2025_2026学年北京市顺义区仁和中学九年级下学期3月月考数学检测试卷 [含解析]

这是一份2025_2026学年北京市顺义区仁和中学九年级下学期3月月考数学检测试卷 [含解析]，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列几何体放置在水平面上，其中俯视图是圆的几何体为（ ）
A．B．
C．D．
2．据报道，2024年春节假期北京接待游客约1750万人次，旅游收入同比增长近四成．将17500000用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，，，若，则的大小为（ ）

A．B．C．D．
4．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．每一个外角都是的正多边形是（ ）
A．正四边形B．正六边形C．正七边形D．正九边形
6．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．B．1C．D．4
7．现有三张背面完全一样的扑克牌，它们的正面花色分别为，，，若将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张牌花色相同的概率为，则两次抽取的牌花色相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在菱形中，，为对角线的交点.将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，.对八边形给出下面四个结论：
①该八边形各边长都相等；
②该八边形各内角都相等；
③点到该八边形各顶点的距离都相等；
④点到该八边形各边所在直线的距离都相等。
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
二、填空题
9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________．
10．分解因式__________．
11．方程的解为___________．
12．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和， 则n的值为______．
13．某种植户种植了棵新品种果树，为了解这棵果树的水果产量，随机抽取了棵进行统计，获取了它们的水果产量（单位：千克），数据整理如下：
根据以上数据，估计这棵果树中水果产量不低于千克的果树棵数为_____．
14．如图，在正方形中．点E，F，G分别在边，，上，．若，，则的度数为______（用含的式子表示）．
15．如图，是的外接圆，于点，交于点，若，，则的长为_____．

三、解答题
16．甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作、、、四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示：
（1）如果按照的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为______分钟；
（2）两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是______．
17．计算：．
18．解不等式组：．
19．已知，求代数式的值．
20．如图，四边形是菱形．延长到点E，使得，延长到点F，使得，连接，，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
21．每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米．
测量数据（精确到0.1米）如表所示：
（1）由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______；
（2）该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米．
22．在平面直角坐标系中，一次函数（k为常数，）的图象由函数的图象平移得到，且经过点，与x轴交于点B．
（1）求这个一次函数的解析式及点B的坐标；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围．
23．某校初三年级两个班要举行韵律操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位：cm），数据整理如下：
a．1班 168 171 172 174 174 176 177 179
2班 168 170 171 174 176 176 178 183
b．每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值；
（2）如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐．据此推断：在1班和2班的选手中，身高比较整齐的是______班（填“1”或“2”）；
（3）1班的6位首发选手的身高分别为171，172，174，174，176，177．如果2班已经选出5位首发选手，身高分别为171，174，176，176，178，要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是______cm．
24．如图，为的直径，点C在上，，直线于点D，交AB的延长线于点F．

（1）求证：直线为的切线；
（2）当，时，求的长．
25．某农科所的科研小组在同一果园研究了甲、乙两种果树的生长规律．记果树的生长时间为 （单位：年），甲种果树的平均高度为（单位：米），乙种果树的平均高度为（单位：米）．记录的部分数据如下：
对以上数据进行分析，补充完成以下内容．
（1）可以用函数刻画与，与之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象；
（2）当甲种果树的平均高度达到8.00米时，生长时间约为 年（结果保留小数点后一位）；当乙种果树的平均高度为5.00米时，两年后平均高度约为 米（结果保留小数点后两位）；
（3）当甲、乙两种果树的平均高度相等时，生长时间约为 年（结果保留小数点后一位）．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴有两个交点，其中一个交点的坐标为
（1）求a的值和抛物线的对称轴用含b的式子表示；
（2）若点，，在该抛物线上，且，求b的取值范围.
