专题02 抽象函数与嵌套函数（考点专练）-2026年高考数学二轮复习培优讲义（含答案）

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近几年高考主要以小题（选择题、填空题）为主，分值5~10分，部分地区可能在解答题中与导数（判断单调性）、不等式（恒成立问题）、数列（累加法求解析式）跨模块融合。
基础知识必备：
一、抽象函数核心基础：
定义域：遵循“括号内整体范围一致”原则，即若ft定义域为ab，则fgx需满足a≤gx≤b，需结合内层函数（如一次函数、二次函数、对数函数）的定义域约束（如对数真数大于0、偶次根式被开方数非负）综合求解。
二、奇偶性与单调性：掌握定义法（f−x=±fx判断奇偶性，fx1−fx2x1−x2判断单调性）、赋值法（常用x=0、x=−y、x=1等特殊值推导性质），明确奇偶性对函数图象对称性的影响（奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称）、单调性对不等式转化的作用（单调函数可“去f符号”）。
解析式：熟悉赋值法（构造方程求特殊值）、累加法（适用于fx+1−fx=gx型）、构造法（假设一次/指数/对数函数模型代入验证）。
嵌套函数核心基础：
三、拆解逻辑：通过换元法将y=fgx拆分为外层函数y=ft与内层函数t=gx，解题需“分层处理”（先分析外层函数性质，再结合内层函数值域）。
四、零点与最值：零点问题转化为“外层函数零点→内层函数解的个数”（如gx=ffx−a的零点，需先求ft=a的解ti，再求gx=ti的解的总数）；最值问题需先求内层函数值域（作为外层函数定义域），再求外层函数最值。
2026高考预测：
一、抽象函数：侧重奇偶性与单调性的综合应用（如解不等式f(2x-1)+f(x-3)>0）、赋值法求特殊值或解析式、定义域与值域的嵌套求解（如f(f(x))的定义域）。
二、嵌套函数：聚焦多层嵌套的零点个数判断（结合函数图象数形结合）、含参数的嵌套函数恒成立/有解问题（如g(x)=f(f(x))-k≥0恒成立求k范围），可能出现与新定义结合的创新题型（如“取整函数+嵌套函数”）。
三、趋势特点：隐性逻辑应用增强（不再直接给出奇偶性/单调性，需通过条件推导）、图象法依赖度提升（嵌套函数零点、参数范围问题需直观分析图象交点）、跨模块融合加深（如与导数结合分析嵌套函数的单调性）。

重难知识汇总：
常用技巧方法：
赋值法：抽象函数性质推导与解析式求解的核心，优先赋值x=0（求f0）、x=−y（证奇偶性）、y=1（推导递推关系），如由fx+y=fx+fy−2赋值x=y=0得f0=2，赋值y=1得fx+1−fx=1。
换元法：嵌套函数拆解的关键，令t=gx将y=fgx转化为y=ft，简化外层函数分析，如gx=ffx−a的零点问题，先求ft=a的解ti，再求gx=ti的解。
数形结合法：嵌套函数零点、参数范围问题的直观工具，通过绘制内层函数gx与外层函数ft的图象，分析交点个数或最值，如判断fx=2与fx=3对应的解的个数时，需结合fx的分段图象观察。
构造法：抽象函数解析式求解的辅助手段，针对常见模型（如fx+y=fxfy假设指数函数、fxy=fx+fy假设对数函数），代入条件验证并确定参数。
易错避坑提效：
易错点1：抽象函数定义域理解偏差：误将fgx的定义域视为gx的定义域，忽略“括号内整体范围一致”，如fx定义域为13，则f2x−1需满足1≤2x−1≤3，而非2x−1的定义域本身。
易错点2：嵌套函数零点计数遗漏：未分类讨论外层函数解的个数，或忽略内层函数在不同区间的解的差异，如fx为分段函数时，fx=t在x≤0与x>0可能有不同解的个数，需分别计数。
易错点3：抽象函数单调性误用：未先证明单调性直接“去f符号”，或忽略定义域约束，如解f2x−1>fx−3时，需先确认fx单调，再结合定义域列不等式。
提效技巧：二轮复习中针对高频题型（如嵌套零点、抽象函数不等式）总结“解题模板”，如零点问题按“换元→求外层解→内层解计数→总数汇总”步骤执行，减少思维漏洞。
题型一 抽象函数的定义域与值域问题
方法点拨：定义域用 “括号内整体范围一致”+ 内层约束列不等式；值域先求内层值域，结合外层单调性 ，忌忽略内层定义域限制。
【典例01】1.（2025·湖北武汉·三模）已知函数的定义域为，对任意的，均有，且，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例02】（2025·浙江温州·二模）函数满足：①②，．则的最大值等于 ．
【变式01】（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【变式02】（24-25高三下·重庆·月考）已知满足，且，则的值域为
【变式03】（2025·黑龙江大庆·三模）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（ ）
A．2B．3C．6D．9
题型二 抽象函数的单调性与奇偶性综合
方法点拨：赋值法（0、-y 等）推奇偶性与单调性，将不等式转化为 与关系，借单调性去 符号，勿忘定义域约束。
【典例01】（2025·辽宁·一模）对任意，都有，且不恒为0，函数，则（ ）
A．0B．2C．4D．6
【典例02】（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【变式01】（2025·福建漳州·模拟预测）定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式02】（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【变式03】（2025·江苏淮安·模拟预测）已知函数定义域为，且满足：，，，，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
题型三 嵌套函数的零点问题
方法点拨：换元令 t=f (x)，先求的解，再结合图象数每个对应解的个数，总数汇总得零点数，分类讨论防漏解。
【典例01】（2025·贵州毕节·一模）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【典例02】（2025·陕西西安·三模）设函数.若函数与都没有零点，则函数与（ ）
A．都没有零点B．都有零点
C．至少有一个没有零点D．至少有一个有零点
【变式01】（2025·山东临沂·三模）已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式02】（2025·河北保定·二模）已知函数记函数的个零点为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式03】（25-26高三上·江苏镇江·期中）已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为 .
