湖北省咸宁市2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷[附解析]

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一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简集合 后由交集定义可得答案.
【详解】 集合表示函数 的定义域，则 ，
集合表示函数 的值域，则 .
故 .
故选：A.
2. 在复平面内，复数 对应的点在第三象限，则复数 对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，设 ，且 ，而 ，进一步分析即可得点在第四
象限.
【详解】复数 对应的点在第三象限，设 ，则 ，
，由 ，则复数 对应的点在第四象限.
故选：D.
3. 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
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C. 若 ，则
D. “直线 不相交”是“直线 为异面直线”的充分不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间中线、面平行、垂直关系，结合充分、必要条件的定义逐个判断即可.
【详解】对于 A，若 ，则 或 ，故 A 错误；
对于 B，若 ，则 ，故 B 正确；
对于 C，若 ，则 或 与 相交，故 C 错误；
对于 D，直线 不相交，则直线 平行或异面，
故“直线 不相交”是“直线 为异面直线”的必要不充分条件，故 D 错误；
故选：B.
4. 设 ，则关于 的不等式 有解的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. 或 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的判别式求解“关于 的不等式 有解”的充要条件，再分析必要不充分条
件即可.
【详解】 有解，即对于方程 的 ，则 ；可知
D 选项为一个必要不充分条件.
故选:D.
5. 在平行四边形 中，点 是 的中点，点 分别满足 ，设
，若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
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【分析】求出 ，利用 ，结合数量积 零得出结论.
【详解】 ，
由 ，得
，得 ，即得 ，则 C 选项正确.
故选：C
6. 在直三棱柱 中， 且 ，已知该三棱柱的体积为 ，且该三棱柱的
外接球表面积为 ，若将此三棱柱掏空（保留表面，不计厚度）后放入一个球，则该球最大半径为（
）
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由三棱柱的体积求出边 ，利用球的表面积公式求出球半径进而求出上下底面三角形的边
长，根据将此三棱柱掏空后放入一个球，该球最大半径为 内切圆半径，利用等面积法求出 内
切圆半径即可.
【详解】设 中点为 中点为 中点为 ，
外接球球心在 中点 处，
设 ，
该三棱柱的体积为 ，
该三棱柱的外接球表面积为 ，
外接球半径 ，即 ， ，
，
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底面 内切圆半径 ，
，因此该球最大半径 .
故选：B.
7. 矩形 的周长为 ，把 沿 向 折叠， 折过去后交 于点
，则 的最大面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】引入变量 再设参量 ，根据 为直角三角形，得出 关于 的表达式，再用三
角形面积计算公式，得出 的面积关于 的表达式，再利用基本不等式可得 的面积的最大值.
【详解】
设 ，其中 ，则 ，
在直角 中，由勾股定理得： ，
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解得： ,
.
当且仅当 ，即 时等号成立.
故选:B.
8. 定义在 R 上的函数 满足 为偶函数，且 在 上单调递增，若 ，不等
式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出 的单调性及对称性，然后根据单调性、对称性将 转化为 的关
系，得到 ，再根据恒成立思想采用分离参数的方法求解出 .
【详解】定义在 R 上的函数 满足 为偶函数，所以 关于 对称，
在 上单调递增，则 在 上单调递减，
所以 越靠近对称轴 函数值越小，
由 得 ，
由于 ，所以 ，故 ，
可得 ，即 时 恒成立，
可得 ，
由于 在 时单调递增， ，此时 ，
在 时单调递减， ，此时 ，
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则实数 的取值范围为 .
故选：A
二、多选题：本题共 3 小题，共 15 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的 2000 名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布
直方图，其中分组的区间为 ，若同一组中数据用该
组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ）
A. 考生参赛成绩的平均分约为 72.8 分
B. 考生参赛成绩的第 75 百分位数约为 82.5 分
C. 分数在区间 内的频率为 0.2
D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 200 的样本，则成绩在区间 应抽取 30 人
【答案】BC
【解析】
【分析】对 A，确定每组数据中间值，以及每组数据的频率代入到求平均数的公式即可求得；对 B，第 75
百分位数得到位于 内，代入公式可计算第 75 百分位数值；对 C，分数在区间 内的频率为
0.2 可判断；对 D，用分层随机抽样可得区间 应抽取 60 人，即得到答案.
【详解】对 A，平均成绩
为 ，故 A 错误；
对 B，由频率分布直方图知第 75 百分位数位于 内，
则第 75 百分位数为 ，故 B 正确；
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对 C，分数在区间 内的频率为 ，故 C 正确；
对 D，区间 应抽取 人，故 D 错误.
故选：BC
10. 已知向量 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 在 上的投影向量为
C. 若 与 的夹角为锐角，则
D. 若要使 最小，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】A 选项，由向量加法和向量平行的坐标运算求解；B 选项，由投影向量的公式计算；C 选项，由向
量夹角的范围，利用向量共线和向量数量积求参数取值范围；D 选项，由向量线性运算的坐标表示和模长
公式，结合二次函数的性质求满足条件的 t 的值.
