湖北省武汉市重点高中2025-2026学年高二下学期3月阶段性检测试卷 数学（含解析）

这是一份湖北省武汉市重点高中2025-2026学年高二下学期3月阶段性检测试卷 数学（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知函数满足，则（ ）
A．3B．2C．1D．0
2．已知函数，则（ ）
A．1B．C．D．2
3．如图所示是函数的导数的图像，下列四个结论：
①在区间上是增函数；
②在区间上是减函数，在区间上是增函数：
③是的极大值点；
④是的极小值点.
其中正确的结论是
A．①③B．②③C．②③④D．②④
4．在等比数列中，是函数的极值点，则（ ）
A．2B．C．D．1
5．若数列满足，且对于任意的都有，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在正三棱柱中，，若存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
7．函数的导函数满足，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
8．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为( )
A．B．C．D．
二、多选题
9．（多选）下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．若，则D．
10．已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．
C．若，则
D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径
11．高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数（表示不超过的最大整数）称为高斯函数.已知正项数列的前项和为，且，令，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为______．
13．已知，则曲线在点处的切线方程为______.
14．对，恒有，则实数a的最小值为________.
四、解答题
15．在公差不为0的等差数列中，，且是与的等比中项.
(1)求的通项公式；
(2)若，，求数列的前项和.
16．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调性和极值．
17．如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，平面平面分别是的中点，与交于点．

(1)求证：平面；
(2)平面与直线交于点，求直线与平面所成角的大小．
18．已知点，，，且.
(1)求点P的轨迹方程C；
(2)已知点，斜率为k的直线过点M.
（i）若，且直线与曲线C只有一个交点，求k的值；
（ii）已知点，直线与双曲线C有两个不同的交点A，B，直线，的斜率分别为，，若为定值，求实数m的值.
19．已知函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若对任意恒成立，求的取值范围；
(3)证明：对任意正整数，都有.
参考答案
1．C
【详解】因为函数满足，
所以，
所以.
2．C
【详解】由求导得： ，
则，故.
故选：C.
3．D
【详解】由题意，和 时，；和时，，
故函数在和上单调递减，在和上单调递增，
是的极小值点，是的极大值点，
故②④正确，答案为D.
4．A
【详解】由可得，
依题意是方程的两根，则，，
又数列是等比数列，设公比为，
则，，
故，，故.
故选：A.
5．D
【详解】由可得
，，，，
累加得
即
故选：D
6．D
【详解】在正三棱柱中，，所以底面三角形内切圆半径为，
因为存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，所以正方体的外接球要在该正三棱柱中，
若正方体棱长最大，可知该球体直径应为底面内切圆直径，即，即，
此时三棱柱的高大于球的直径，符合要求.
故选：D
7．A
【详解】令函数，而，
求导得，
因此函数在R上单调递增，由，得，
不等式，解得，
所以不等式的解集是.
故选：A
8．B
【详解】由题意可知直线，都过点，如图，
则有，，
设，则，
所以，故，
所以，
因此，
在，，
即，
整理得即，解得，
所以，
令双曲线半焦距为c，
在中，，即，
解得，
所以的离心率为.
故选：B
9．ABC
【详解】因为，所以A错误；
，而，所以B错误；
，所以C错误；
，所以D正确.
故选：ABC
10．ABD
【详解】对选项A，抛物线：的焦点到准线的距离是4，
所以，，故A正确.
对选项B，当直线的斜率不存在时，，所以，
当直线的斜率存在时，设，
得：，所以.
故B正确.
对选项C，，故C错误.
对选项D，如图所示：

过分别向准线作垂线，垂足为，
因为，
所以，
即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确.
故选：ABD
11．BCD
【详解】对于A，B，，
所以当时，，
又，则，
所以，故A错，B对；
对于C，，
，
，故C对；
对于D，，
，
当时，，
，
，故D对；
故选：BCD.
12．
【详解】因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，
所以，解得.
故答案为：
13．
【详解】由题意得：，又，
所以，
所以所求的切线方程为.
14．
【详解】令，则，
令，有
当时,，当时,，即在上单调递减，在上单调递增，
，因此，在单调递增，
则
令，则，
当时,，当时,
于是得函数在上单调递增，在上单调递减，则当时,，即得
所以实数a的最小值为
故答案为：
15．(1)
(2).
【详解】（1）设的公差为，因为是与的等比中项，
所以，即，
整理得.
又，，所以，
则.
（2）由（1）可得，，
则①，
②，
①-②得
则.
16．(1)；
(2)答案见解析.
【详解】（1）当时，则，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，求导得，显然，
当时，，函数在上单调递增，无极值；
当时，由，得；由，得，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，无极小值，
所以当时，函数在上单调递增，无极值；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，极大值为，无极小值.
17．(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）因为为正三角形，是中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
，
又在平面内且相交，故平面
（2）分别为的中点，，
又平面过且不过，平面．
又平面交平面于，故，进而，
因为是中点，所以是的中点．
以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，，

设平面法向量为，
则，即，取，得，
则，
因为，所以.
18．(1)
(2)（i）或；（ii）
【详解】（1）由题意，点P的轨迹为双曲线，且，
所以，则点P的轨迹方程C为；
（2）（i）由题设，设直线，联立双曲线，得，
所以，
当，即时，直线与双曲线只有一个交点，
当，交点为；当，交点为；
当，此时，则，
当，切点为；当，切点为；
综上，或.

（ii）由题设直线，
联立双曲线方程，得，则，
故，所以①，
设，则，，
由
又，，
为定值，
所以，此时为定值.
19．(1)
(2)
(3)证明见解析.
【详解】（1）当时，，
所以，，，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）当时，若单调递减，则满足条件，
因此需在恒成立，即在恒成立，
所以
设，
则当时，恒成立（当且仅当时取等号），
所以在单调递增，所以，
所以，得；
当时，，，
所以存在，，
则当时，，单调递增，此时，不满足条件，
综上可知，实数的取值范围为.
（3）由（2）知，当时，对任意恒成立，
所以对恒成立，当且仅当时等号成立，
令（），则，即，
所以，，，，，，
累加得：
所以，证毕.