山西省吕梁市2023−2024学年高一下学期期中质量检测数学试题（含解析）

这是一份山西省吕梁市2023−2024学年高一下学期期中质量检测数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知向量，若，则实数（ ）
A．B．C．6D．
3．已知某圆柱的表面积是其下底面面积的4倍，则该圆柱的母线与底面直径的比为（ ）
A．B．C．D．
4．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，若向量在向量上的投影向量为，向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A．B．2C．D．
6．如图，在中，已知，将以为轴旋转一周形成的几何体的体积为，以为轴旋转一周形成的几何体的体积为，若V1=2V2，则ACBC=（ ）

A．B．C．D．
7．已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知某圆台的体积为1423π，其轴截面为梯形，，，则在该圆台的侧面上，从点到的最短路径的长度为（ ）
A．B．C．6D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．一个多面体至少有4个面
B．圆柱的母线与它的轴可以不平行
C．用任意一个平面截球得到的截面都是一个圆面
D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
10．如图，某旅游部门计划在湖中心处建一游览亭，打造一条三角形游览路线．已知是湖岸上的两条甬路，（观光亭视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则（ ）
A．
B．当时，
C．面积的最大值为
D．游览路线最长为
11．已知两个非零向量，定义新运算，则（ ）
A．当时，
B．对于任意非零向量，都有
C．对于不垂直的非零向量，都有
D．若，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为 ．
13．白银比例是指事物各部分间存在着一定的数学比例关系，其比值为，具有很好的美感，在设计与建筑领域有广泛应用．在矩形中，，从矩形中截取一个正方形，剩下的矩形的宽与长之比为白银比例，则 ．
14．在四面体ABCD中，，，，，，，则四面体ABCD的外接球的表面积为 ，四面体ABCD的体积为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知复数满足为纯虚数，．
(1)求以及；
(2)设，若，求实数的值．
16．在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，判断的形状并说明理由．
17．如图，在中，，点满足边上的中线与交于点．设．

(1)用向量表示；
(2)求的大小．
18．如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面落在圆锥底面上．已知正三棱柱底面边长为，高为2．

(1)求挖掉的正三棱柱的体积；
(2)求该几何体的表面积．
19．如果三角形的一个内角等于另外一个内角的两倍，我们称这样的三角形为倍角三角形，如在中，若，则为倍角三角形，其中角叫做2倍角，角叫做1倍角．
(1)利用正、余弦定理证明下面的倍角定理：在倍角三角形中，2倍角所对边的平方等于1倍角所对边乘以该边与第三边之和；
(2)记的内角的对边分别为．已知且的面积为，求的周长．
参考答案
1．【答案】C
【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得结果.
【详解】由复数的运算法则可得，
则该复数在复平面内所对应的点为，该点位于第三象限，故选C.
2．【答案】D
【详解】由，得，解得，
故选：．
3．【答案】B
【详解】设圆柱的底面半径为，母线为，则，
所以，所以，
故选：B．
4．【答案】B
【详解】由正弦定理得，所以，
因为，所以，所以，
则，
故选：B．
5．【答案】D
【详解】由，得，，
向量在向量的投影向量为，则；
向量在向量上的投影向量为，则，
所以.
故选：D.
6．【答案】A
【详解】分别过顶点向对边作垂线，垂足分别为点，如图所示，