【详解】对于 A：因 ，所以 .
又 ，且 ，所以 ，解得： ，故 A 正确；
对于 B：由 ，则 ，
所以 在 上的投影向量为 ，故 B 正确；
对于 C：当 与 共线时，有 ，此时 与 方向相同，
当 与 的夹角为锐角，有 ，解得 ，
所以 且 时， 与 的夹角为锐角，故 C 错误；
对于 D：由 ， ，
结合二次函数的性质可知， 时取最小值，故 D 正确.
故选：ABD.
11. 如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角 沿 向上翻折，得三棱锥 .设
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，点 分别为棱 的中点， 为线段 上的动点.下列说法正确的是（ ）
A. 在翻折过程中存在某个位置，使
B. 当 时， 与平面 所成角 正弦值为
C. 在翻折过程中，三棱锥 体积的最大值为 2
D. 当 时， 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 ，由平面 平面 ，证明 ；对于 B，当 时 平面 ，
是直线 与平面 所成的角，利用三角形边长求正弦值即可；对于 C，当三棱锥 体
积取得最大值时， 是三棱锥 的高，由 求值即可；对于 D，将 沿
旋转，得到 ，使其与 在同一平面内且 在 内，当 三点共线时，
的最小值为 ，利用余弦定理求解.
【详解】对于 ：当平面 平面 时， ，
证明如下：因为平面 平面 ，平面 平面 ，
， 平面 ，则 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，故 A 正确；
对于 B：当 时，等腰直角 中，点 为棱 的中点，有 ，
， 平面 ，则 平面 ，
平面 ，有平面 平面 ，由 A 选项知 平面 ，
所以 是直线 与平面 所成的角；
由 ，有 ， ， ， ，
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，则 ，故 B 错误；
对于 C：当三棱锥 体积取得最大值时，平面 平面 ，
即 是三棱锥 的高， ，故 C 正确；
对于 D：当 时，因为 为 的中点，所以 ，则 ，
又因 为 的中点，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
如图将 沿 旋转，得到 ，使其与 在同一平面内且 在 内，
则当 三点共线时， 最小，即 的最小值为 ，
在 中， ，
则 ，
所以在 中，由余弦定理得 ，
所以 的最小值为 ，故 D 正确，
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：
立体几何中的翻折问题通常涉及将一个平面图形按照特定要求折叠成三维空间图形，进而研究图形在位置
关系和数量关系上的变化，解决这类问题需要掌握以下技巧：
1. 同时画出折前和折后的图形：在解决问题时，同时画出折前和折后的图形有助于理解翻折过程和图形变
化，这对于判断线段和角度的关系非常关键.
2. 寻找不变量：在翻折过程中，有些量是不变的，如角度和距离，注意这些不变量可以帮助简化问题.
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3. 利用空间向量：空间向量是一个有效的工具，适用于解决立体几何中的探索性问题，通过坐标运算，可
以简化“是否存在”这类问题的解决过程.
4. 将空间问题转化为平面几何问题：通过截面、展开、射影等手段，可以将空间中分散的条件集中在同一
平面上，从而更容易解决问题.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知角 满足 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】由诱导公式得 ，再由同角三角函数关系可得结果.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
，
，
.
13. 已知函数 ，则关于 的方程 的不等实根的个数为______.
【答案】2
【解析】
【分析】.
分段函数与复合函数的应用分情况讨论解方程即可得，详细可见详解
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【详解】由题意得，
当 时， ，即 ，
即 时 ，解得 ，符合题意；
时 ，解得 ，舍；
当 时， ，即 ，
时 ，解得 ，舍；
时， ，解得 ，符合题意.
综上，关于 的方程 的不等实根为 和 ，共 2 个，
故答案为：2.
14. 在锐角 中，角 的对边为 ， 为 的面积，且 ，则 的
取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】首先利用余弦定理和三角形面积公式得到 ，再通过正弦定理以及三角函数的转化得到
，由三角函数性质可得结果.
【详解】由 ，则 ，
所以 ，即 ，
即 ，解得 或 （舍去），可得 ，
，
因为 是锐角三角形，则有 ，所以 ，
， ，则 ，有 ，
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由于 ,
所以 ，可得 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于，由 是锐角三角形，确定 ，由
，得 ，从而可求 的取值范围.
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知关于 的不等式 .
（1）若 ，求不等式的解集；
（2）解关于 的不等式.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）将 代入解不等式即可；
（2）因为对应方程的两个根为 ，分 、 、 三种情况解不等式即可.
【小问 1 详解】
由 ，
当 时，可得解集为 .
