF,FD'⊂平面EFD'A',FC⊂平面EFCD,所以∠D'FC为平面EFD'A'与平面EFCD所成的二面角的平面角,所以∠D'FC=60°,所以△D'FC为等边三角形.
例1　(2025八省联考,19)在平面四边形ABCD中,AB=AC=CD=1, ∠ADC=30°,∠DAB=120°,将△ACD沿AC翻折至△ACP,其中P为动点.(1)设PC⊥AB,三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的球面上.(ⅰ)证明:平面PAC⊥平面ABC;(ⅱ)求球O的半径.(2)求二面角A-CP-B的余弦值的最小值.
考向1　探究位置关系问题例2　(2025湖北黄石模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°, AB=AC=AA1=2,M是AB的中点,N是B1C1的中点,P是BC1与B1C的交点.(1)证明:A1C⊥BC1.(2)求直线A1P与平面A1CM所成角的正弦值.(3)在线段A1N上是否存在点Q,使得PQ∥平面A1CM?若存在,求出A1Q的长;若不存在,请说明理由.
(1)证明 连接BM交AN于点E,连接HE,因为四边形ABNM为正方形,所以E为BM的中点,又H为线段BC的中点,所以EH∥MC,又EH⊂平面ANH,MC⊄平面ANH,所以MC∥平面ANH,因为平面ANH∩平面MNC=l,且MC⊂平面MNC,所以MC∥l.