设，，则CD=12b,AD=32b,CE=12a,BE=32a，
则形成的几何体都可以看做一个大圆锥挖去一个小圆锥，所以可得
V1=13π×32a2×b+12a-13π×32a2×12a=π4a2b，
V2=13π×32b2×a+12b-13π×32b2×12b=π4ab2；
所以V1V2=ab=2，即ACBC=ba=12．
故选：A．
7．【答案】C
【详解】由，得，
由，得，整理得，
所以，则，
设向量的夹角为，则．
故选：．
8．【答案】B
【详解】由圆台轴截面为等腰梯形，故对边不是母线，分别是下、上底面圆的直径.
故由，得圆台的下底面的半径为，上底面的半径为，
设圆台的高为，由圆台的体积为V=1423π，
得V=13r2+R2+Rrπh=1312+22+1×2πh=1423π，解得.
在梯形中，则BC=2-12+(22)2=3，即母线长为.
如图，由圆台性质，延长AD,BC,OO1交于点，
由与相似，得PCPC+BC=rR,PCPC+3=12，解得.
设该圆台的侧面展开图的圆心角为，
则3α=2πr=2π，所以，
连结，则从点到的最短路径为线段，
又在中，PC=3,PA=6，∠CPA=12×2π3=π3，
由余弦定理得AC2=PA2+PC2-2PA⋅PCcsπ3
所以AC=62+32-2×6×3×12=33.
验证知，由PC=3,PA=6，得，PA2=AC2+PC2，
此时，恰与扇形弧所在圆相切，满足题意.
故选：B.
9．【答案】AC
【详解】对于A，多面体至少有4个面，故A正确；
对于B，圆柱的母线与它的轴平行，故B错误；
对于C，用任意的平面截一个球得到的截面都是一个圆面，故C正确；
对于D，满足条件的几何体可能是组合体，如图所示，故D错误．
故选：AC．
10．【答案】ACD
【详解】在中，由余弦定理得，
所以正确；
在中，由正弦定理，
得错误；
在中，由余弦定理，
，
当且仅当时等号成立，所以，
则的面积为，C正确；
由上可得，
所以，
当且仅当时等号成立，所以，D正确.
故选：ACD.
11．【答案】BD
【详解】设为向量与的夹角，由新运算可知，，
对于A，由上可知，
则，
又，所以，则，
当为钝角时，，即，故A错误；
对于B，因为，
，
所以，故B正确；
对于C，设为非零常数，
则，
当时，，故C错误；
对于D，因为，
所以，所以，
又，所以，所以中至少一个为0，则，故D正确，
故选：BD．
12．【答案】8
【详解】根据斜二测画法可知，原来的平行四边形为一个矩形，且该矩形的宽为2，长为4，
故原来的平行四边形的面积为，
故答案为：8．
13．【答案】/
【详解】如图，由已知得，，
由白银比例可知，所以，
则，则，
又，
且，，
所以
.
故答案为：.
14．【答案】；1.
【分析】勾股定理判断出为直角三角形，取BD的中点O，O为四面体ABCD的外接球的球心，可求得四面体ABCD的外接球的表面积；将四面体ABCD补成直三棱柱，根据求出体积.
【详解】在四面体ABCD中，
，，，，，
因为，所以为直角三角形，
因为，所以为直角三角形，取BD的中点O，
则，所以O为四面体ABCD的外接球的球心，
则BD为四面体ABCD的外接球的直径，
所以四面体ABCD的外接球的表面积为；
将四面体ABCD补成直三棱柱，如图，
， ，，，
所以，，
所以，即，
故四面体ABCD的体积为
.
故答案为：；1.
【方法总结】解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
15．【答案】(1)；
(2)1或5
【详解】（1）设，则，
由为纯虚数，
得①，且，
由，得②，
由①②解得，验证知，满足题意.
所以.
（2）由（1）可知，，
由，得，
整理，得，
解得或.
故实数的值为1或5.
16．【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）在中，因为，
所以由正弦定理得，
由余弦定理得，
由，所以.
（2）因为，
故，即，又，则，
所以为等腰三角形.
17．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由可知，，
则，
所以；
又为边上的中线，所以．
（2）由得，
又，所以向量与的夹角为，则，
由图形可知，的大小等于向量与的夹角，
又，
，
，
所以，
又，所以．
18．【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）因为正三棱柱的底面边长为，高为2，
则，
所以正三棱柱的体积．
（2）在正三棱柱中，由（1）知，，
，
设圆锥的底面圆圆心为O，则O是矩形的中心，设圆O半径为，
有，即，
令的中点为，连接，则，
且，，，
于是，解得，
则圆锥的母线长，
圆锥的底面圆面积，侧面积，
三棱柱的表面积为，
所以该几何体的表面积为：
.

19．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）设的内角的对边分别为，已知，求证：.
证明：由，得，
由正弦定理，得，
由余弦定理，得，
则，
整理，得，
当时，，由，得，所以，则，
所以.
当时，.
由上可知，当时，.
同理可证，当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
综上可知，倍角定理成立.
（2）已知，由正弦定理得，则①，
又，由倍角定理得②，
将①式代入②式得，所以，即③
由余弦定理，将①③代入得，
由，则，
又的面积为，则，
解得，则，，
故的周长为15.