【小问 2 详解】
对应方程的两个根为 ，
当 时，原不等式的解集为 ，
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当 时，原不等式的解集为 或 ，
当 时，原不等式的解集为 或 ，
16. 如 图 ， 在 梯 形 中 ， 为 线 段 中 点 ， 记
（1）用 表示向量 ；
（2）求 的值；
（3）求 与 夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用向量加减法的三角形法则，结合向量的线性运算可得结果；
（2）由向量的数量积计算，即可得结果；
（3）由向量的数量积和向量的夹角公式计算即可.
【小问 1 详解】
；
【小问 2 详解】
由于 ，可得 ，又有 ，
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所以 ；
【小问 3 详解】
由于 ，可得 ，又有 ，
所以 .
由 ，可得 ，
.
17. 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 面 ，且 的面积为
.
（1）求证： 面 ；
（2）当四棱锥 的外接球体积最小时，求平面 与平面 所成二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件结合线面垂直的判定即可证得；
（2）设 ，设四棱锥 的外接球的半径为 ，则结合基本不等式可求得 ，
过 作 ，则 为平面 与平面 所成的二面角的平面角，结合余弦定理可求其余弦
值.
【小问 1 详解】
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证明： 面 面 ， ，
又 面 面 ，
在面 内， ，
底面 是正方形， ，
又 面 面 .
【小问 2 详解】
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
设 ，
设四棱锥 的外接球的半径为 ，
则
（当且仅当 ，即 取等号）.
可得 ，故 .
过 作 交 于 ，连接 ，
由 ，则
故 为平面 与平面 所成的二面角的平面角.
由（1）知 面 ， 面 ，故 .
在 中，可得 ，
由等面积可得
又
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，
平面 与平面 所成二面角的余弦值为 .
18. 已知函数 ，若函数 在 上
恰好有两个零点.
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）当 时，关于 的方程 有两个不同的实根，求实数 的取值范围；
（3）在 中，设内角 所对的边分别为 ，其中 ，
的角平分线交 于 ，求线段 的长度.
【答案】（1）
（2）
（3）2
【解析】
【分析】（1）由三角恒等变换化简可得 ，结合三角函数的性质即可求得函数 的
单调递增区间；
（2）令 ，则 ，由题意得 在 上有两个不同的实根，结合三角函
数的性质即可求得实数 的取值范围；
（3）由 得 ，结合余弦定理及三角形的面积即可求得线段 的长度.
【小问 1 详解】
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由 得 ，
由函数 在 上恰好有两个零点得
.
∴ ，
由 ，
得 ， ，
所以函数 的单调递增区间为 .
【小问 2 详解】
，令 ，则 ，
由题意得 在 上有两个不同的实根，
.
【小问 3 详解】
由 得 ，
，
因为 ，则由
解得： （负值舍），
由
得 ，
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.
19. 已知函数 和 的定义域分别为 和 ，若对任意 ，恰好存在 个不同的实数 ，
，使得 （其中 ），则称 为 的“ 重覆盖函数”.
（1）判断 是否为 的“ 重覆盖函数”，如果是，求出 的
值；如果不是，请说明理由；
（2）若 为 的“3 重覆盖函数”，求实数 的
取值范围；
（3）若 为 的“2024 重覆盖函数”，求正实
数 的取值范围.
【答案】（1）是，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用题中给出的“ 重覆盖函数”的定义分析判断即可；
（2）由条件可得，对任意 ，存在 3 个不同的实数 ，使得 （其中
，
即 ，即对任意 有 3 个实根，进一步讨论求解即可；
（3）利用已知条件结合新定义，再利用正弦函数 性质进行分析求解即可.
【小问 1 详解】
因为 ，
则 ，
任取 ，令 ，
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可得 ，
即 或 ，
可得 ，或 ，
所以对于任意 ，能找到两个 ，使得 ，
所以 是 的“ 重覆盖函数”，且 ；
【小问 2 详解】
可得 的定义域为 ，
即对任意 ，存在 3 个不同的实数 ，
使得 （其中 ），
，则 ，
，
即 ，
即对任意 有 3 个实根，
当 时， 已有两个根，
故只需 时， 仅有 1 个根，
当 时， ，不符合题意，
当 时， ，则需满足 ，解得 ，此时 无解，
当 时，抛物线开口向下，由 ，可得 ，
所以函数 在 单调递减，
又 ，
所以 ，
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所以 ，
综上，实数 的取值范围是 ；
【小问 3 详解】
因为 ，
当 时 ，当 时 且 ，
当且仅当 时取等号，所以 ，
综上可得 ，即 ，
则对于任意 要有 2024 个根，
由函数 的图象，
要使 要有 2024 个根，
则 ，
又 ，则 ，
故正实数 的取值范围 .
【点睛】关键点点睛：本题对任意 ，恰好存在 个不同的实数 ， ，使得
，由于 不是同一个变量，所以只需要 的值域，再用这个值域中的值去判定
中的 有几个满足，从而可得 为 的“ 重覆盖函数”.然后可利用数形结合，根
据 的值来确定参数的范围.
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