湖北省咸宁市部分学校联考2025-2026学年高一下学期4月阶段训练数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖北省咸宁市部分学校联考2025-2026学年高一下学期4月阶段训练数学试卷（Word版附解析），共6页。试卷主要包含了 若集合 ，则， 已知 ，则“ ”是“ ”的， 函数 的图象大致为， 已知 ，则， 下列结论正确的有等内容，欢迎下载使用。
一､单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 若集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】 为奇数集合， 中的奇数有 ，所以 .
2. 已知函数 ，则该函数零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为 与 均在 R 上单调递增，
所以 在 R 上单调递增，
又 ， ，则 ，
所以 在区间 上存在唯一零点.
3. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】 ， ， ，得 ；
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， ，
“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
4. 已知平面向量 ，则 在 方向上的投影向量坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据投影向量的求法，结合数量积公式、求模公式，即可得答案.
【详解】因为 ，则 ，
所以 在 方向上的投影向量坐标为 .
5. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】函数 中， ，解得 ，函数的定义域为 ，
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由 ，得函数 是奇函数，其图象关于原点对称，排除 BC；
当 时， ，排除选项 D，选项 A 符合要求，故选 A.
6. 已知 ，则 （ ）
A. 2 B. -2 C. 3 D. -3
【答案】D
【解析】
【分析】根据诱导公式和齐次思想化简计算即可.
【详解】由 ，得 ，
故 .
7. 在 中，角 的边分别为 ，已知 ，其外接圆半径 ，则下列判断中错
误的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则该三角形有两解
C. 周长的最小值为 6
D. 面积的最大值
【答案】C
【解析】
【分析】对于 ABC，根据正、余弦定理结合基本不等式即可解决；对于 D，由面积公式及正弦定理结合基
本不等式解决即可.
【详解】对于 A，由正弦定理得 ，解得 ，所以 ，故 A 正确；
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对于 B，由正弦定理得 ，所以 ，
因为 ， ， ，所以 ，所以该三角形有两解，故 B 正确；
对于 C，由 ，得
，
所以 ，当且仅当 时取等号，此时三角形为等边三角形，周长最大值为 6，故 C 错误；
对于 D，由选项 C 知， ，当且仅当 时取等号，
故 ，所以 面积的最大值为 ，故 D 正确.
8. 如图，直线 与 的边 分别相交于点 .角 所对的边分别为 ，
则（ ）
A. B.
C. D. 与 的大小与 取值有关
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦和差公式化简，再应用正弦定理整理即可得到两者关系.
【详解】
，
又由正弦定理得，在 中， ，（ 为外接圆半径），
；
.
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代入得 .
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分.
9. 下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据指数、对数的运算法则，化简计算，即可得答案.
【详解】对于 A，由对数恒等式知 ，故 A 正确；
对于 B，因为 ，故 B 正确；
对于 C，因为 ，故 C 正确；
对于 D， ，故 D 错误.
10. 已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C.
D. 若 是直线 与函数 的图象的两个不同交点，则 的最小值为
【答案】AB
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【解析】
【分析】对 A，由函数图象上两点的横坐标差求出 ，进而得到周期 ，再由周期公式求出 ；对 B，将
已知点 代入 ，结合 的范围求出 ；对 C，将 代入 计算函数值，与选项结论
对比判断；对 D，解方程 得到所有解，计算相邻解的最小差值判断.
【详解】对于 A：由函数 的图象，可得 ，解得 ，所以 ，故 A 正确；
对于 B：把点 代入 ，可得 ，则 ，
即 ，因为 ，所以 ，故 B 正确；
对于 C：因 ，则 ，故 C 错误；
对于 D：由 ，可得 ，
则 或 ，
解得 或 ，
则 的最小值为 故 D 错误.
11. 已知点 P 为 所在平面内一点，满足 ，（其中 ）以下说法正确的有
（ ）
A. 若直线 PC 过边 AB 的中点，则
B. 当 时， 与 的面积之比为
C. 若 ，且 ，则
D. 若 ，且 ，则 ， 满足
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据中线的性质即可求解 AB，根据等边三角形的性质可求解 C，根据模长公式即可求解 D.
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【详解】对于 A，设 AB 的中点为 D，当直线 PC 过边 AB 的中点时， 三点共线，
，即 即， ，选项 A 正确；
对于 B，当 时， ,则 ，则由 A 知 P 在 BC 的中线 AM 上，
且 P 为 AM 中点，则
，即 与 的面积之比为 1：1，选项 B 错误；
对于 C，由于 ，则 P 为 的外心，又 ，故 P 为
的重心，故 为等边三角形，则 ，由 可得
，故 ，选项 C 正确；
对于 D，因为 ，且 ，由 得
，平方得 ， ，选项 D 正确.
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若 ，则 的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【详解】由题设 ，则 ，
当且仅当 时取等号，故 的最小值为 .
