浙江省宁波市名校2025年中考一模数学试卷（解析版）

这是一份浙江省宁波市名校2025年中考一模数学试卷（解析版），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.比大2的数为（ ）
A.B.0C.1D.2
【答案】C
【解析】，
∴比大 2 的数为1，
故选：C．
2.如图所示的几何体的主视图是
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】从前面看可得到左边有2个正方形，右边有1个正方形，所以选A．
找到从前面看所得到的图形即可．
3.2025 年两会政府工作报告指出，我国在新能源汽车产业研发领域投入资金 2497000000010 元．其中数 24970000000 用科学记数法表示为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】．
故选D．
4.下列运算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】A、和不是同类项，不能合并，故此选项运算错误，不符合题意；
B、，故此选项运算错误，不符合题意；
C、，故此选项运算错误，不符合题意；
D、，故此选项运算正确，符合题意；
故选：D．
5.若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，
故选：A．
6.图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】，
，
，
，
，
，
，
，
，即．
故选：B．
7.已知 是反比例函数 图象上的三个点，若 ，则 的大小关系为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】∵反比例函数中，，
∴该反比例函数的图象在第二，四象限，在这两个象限内，随的增大而增大，
又 ∵，
，
故选：D．
8.在一次体育测试中，某班40名学生的跳绳成绩（单位：次）如下表所示：
则下列关于这40名学生跳绳成绩的统计量，说法正确的是（ ）
A.平均数一定是170
B.众数一定是170
C.中位数在范围内（含160，不含180）
D.方差为0
【答案】C
【解析】A、平均数不一定是170，故此选项说法错误，不符合题意；
B、众数不一定是170，故此选项说法错误，不符合题意；
C、中位数在范围内（含160，不含180），故此选项说法正确，符合题意；
D、方差大于0，故此选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
9.下图是凸透镜成像的光路示意图， 分别表示蜡烛、蜡像、凸透镜，它们均与主光轴 垂直．一束平行于主光轴的光线 经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点 ，一束经过光心的光线 与折射光线 相交于点 ．已知 ，则 的值为（ ）
A.B.C.2D.
【答案】C
【解析】根据题意可得，四边形是矩形，
∴，，
即，解得：，
∴，
故选：C．
10.如图，在中，，，点，分别在，上， ，记长为，长为，．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】如图，作于点，作于点，
，，
，
，
，
又，
，
，，
又，
，
，
中，在中，
，
，
设，，
，
，，
，
的值不变．
故选：A．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11.分解因式：________．
【答案】
【解析】原式；
故答案为：．
12.一个不透明的盒子里装有 5 个只有颜色不同的球，其中有 2 个红球、 2 个白球和 1 个绿球． 现从盒子里随机摸出一个球，则摸出红球的概率为__________．
【答案】
【解析】∵袋子中共有5 个小球，其中红球有 2 个，
∴摸出一个球是白球的概率是，
故答案为：．
13.若，则的值为__________．
【答案】
【解析】，
．
故答案为：．
14.如图， ， 为矩形 的对角线， 于点 ， ，则 的度数为__________．
【答案】
【解析】∵，，
，
∵四边形是矩形，
，
，
∴，
故答案为：．
15.如图，在边长为4的正方形中，点为对角线上一点．若的外接圆与边相切，则的半径长为__________．
【答案】
【解析】如图，设与边相切于点，连接并延长交于点，连接，
与边相切，
，
边长为4正方形，
，，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
的半径长为．
故答案为：．
16.如图，在 中， ， 为对角线 的中点， 为 上一点，将 沿 所在的直线折叠，使点 和点 重合．若 ，则 的长为__________．
【答案】
【解析】过点A作，过点D作交的延长线于点M，连接，
∵在 中，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
，
，
∵ 为对角线 的中点，结合轴对称可得，，