27．在中，，于点M，D是线段上的动点（不与点B，C，M重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．
（1）如图1，如果点E在线段上，求证：；
（2）如图2，如果D在线段上，在射线上存在点F满足，连接求证：．
28．在平面直角坐标系中，的半径为．对于的弦和点，给出如下定义：若在上或其内部存在一点使得四边形是菱形且是该菱形的对角线，则称点是弦的“伴随点”．
（1）如图，点．
①在点中，弦的“伴随点”是点 ；
②若点是弦的“伴随点”且，则长为 ；
（2）已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的伴随点．记点的横坐标为，当时，直接写出的取值范围．
答案
1．【正确答案】A
【分析】本题考查三视图中的俯视图．根据题意逐项判断即可．
【详解】解：A.俯视图是圆，此选项符合题意；
B. 俯视图是长方形，此选项不符合题意；
C. 俯视图是三角形，此选项不符合题意；
D. 俯视图是正方形，此选项不符合题意．
故选A．
2．【正确答案】C
【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：，
故选C．
3．【正确答案】C
【分析】本题平行线的性质，垂直的定义．根据平行线的性质得，再根据垂直定义得，即可由求解．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
∴
故选C．
4．【正确答案】C
【分析】本题考查了，利用数轴比较数的大；由a所在位置，得出a的取值范围，即可判断、，根据不等式的性质得出的取值范围，即可判断、，即可求解，
【详解】解：由数轴可知：，则：、错误，不符合题意，
∵，则：正确，符合题意，错误，不符合题意，
故选C．
5．【正确答案】D
【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理．根据多边形的外角和是和这个多边形的每一个外角都等于，即可求得多边形的边数．
【详解】解：∵多边形的外角和是，这个多边形的每一个外角都等于，
∴这个多边形的边数是，
故选D．
6．【正确答案】B
【分析】根据方程有两个相等的实数根，判别式等于零，进行求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴；
故选B．
7．【正确答案】B
【分析】本题考查了列表法求概率．正确列表并不重复不遗漏的列出所有可能的结果数以及满足题意的结果数成为解题的关键．
根据题意列出图表，得出所有等可能的情况数和满足题意的情况数，然后根据概率公式即可解答．
【详解】解：三张扑克牌分别用A、B、B表示，列表如下：
共有6种等可能的情况数，其中抽取的两张牌花色相同的有2种情况，
则抽取的两张牌花色相同的概率为．
故选B．
8．【正确答案】B
【分析】根据菱形，，则，，结合旋转的性质得到点一定在对角线上，且，，继而得到，，结合，继而得到，可证，，同理可证，证，继而得到，得到，可以判定该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等，可以判定④正确；根据题意，得，结合，，得到，可判定②该八边形各内角不相等；判定②错误，证，进一步可得，可判定点到该八边形各顶点的距离都相等错误即③错误，解答即可.
本题考查了旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质，角的平分线性质定理，熟练掌握旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质是解题的关键.
【详解】向两方分别延长，连接，
根据菱形，，则，，
∵菱形绕点逆时针旋转得到菱形，
∴点一定在对角线上，且，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，同理可证，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴该八边形各边长都相等，
故①正确；
根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等，
∴④正确；
根据题意，得，
∵，，
∴，
∴该八边形各内角不相等；
∴②错误，
根据，
∴，
∴，
∵，
故，
∴点到该八边形各顶点的距离都相等错误
∴③错误，
故选B．
9．【正确答案】
【分析】此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得．
【详解】解：由题意可得，
，
.