13. 已知 为单位向量，若对任意实数 恒成立，则向量 的夹角的取值范围为
__________.
【答案】
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【解析】
【分析】应用向量数量积的运算律有 对任意实数 恒成立，再由判别式符号及数量
积的定义、余弦函数的单调性求夹角的范围.
【详解】由 是单位向量， 恒成立得 ，
依题意，不等式 对任意实数 恒成立，
则 ，解得 ，
而 ，则 ，又 ，
函数 在 上单调递减，因此 ，
所以向量 的夹角的取值范围为 .
14. 已知函数 ，其中 ，若当 时， 取得
最大值，则 __________.
【答案】0
【解析】
【分析】通过构造辅助函数 判断两个函数的大小关系，将 拆分为分段函数，再结合分段函数的
单调性确定最大值点即可求值.
【详解】令 ，
由于 和 在 上均单调递增，
故 在 上单调递增，又 ，
故当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
故 ，
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则 时， 为增函数，此时 ，
时， 减函数，此时 ，
由此可得 时， 取得最大值，即 ，则 .
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知幂函数
（1）求 的值及函数 的解析式；
（2）若 为偶函数，方程 有一正一负两个实根，求实数 k 的取值范围.
【答案】（1） 或 ， 或 .
（2） .
【解析】
【小问 1 详解】
因为函数 为幂函数，所以 ，
解得 或 .
所以 或 .
【小问 2 详解】
因为 为偶函数，故 ，
又方程 有一正一负两个实根，
即方程 有一正一负两个实根，
设方程根为 ，则 ，解得 .
所以实数 k 的取值范围为 .
16. 记 的内角 的对边分别为 ，若 .
（1）求 ；
（2）若 ，线段 是 的平分线，交 于点 ，求线段 的长.
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【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 以及余弦定理即可得到答案；
（2）由题意得出 的长度，再根据 ，利用面积公式求解即可.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ，即 ，
由余弦定理得 ，因为 ，所以 .
【小问 2 详解】
由（1）得 ，又 ，代入解得 或 （舍），
如图所示： ，
代入数据得 ，
解得 .
17. 已知函数
（1）化简 的解析式；
（2）将函数 的图象先向右平移 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，再将图象上所有点的横坐
标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，求函数 的对称中心和单调递减区间.
【答案】（1）
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（2） 的对称中心 ， ；单调递减区间 ， .
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式化为 ，再用辅助角公式化简即可；
（2）根据图形变换得 ，再整体代入对称中心公式以及单调递减区间计算即可.
【小问 1 详解】
【小问 2 详解】
依题意得， ，
令 ，得 ，故 的对称中心 ， ；
由 ，得
所以 的单调递减区间 ， .
18. 如图， 的内角 的对边分别为 是边 的中点，点 在边 上，且满足
与 交于点 .
（1）试用 表示 ；
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（2）设 ，求 的值；
（3）若 ，求 .
【答案】（1） ，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用线性运算，结合图形求解即可；
（2）根据线性运算，结合共线定理的推论求解可得；
（3）共线定理的推论，结合数量积的定义求解即可.
【详解】（1） ，
又 是边 的中点， .
（2） ，
又因为 是 中点，所以 ，
三点共线， .
（3）由（2）知 ，
，
设 ，
，
又 三点共线，所以 ， ，
，
又 ，
或 （舍去），
故 .
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19. 为研究函数“平缓变化”的特性，现定义如下概念：设区间 为函数 定义域的子集，若存在非
负常数 ，对任意的 ，都有 成立，则称 是区间 上的 -平缓函
数.已知函数
（1）当 时，判断并证明 在区间 上是否为 2-平缓函数；
（2）若 在区间 上为 3-平缓函数，求实数 的取值范围；
（3）设 在区间 上的最大值为 ，且 为 -平缓函数，满足 ，求实数 的取
值范围.
【答案】（1） 是 2-平缓函数，证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题干中所给“平缓函数”定义可完成判断；
（2）令 ，进而结合恒成立问题求解即可；
（3）先求 ，令 ，则 恒成立，再比较 2a 与 的大小，最后
解 .
【小问 1 详解】
时，
对任意 ，
，得
，满足 2-平缓函数定义
时， 是 2-平缓函数
【小问 2 详解】
由定义得 ，即
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，
故 ，
令 ，则 恒成立
即 ，需 且 ，解得
的取值范围为
【小问 3 详解】
先求 ：① 时， ；② 时， ；③ 时， ，
又满足 ，故求 即可，
由定义得 ，
令 ，则 恒成立，即 且 对 恒成立，得
且 ，
比较 2a 与 的大小：① 时， ；② 时， ，
最后解
① 时， 无解；
② 时，若 ，有 ，得 ；若 ，有 ，恒成立，
合并得 ；
③ 时， ，恒成立
综上所述，a 的取值范围为 .
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