题型四 抽象函数的解析式求解
方法点拨：赋值特殊值（0、1 等）构造方程，或假设一次 / 指数等模型代入，累加法适用于
型，解后需验证。
【典例01】（2025·河北秦皇岛·一模）表示不小于的最小整数，如，已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．2025B．2024C．2023D．2022
【典例02】（2025·山东·一模）设函数的导函数为，当时满足，且，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【变式01】（24-25高三上·江西·月考）已知函数满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式02】（23-24高三上·广东湛江·月考）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．B．C．是偶函数D．没有极值点
【变式03】（25-26高三上·河南·期中）已知定义在上的函数满足对任意恒成立，且，则（ ）
A．200B．210C．110D．220
题型五 嵌套函数的最值与参数范围问题
方法点拨：先求内层的值域，再求外层最值；恒成立转最值与参数关系，有解转参数属 值域，数形结合助分析。
【典例01】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数在上单调，且在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例02】（25-26高三上·山东·期中）已知函数 ，若函数有8个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式01】（2025·河北·模拟预测）已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式02】（25-26高三上·重庆·开学考试）已知函数 若关于x的方程 有7个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 （ ）.
A．B．（0，1]C．D．[1，+∞）
【变式03】（25-26高三上·重庆南岸·月考）已知，，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
（限时训练：15分钟）
1．（25-26高三上·重庆渝北·月考）已知函数的定义域为则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26高三上·陕西商洛·月考）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（ ）
A．和B．和
C．和D．和
3．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数a满足，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·陕西榆林·模拟预测）(多选)定义在上的奇函数满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．关于对称
C．的周期为2D．
5. （25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知函数，若有另一函数有且仅有3个不同零点，则常数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6.（2025·四川眉山·模拟预测）(多选)已知函数函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围是
B．若关于的方程恰有2个不同的实数根，则的取值范围是
C．若有5个零点，则的取值范围是
D．可能有6个零点
7. （2024·四川德阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．0B．1C．2024D．2025
8.（2025·浙江·二模）定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间内的零点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
9. （22-23高三上·广西桂林·月考）已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10. （25-26高三上·四川广安·月考）已知函数，若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求）
核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）
聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练）
题型一 抽象函数的定义域与值域问题（）
题型二 抽象函数的单调性与奇偶性综合（）
题型三 嵌套函数的零点问题（）
题型四 抽象函数的解析式求解（）
题型五 嵌套函数的最值与参数范围问题（）
实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）
函数类型
重点知识
难点突破
抽象函数
1. 奇偶性与单调性的推导（赋值法）；
2. 解析式求解（赋值法、累加法）；
3. 定义域与值域的嵌套
1. 复杂条件下的赋值技巧（如x=y、x=2y）；2. 非单调抽象函数的值域分析
嵌套函数
1. 零点个数的分层计数（换元法）；
2. 最值的分层求解（内层值域→外层最值）；3. 参数范围的约束转化
1. 多解情况下的分类讨论（如ft=a有2个解时，需分别分析每个解对应的内层解个数）；
2. 恒成立条件的等价转化（如fgx≥k→ftmin≥k）
综合应用
1. 抽象函数与嵌套函数结合（如fgx的奇偶性判断）；2. 与分段函数融合（分段嵌套的零点分析）
1. 分段函数各区间的性质差异（如x≤0与x>0的单调性不同）；2. 跨区间的解的计数整合