10．【正确答案】
【分析】本题考查因式分解．先提公因式a，再运用平方差公式分解即可．
【详解】解：．
11．【正确答案】
【分析】本题考查了分式方程的解，根据题意先去分母，再解整式方程，最后检验即可．
【详解】解：
去分母，得，
解得，
检验：经检验是原分式方程的解，
故答案为．
12．【正确答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据题意，和点，都满足解析式，即可求解．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和，
∴，
解得：
13．【正确答案】
【分析】本题考查了频数（率）分布表和用样本估计总体，解题的关键是利用样本估计总体思想的运用．用乘以水果产量不低于千克的果树的百分比即可求解．
【详解】解：估计这棵果树中水果产量不低于千克的果树棵数为（棵）．
14．【正确答案】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，过点G作于点H，证明，得出，根据三角形外角的性质，即可求出结果．
【详解】解：过点G作于点H，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故．
15．【正确答案】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理和中位线定理，由垂径定理得，，则可得是的中位线，设半径为，由勾股定理得，求出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴是的中位线，
∴，即，
设半径为，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得，
∴，
∴．
16．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了实数的运算，熟悉理解题意是解题的关键．
（1）根据题目所给的组装顺序运算时间即可；
（2）让甲给道具拼接的时间最短，先拼接时间短的道具，且在乙上色时能够拼接好下一个道具，排出顺序即可．
【详解】（1）解：甲先拼接用9分钟，然后乙再给上色7分钟，这7分钟甲可以给B拼接，（分），还剩下的时间给拼接2分钟，这时还需要（分），乙开始给上色又花了7分钟，这7分钟甲给拼接，还留有（分），这3分钟甲给拼接，在乙完成的上色时甲给口拼接还需要（分），此时乙给上色9分钟，甲就能把拼接完了，最后乙再给上色；
综上所述，总时长为（分）.
（2）解：要用最短的时间完成这四个道具的制作，开始的时候要让甲给道具拼接的时间最短，先拼接时间短的道具，且在乙上色时能够拼接好下一个道具，所以制作的顺序应该是.
17．【正确答案】
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，二次根式的加减计算，零指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和化简二次根式，最后计算加减法即可．
【详解】解：
．
18．【正确答案】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：．
19．【正确答案】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据题意得到，再把原分式的分子和分母都分解因式，然后约分化简，最后利用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
20．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再由菱形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论；
（2）由矩形的性质得，，再由菱形的性质得，，进而证明是等边三角形，得，则，然后由勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）证明：，，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形，
，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：由（1）可知，，四边形是矩形，
，，
四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
，
，
，
即的长为．
21．【正确答案】（1），
（2）43
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由同一时刻测量，得到是本题的关键．
（1）由同一时刻测量，可得，分别代入第一次测量、第二次测量的数值，可得其关于、的方程；
（2）已经求得，将代入任一个方程，可求得的值，即得钟楼的高度．
【详解】（1）由同一时刻测量，可得，
第一次测量：，化简得，，
第二次测量：，化简得，.
（2）对于，代入，
得，，
解得：，
钟楼米.
22．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，解题的关键是求出函数解析式和列出不等式解决问题．
（1）根据一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，可得，即可解得一次函数的解析式为；从而求出的坐标为；
（2）当时，，，根据当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，可得，可解得答案．
【详解】（1）一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，
，
解得，
一次函数的解析式为；
在中，令得，
解得，
的坐标为；
（2）当时，，，
当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，
，
解得，
的取值范围是．
23．【正确答案】（1）175、176．
（2）1
（3）170
【分析】（1）根据中位数和众数概念，即可作答；
（2）根据方差的概念，即可作答；
（3）先求出1班6位首发选手的平均身高，再求出2班第6位首发选手的身高取值范围；接着根据题意，从方差的概念入手，确定第六位选手的身高．
【详解】（1）2班数据从小到大排列为168、170、171、174、176、176、178、183
从中可以看出一共八个数，第四个数据为174、第五个数据为176，所以这组数据的中位数为：，故；
其中176出现的次数最多，所以这组数的众数为176，故.
（2）根据方差的定义可以知道，方差越大，一组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，反之亦然．
1班的身高分布于，2班的身高分布于，
从中可以看出，1班的数据较2班的数据波动较小，更加稳定，所以1班的选手身高比较整齐.
（3）（厘米）
设2班第六位选手的身高为厘米，
则，
，
据此，第六位可选的人员身高为170、183，
若为170时，2班的身高数据分布于，若为183时，2班的身高数据分布于，
从中可以看出当身高为170时的数据波动更小，更加稳定，
所以第六位选手的身高应该是170厘米.