，，
，
，
，
∵，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题有 8 小题，共 72 分）
17.计算：．
解：
．
18.解方程组：
解：
得：，
把代入②得：，解得，
∴原方程组的解为．
19.如图，在综合实践活动课中，小敏为了测量校园内旗杆的高度，站在教学楼的 处测得旗杆底端的俯角为，测得旗杆顶端的仰角为．若旗杆与教学楼的距离 米，求旗杆的高度．（结果保留根号）
解：由题意得
，
，
，
，
，
即旗杆的高度为米．
20.据国家电影局统计，2025 年春节档 （1 月 28 日至 2 月 4 日） A， B， C， D， E 五部电影的总票房为亿元，其中每部电影的票房占比制成如图 1 的扇形统计图．某影评网站随机抽取了 100 名观众对电影 A 的星级评价，该网站的星级共有 “一星” “二星” “三星”“四星”“五星”五个等级，星级评价情况制成如图 2 的条形统计图．
根据以上信息回答下列问题：
（1）上述图表中 _____， _____．
（2）电影 A 春节档的票房是多少亿元？
（3）已知该影评网站每颗星代表 2 分，五星即为 10 分．若星级评价的平均得分作为该电影的星级分值，则根据样本估计，电影 A 在该网站的星级分值约是多少分？
解：（1）电影B所占百分比：，
四星人数：名，
故答案为：24，20；
（2） 亿元．
（3）电影A 的星级平均得分 ，
电影 A 在该网站的星级分值约是分．
21.小宁同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④连结．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）连结，若，求四边形的面积．
解：（1）根据作法得，
四边形为菱形．
（2）连接，与交于点，
四边形为菱形，
，
，
，故，
故菱形的面积为．
22.在一次无人机表演活动中，甲、乙两架无人机在同一平台竖直向上起飞，飞行的路径互相平行，当飞行高度达到米时，飞机停止表演．甲从起点出发，先以米秒的速度匀速飞行了 秒，然后以米秒的速度继续匀速飞行．乙在甲出发秒后起飞，以米秒的速度匀速飞行，乙出发秒后，与甲飞行的高度相差 米．如图，折线 ，线段分别表示甲，乙的飞行高度（米）与甲飞行时间（秒）之间的函数图象．请结合图象解答下列问题．
（1） _____， _____．
（2）分别求出线段，对应的函数表达式．
（3）当两架无人机之间的飞行高度差不超过米时，能形成特定的表演效果．求在整个飞行过程中，能形成这种特定的表演效果时 的取值范围．
解：（1）由图可知，甲飞行秒后的速度（米秒 ），乙飞行的速度（米秒 ），
故答案为：，；
（2）设对应的函数表达式为，
把， ， 代入得：，
解得，
∴对应的函数表达式为；
设对应的函数表达式为 ，
∵乙出发秒后，与甲飞行的高度相差 米，
∴图象过，
∴，
解得，
∴对应的函数表达式为；
（3）对于，令，得，
当 时，甲的高度为，
此时两无人机高度差为米，
当甲比乙高米时，
，
解得：，
∴能形成这种表演效果时的取值范围为．
23.甲、乙、丙三个同学研究了二次函数 的图象和性质， 并交流了自己的学习成果．
（1）甲同学的说法：当和时，函数值相等．你认为甲同学的说法正确吗？请说明理由．
（2）乙同学的发现：取某个值时，该函数图象上到轴的距离为 1 的点有 3 个，且以这三个点为顶点的三角形的面积为3 ．根据乙同学的发现，求出此时的值．
（3）丙同学的探索：若 ，当时，的取值范围中恰有4个不同的整数值．根据丙同学的结论，求出的取值范围．
解：（1）甲同学说法正确，理由如下：
∵二次函数解析式为，
∴对称轴为直线，
∴当和时，函数值相等；
（2）在中，当时，，
∴顶点坐标为；
∵该函数图象上到轴的距离为 1 的点有 3 个，
∴函数值的绝对值为1的点有3个，
∴二次函数开口一定向上，且纵坐标为1有两个点，
∵当轴的距离为 1 的三个点组成的三角形的面积为3，
∴纵坐标为1的两个点的距离为，
∴纵坐标为1的两个点到对称轴的距离都为，
∴，即在二次函数图象上，
∴，
∴；
（3）∵，对称轴为直线，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵，且当时，，
∴当时，，
∵当时，的取值范围中恰有4个不同的整数值，
∴，
∴．
24.如图1，四边形内接于，为直径，为锐角，过点作 于点，过点作的平行线交的延长线于点．
（1），请用含的代数式表示．
（2）若，求证：．
（3）如图2，在（2）的条件下，与交于点，与延长线交于点，连接．
①若 ，，求的长．
②若，求的值．
解：（1）为直径，
，
，
，
于点，则，
；
（2），
，
，，
，
；
（3）①连接，作 于点，
，，
，
，
，
，
为直径，
，
，
四边形为矩形，
，，设，，
，，
，
解得: ，（舍）
的长为；
②连接，
为直径，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
∴为等腰直角三角形，则也为等腰直角三角形，
，
．
跳绳成绩
人数
5
10
15
10