重庆市第一中学校2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试卷含答案（word版+pdf版）

这是一份重庆市第一中学校2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试卷含答案（word版+pdf版），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 若复数 满足 ，其中 是虚数单位，则 的虚部是
A. B. C. D.
【答案】C
2. 下列各组向量中,可以作为平面内所有向量的一个基底的是
A. B.
C. D.
【答案】B
3.在 中, 是 中点,则
A. B. C. 2 D.
【答案】D
4.向量 满足 ,则 在 上的投影向量为
A. B. C. D.
【答案】B
5.单摆是种经典的物理模型,由一根轻质细线和一个小球组成。如图,悬点位于点 ,细线长 米,小球视为质点,小球从 点处释放，围绕点 做圆周运动，小球运动到最低点 处时，球受到的重力为 ，受到细线拉力 的大小为 ，其中小球速度 米/秒，小球质量 千克，重力加速度 米/秒 ，则
A. -50 B. -25 C. 25 D. 50
【答案】B
6.已知非零向量 满足 ,且对 恒成立,则
A. 2 B. C. 3 D. 0
【答案】C
7.在 中，角 的对边分别为 ，若 ， ,则
A. B. C. D. 2
【答案】A
8.如图,在正六边形 中,延长 相交于点 ,线段 的中点为 为线段 上一动点 (不包括端点),连接 相交于点 ,若 , 则 的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ,
又因为: ,
所以:.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知 为复数， 是虚数单位，下列说法正确的有
A. 若 为纯虚数,其中 ,则 或 1
B. ,则 在复平面内对应的点为
C. 若 ,则
D. 若 ,则 的最大值为 2
【答案】BD
10.已知 的内角 所对的边分别为 ，下列说法正确的是
A. 若 ,则
B. 若 有解,则
C. 若 ,则 的充要条件是
D. 若 边的中线 长为 ，则
【答案】ACD
11. 中, 是 上一点, 平分 , 的外接圆圆心为 ， 为平面 内一点，下列说法正确的有
A.
B. 的内切圆半径为
C. 在 上的投影向量为
D. 若 ,则
【答案】ABD
【解析】 ,根据角平分线定理得 ,故 A 选项正确。 ,且 ,所以 ,所以内切圆半径为: 故选项 B 正确。
根据各边比例关系,易知三角形 是含 的直角三角形,故易知 在 上的投影向量为 ，故选项 C 错误。
若点 为 的中点,则 点在直线 上,易知 故选项 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知向量 ，若 与 反向共线，则 ________.
【答案】-2
【解析】 .
13.当太阳光线与水平面的倾斜角为 时,将一根竹竿斜插在水平地面上,竹竿露出地面的部分长为 2 米, 则竹竿的影子最长为_____米.
【答案】
14.在 中, 为 的中点,点 在边 上,且满足 ， 与 交于点 ，则 的余弦值为________.
【答案】0
【解析】易知: .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知 ，且 与 的夹角为 ，求
(1) ；
(2)若向量 与 的夹角为钝角，求实数 的取值范围 .
【解析】(1) .2 分
.4 分
5 分
(2) 11 分
当两个向量反向共线时,设
.13 分
16.复平面内点 对应的复数分别为 是虚数单位, 为原点.
(1)若 ， ，求复数 ；
(2)若点 分别对应复数 ，求 的取值范围.
【解析】(1) 设 2 分
.5 分
.7 分
(2)在复平面内,以 为原点
则 9 分
11 分
13 分
.15 分
17.在 中,角 的对边分别为 .
(1)求 ；
(2) ，点 在边 上， ，求 的长.
【解析】
(1)
4 分
5 分
(2)
8 分
11 分
15 分
18.在 中，角 所对应的边分别为 ， 的面积为 .
(1)若 为锐角三角形,且满足 ，
① 求证: ；
② 设 ，求 的取值范围；
(2)求 的最大值.
【解析】(1) ①
① (舍去)
② 5 分
(1)②
设 为锐角三角形,则
分
(2)
设
最大值: 17 分
19.若 内一点 满足 ,则称点 为 的布洛卡点, 为 的布洛卡角. 如图, 已知 中， ，点 为的布洛卡点， 为 的布洛卡角.
(1)若 ，求 的值；
(2)若 为锐角三角形，
①若 ，求 的值；
②若 ，求 的取值范围.
【解析】 (1)
在 中， .3 分
(3)① 在 中，
同理,
7 分
②
.17 分