24．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论；
（2）设，则，，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线为的切线；
（2）解：，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
．
25．【正确答案】（1）见详解；
（2）答案不唯一，如，
（3）答案不唯一，如
【分析】本题考查了一次函数的应用，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．
（1）先根据对应和的值在图上描点，然后用光滑的曲线连接即可．
（2）分别根据所求果树高度在图上水平划线，与、交点的横坐标即为生长时间．
（3）当甲、乙两种果树的平均高度相等时，即=，在图上找到、交点所对应的即为生长时间．
【详解】（1）解：如图，根据对应和的值在图上描点，然后用光滑的曲线连接即可．
（2）解：当时，在图上找到约为，
当时，在图上找到约为，两年后即时，约为5.98．
故答案为，（答案不唯一）．
（3）解：当甲、乙两种果树的平均高度相等时，即=，在图上找到、交点所对应的即为生长时间，即约为．
故答案为（答案不唯一）．
26．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
将代入，可得，则抛物线的解析式为，即可得抛物线的对称轴为直线
由题意得，点C到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，即，求出b的取值范围即可．
【详解】（1）将代入，
得
，
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线
（2）点，，在该抛物线上，且，
点C到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，
即，
解得
的取值范围为
27．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，中位线定理等知识点，掌握相关数学结论即可．
（1）由旋转可知：，，进而得；根据，，可得；结合在中，
，即可求证；
（2）延长到点N，使，连接可推出，，证
，即可求证；
【详解】（1）证明：∵线段绕点D顺时针旋转得到线段．
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，∵，
∴，
∴，
即；
（2）证明：如图，延长到点N，使，连接
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∵，
∴．
28．【正确答案】（1）①；②
（2）且
【分析】（1）①根据新定义，弦的“伴随点”在的垂直平分线上（除的中点外），且在上或其内部存在一点，且，结合坐标系，即可求解；
②根据圆周角定理，圆内接四边形对角互补得出，根据新定义得出点在外，且只有1个，进而解直角三角形，即可求解；
（2）分析新定义，结合（1）②可得弦的“伴随点”是线段除点外上的点，而，根据新定义得出点的轨迹为线段（除点）上任意一点，当旋转时，构成的图形如图所示，是两个同心圆构成的圆环（实线部分）除开半径为的圆（虚线部分）；根据对称性分别求得，进而根据且，得出的范围，根据与轴的夹角为，即可求解．
【详解】（1）解：①∵，点关于对称的点分别为
只有在的垂直平分线上（除的中点外），且在内部存在一点.
②如图所示，设为的中点，,为的垂直平分线与的交点，
∵
∴，则是等腰直角三角形，
∴的垂直平分线为一三象限的平分线上即，点在一三象限的平分线上
∵，
∴
如图所示，则分别为关于的对称点，弦的“伴随点”是线段除点外上的点，
又∵点是弦的“伴随点”且
∴点在外，且只有1个，
∵
∴，
∵
∴
∴.
（2）解：由（1）②可得，弦的“伴随点”是线段除点外上的点，而，
∵在上，且，
设，则
∴，即，
同理，则
∵，则，则
∴，，，
当是直线上一点，且存在的弦，点是弦的伴随点．
∴点的轨迹为线段（除点）上任意一点，当旋转时，构成的图形如图所示，是两个同心圆构成的圆环（实线部分）除开半径为的圆（虚线部分）
∴且
即且
又∵与轴的夹角为
∴的横坐标为
∴且．水果产量
果树棵数
A
B
C
D
甲
9
5
6
8
乙
7
7
9
3
直杆高度
直杆影长
的长
第一次
1.0
0.6
15.8
第二次
1.0
0.7
20.1
班级
平均数
中位数
众数
1班
173.875
174
174
2班
174.5
m
n
x
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10.0
1.00
2.50
5.00
7.50
9.00
9.64
9.87
9.95
9.98
10.00
10.00
1.50
4.24
5.67
5.95
5.99
6.00
6.00
6.00
6.00
6.00
6.00
A
B
B
A
（B，A）
（B，A）
B
（A，B）
（B，B）
B
（A，B）
（B，B）