湖北省武昌实验中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省武昌实验中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设函数,则( )
A.-6B.-3C.3D.6
2．已知函数,曲线在点处的切线方程为( )
A.B.C.D.
3．若点P是曲线上任意一点,则点P到直线的最小距离为( )
A.1B.C.D.
4．已知函数在区间存在单调递减区间,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．函数的图象大致为( )
A.B.
C.D.
6．设定义在上的函数恒成立,其导函数为,若,则( )
A.B.
C.D.
7．已知函数有唯一的极值点t,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．设函数,若,且的最小值为,则a的值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数,则下列结论正确的是( )
A.只有一个零点B.恒成立
C.在处得到极大值D.是上的增函数
10．已知双曲函数是一类与三角函数性质类似的函数.双曲余弦函数为,双曲正弦函数为.则下列结论中正确的是( )
A.B.
C.D.是奇函数
11．已知连续函数及其导函数的定义域均为R,记,若为奇函数,的图象关于y轴对称,则( )
A.B.
C.在上至少有2个零点D.
三、填空题
12．函数的单调递减区间为_____________.
13．若函数在区间上存在最小值,则a的取值范围是______________.
14．若存在使对于任意不等式恒成立,则实数b的最小值为____________.
四、解答题
15．已知函数,直线与x轴交于点A.
(1)求过点A的的切线方程;
(2)若点B在函数图象上,且在点B处的切线与直线l平行,求B点坐标.
16．已知函数（a,）,其图象在点处的切线方程为.
(1)求a,b的值;
(2)求函数的单调区间和极值;
(3)求函数在区间上的最大值.
17．已知函数,
(1)讨论函数的单调性;
(2)讨论函数的零点个数.
18．已知函数,.
(1)若函数在取极大值,求实数a的值;
(2)若函数在定义域内有两个不同的极值点,.
（i）求实数a的取值范围;
（ii）当时,证明：.
19．给出下列两个定义：
I.对于函数,定义域为D,且其在D上是可导的,若其导函数定义域也为D,则称该函数是“同定义函数”.
II.对于一个“同定义函数”,若有以下性质：
①;②,其中,为两个新的函数,是的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”,将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”,将称之为“自导函数”.
(1)判断函数和是“单向导函数”,或者“双向导函数”,说明理由.如果具有性质①,则写出其对应的“自导函数”;
(2)已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数,命题.判断命题p是q的什么条件,证明你的结论;
(3)已知函数.
①若的“自导函数”是,试求a的取值范围;
②若,且定义,若对任意,,不等式恒成立,求c的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：
2．答案：A
解析：
3．答案：D
解析：
4．答案：B
解析：
5．答案：C
解析：
6．答案：B
解析：
7．答案：A
解析：
8．答案：B
解析：
9．答案：AC
解析：
10．答案：AC
解析：
11．答案：ACD
解析：
12．答案：
解析：
13．答案：
解析：
14．答案：-1
解析：
15．答案： (1)或;
(2)或.
解析：
16．答案：(1),;
(2)的增区间是和,减区间是,极大值是,极小值是;
(3)最大值是,最小值是-4.
解析：
17．答案：（1）当时,在R上单调递增;
当时,在上单调递减,在上单调递增.
（2）当时,无零点;
当或者时,有一个零点;
当时,有两个零点.
解析：（1）由题意,
在中,当时,,
则在R上单调递增;当时,令,
解得：,当时,单调递减;当时,,单调递增.
综上所述,
当时,在R上单调递增;
当时,在上单调递减,在上单调递增.
（2）在中,当时,,
当时,无解, 无零点.
当时,.令,在中,,
当时,;当时,,
在上单调递增,在上单调递减,且,
当时,,时,,
当即时,无零点,当即时,有一个零点;
当即时,有两个零点;当,即时,有一个零点.
综上所述,
当时,无零点;
当或者时,有一个零点;
当时,有两个零点.
18．答案：（1）
（2）（i）（ii）不等式成立
解析：（1）,,或
当时,,令,,时单调递增,时单调递减,,所以,在单调递减,不符合题意。当时,经检验符合题意,所以.
（2）（i）函数定义域为,因为函数在内有两个不同的极值点,,
即等价于函数在内有两个不同的零点,.
设,由,当时,,在上单调递增,至多只有一个零点;当时,在上,单调递增;
在上,单调递减,所以,当时,,函数有两个零点,则必有,
即,解得,又,
易证,证明如下：
令,,
当时,,单减,当时,单增,
故,故,得证.
,所以在和上各有一个零点,
故有两个零点时,a的范围为;
（ii）法1：由（i）可知,是的两个零点,不防设,
由且,得.
因为
令,则,记,,
由,令,.
又,则,即,
所以在上单调递增,故,即成立.
所以不等式成立.
法2：欲证,由,,则只需证：.
不妨设,则且,则,
所以
令,则,记,,
由,即在上单调递增,故,即成立.
故.
19．答案：(1)答案见解析
(2)既不充分也不必要条件;证明见解析
(3)
解析：（1）对于函数,则,
这两个函数的定义域都是,
所以函数为“同定义域函数”,此时,,由函数的定义,对于,无法同时成立,
所以为“单向导函数”,其“自导函数”为,对于函数,则,因为这两个函数的定义域不同,所以不是“同定义函数”.
（2）若q成立,,则,
设,则,所以为“单向导函数”,
又设,则,所以为“双向导函数”,
但不是常值函数,所以p不是q的必要条件;
若p成立,则,所以,所以,
所以q不成立,所以p是q的既不充分也不必要条件.
（3）①由题意,,且,
所以,所以;
②由题意,所以且,
令,,
可得,且,
因为为单调递增函数,且,
所以存在使得,
且当时,,单调递减;当时,,单调递增,
（i）当时,即,
所以,
此时,在上单调递增,可得;
（ii）当时,,此时,,
所以当时,,单调递减;
当时,,单调递增,
又由,所以;
（iii）当且时,,,
所以函数在上存在两个极值点,若,即时,极大值点为;若,即时,极大值点为,
则为函数的极大值或,
由当时,,,
令,,则,,
设,,则,
所以,即单调递增,所以,
所以单调递增,所以,
综上可得,,所以实数的取值范围为.