2025-2026学年湖北省武汉市武昌实验中学高二（下）段考数学试卷（3月份）（含答案）

这是一份2025-2026学年湖北省武汉市武昌实验中学高二（下）段考数学试卷（3月份）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数f′(1)=3，则Δx→0limf(1+Δx)−f(1)3Δx=( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
2.已知函数f(x)=ln(2x)−f′(1)x，则f′(1)=( )
A. 1B. −1C. 12D. 2
3.如图所示是函数y=f(x)的导数y=f′(x)的图象，下列四个结论：
①f(x)在区间(−3,1)上是增函数；
②f(x)在区间(2,4)上是减函数，在区间(−1,2)上是增函数：
③x=1是f(x)的极大值点；
④x=−1是f(x)的极小值点．
其中正确的结论是( )
A. ①③B. ②③C. ②③④D. ②④
4.在等比数列{an}中，a1，a5是函数f(x)=(x2−7x+11)ex的极值点，则a3=( )
A. 2B. −2C. ±2D. 1
5.若数列{an}满足a1=1，且对于任意的n∈N∗都有an+1=an+n+1，则1a1+1a2+⋯+1a2020等于( )
A. 20202019B. 20192020C. 40302021D. 40402021
6.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=6，若存在一个可以在三棱柱ABC−A1B1C1内任意转动的正方体，则该正方体棱长a的最大值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
7.函数f(x)的导函数f′(x)满足2f(x)+f′(x)>2，且f(1)=2025，则不等式f(x)>1+2024e2x−2的解集是( )
A. (1,+∞)B. (0,1)C. (1,2025)D. (2025,+∞)
8.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cs∠BAC=−35，AB⊥BD，则E的离心率为( )
A. 52B. 173C. 102D. 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论不正确的是( )
A. (csx)′=sinxB. (sinπ3)′=csπ3
C. 若y=1x2，则y′=1xD. (−1 x)′=12x x
10.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离是4，直线l过它的焦点F且与C交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，M为弦AB的中点，则下列说法正确的是( )
A. 抛物线C的焦点坐标是(2,0)
B. x1x2=4
C. 若x1+x2=5，则|AB|=7
D. 若以M为圆心的圆与C的准线相切，则AB是该圆的一条直径
11.高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数f(x)=[x]([x]表示不超过x的最大整数)称为高斯函数.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=12(an+1an)，令bn=1Sn+Sn+2，则下列结论正确的有( )
A. an=n(n∈N∗)B. Sn= n(n∈N∗)
C. [b1+b2+⋯+b63]=6D. [1S1+1S2+⋯+1S100]=18
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知方程x23+k+y22−k=1，表示焦点在y轴的椭圆，则k的取值范围是 ．
13.已知f(x)=lnx−x−1x+1，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 ．
14.若对任意x>0，恒有a(eax+1)≥2(x+1x)lnx，则实数a的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在公差不为0的等差数列{an}中，a1=1，且a5是a2与a14的等比中项．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=2an，cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Sn．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx−ax+1a2．
(1)当a=−1时，求曲线y=f(x)在点(1e,f(1e))处的切线方程；
(2)求f(x)的单调性和极值．
17.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，AB=2，BC=2 2，△PBC是等边三角形，平面PBC⊥平面ABCD，O，F分别是BC，PC的中点，AC与BD交于点E．
(1)求证：BD⊥平面PAO；
(2)平面OEF与直线PD交于点Q，求直线OQ与平面PCD所成角θ的大小．
18.(本小题17分)
已知点F1(− 5,0),F2( 5,0),P(x0,y0)，且||PF1|−|PF2||=4．
(1)求点P的轨迹方程C；
(2)已知点M(m,2)，斜率为k的直线l过点M．
(i)若m=0，且直线l与曲线C只有一个交点，求k的值；
(ii)已知点T(2,0)，直线l与双曲线C有两个不同的交点A，B，直线TA，TB的斜率分别为k1，k2，若k1+k2为定值，求实数m的值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=a(x−1)x+1−lnx．
(1)若a=1，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；
(2)若f(x)≤0对任意x∈[1,+∞)恒成立，求a的取值范围；
(3)证明：13+15+⋯+12n+10时，由f′(x)>0，得01，且g(1)=2a−4>0，
所以存在x0∈(1,+∞)，使得g(x0)=0，
当x∈(1,x0)时，g(x)>0，即f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)>f(1)=0，不满足题意，
因此，a的取值范围为(−∞,2]；
(3)证明：由(2)可知，当a=2时，f(x)=2(x−1)x+1−lnx≤0，
即2(x−1)x+1≤lnx当且仅当x=1时取等号，
令x=n+1n，则2(n+1n−1)n+1n+1