2025_2026学年北京市第五十五中学九年级下学期月考数学检测试卷（3月份） [含解析]

这是一份2025_2026学年北京市第五十五中学九年级下学期月考数学检测试卷（3月份） [含解析]，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．观察出下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）.
A． B． C． D．
2．如图，直线，交于点，于点．若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
3．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．B．C．D．
4．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个球，则两次取出的小球标号相同的概率是( )
A．B．C．D．
6．2024年元旦假期国内旅游出游达135000000人次，用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
7．下面是课本中“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：
求作：一个角，使它等于
作法：如图
（1）作射线；
（2）以为圆心，任意长为半径作弧，交于，交于；
（3）以为圆心，为半径作弧，交于；
（4）以为圆心，为半径作弧，交前面的弧于；
（5）连接作射线，则就是所求的作的角；

以上做法中，错误的一步是（ ）
A．（2）B．（3）C．（4）D．（5）
8．如图，在中，，为斜边的中点，在内绕点转动，分别交边，于点，（点不与点，重合），下列说法正确的是（ ）
①；②；③
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题
9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是___________.
10．分解因式：___________.
11．方程的解是____．
12．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和，若，则的值为________．
13．为合理安排进、离校时间，学校调查小组对某一天九年级学生上学、放学途中的用时情况进行了调查．本次调查在九年级随机抽取了20名学生，建立以上学途中用时为横坐标、放学途中用时为纵坐标的平面直角坐标系，并根据调查结果画出相应的点，如图所示：已知该校九年级共有400名学生，请估计九年级学生上学途中用时不超过15min的有________人．
14．如图，为的直径，为弦的中点，若，且，则的长是___________．
15．如图，正方形，为边上一点，，垂足为D，，，则的长为_____________．
16．车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表：
若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．
（1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序：
①；②；③中，经济损失最少的是_________（填序号）；
（2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为_________元．
三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组：．
19．已知，求代数式的值．
20．在中，，分别是边的中点，延长到点，使，连结．

（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）连结，交于点，若，求的长．
21．随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择，某市有出租车、滴滴专车两种网约年，收费标准见下表：
（注：车费=起步价+超公里部分费用；滴滴专车超公里部分费用=超公里里程费+超公里时长费；滴滴专车平均时速为60公里/小时）
（1）如果乘车里程为8公里，请分别算出乘坐出租车和滴滴专车的费用；
（2）若从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴专车省元，求甲、乙两地间的里程数；
（3）若滴滴专车下单有优惠活动：超过5公里，超公里部分的费用打八折．某人发现，从甲地到乙地（超过5公里）乘坐两种车的费用相同，求甲、乙两地间的里程数．
22．在平面直角坐标系中，函数图象经过点和
（1）若，求该函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，结合函数图象，直接写出的取值范围．
23．某校举办了一场游泳比赛，9年级初选出10名学生代表．将10名学生代表200米自由泳所用时间数据整理如下：
a．10名学生代表200米自由泳所用时间（单位：秒）：260，255，255，250，248，246，246，246，220，205
b．10名学生代表200米自由泳所用时间的平均数、中位数、众数（单位：秒）；
（1）写出表中，的值；
（2）部分同学因客观原因没有参加选拔，学校决定，若5次日常训练的平均用时低于10名学生代表中的一半同学，且发挥稳定，就可以加入代表团．
①甲乙两位同学5次日常训练的用时如下表，请你判断，两位同学更有可能加入代表团的是________（填“甲”或“乙”）；
②丙同学前4次训练的用时为270，255，249，240，他也想加入代表团，若从日常训练平均用时的角度考虑，则第5次训练的用时的要求为：________．
24．如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O的弦．过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过点C作CD//AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．
（1）判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由：
（2）若AB=9，BC=6，求PC的长．
25．如图，已知，点D是边上一点，且，点P是线段上的动点，过点P作的垂线，垂足为E，连接，设．
通过分析发现可以用函数来刻画y与x之向的关系，请将以下过程补充完整：
（1）选点、画图、测量，得到x与y的几组数值，数据如下：
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）；
（2）自变量x的取值范围是_______；
（3）在平面直角坐标系中，画出此函数的图象：
（4）结合函数图象解决问题：当时，的长约为________（结果精确到）．
26．在平面直角坐标系中，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线．
（1）若，求的值；
（2）若对于抛物线上的点，当时，都有，求的取值范围．
27．在中，，，点D为线段上一点，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接．
（1）①请补全图形：
②直接写出之间的数量关系____________；
（2）取中点F，连接、，猜想与的位置关系与数量关系，并证明．
28．新定义：在平面直角坐标系中，若几何图形与有公共点，则称几何图形为的关联图形，特别地，若的关联图形为直线，则称该直线为的关联直线．如图，为的关联图形，直线为的关联直线．
（1）已知是以原点为圆心，为半径的圆，下列图形：
直线；直线；双曲线，是的关联图形的是______（请直接写出正确的序号）．
（2）如图，的圆心为，半径为，直线：与轴交于点，若直线是的关联直线，求点的横坐标的取值范围．
（3）如图，已知点，，，经过点，的关联直线经过点，与的一个交点为；的关联直线经过点，与的一个交点为；直线，交于点，若线段在直线上且恰为的直径，请直接写出点横坐标的取值范围．
答案
1．【正确答案】B
【详解】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
解： A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．
故选B．
“点睛”本题考查了中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．也考查了轴对称图形．
2．【正确答案】D
【分析】由垂线的定义可知，从而可求出，再根据对顶角的性质即可知．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
∵与为对顶角，
∴．
故选D．
3．【正确答案】D
【分析】根据a，b在数轴上的位置可直接判断A；根据在数轴上的位置结合加法和乘法法则可判断B和C；根据绝对值的意义可判断D．
【详解】解：A．∵由数轴可知，故不正确；
B．∵，∴，故不正确；
C．∵，∴，故不正确；
D．由数轴可知，正确；
故选D．
4．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式，得出关于的一元一次不等式，并解不等式得出的取值范围是解题的关键；对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程无实数根．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
∴．
故选B．
5．【正确答案】A
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次取出的小球标号相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：列表如下：
由上表可知，一共有9种等可能性的情况，其中两次取出的小球标号相同的情况：共3种，
∴两次取出的小球标号相同的概率是．
故选A．
6．【正确答案】A
【分析】本题考查了科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．
根据科学记数法的定义，计算求值即可；
【详解】解： ，
故选A．
7．【正确答案】C
【分析】根据作一个角等于已知角的方法解决问题即可．
【详解】解：（4）错误．应该是以为圆心，为半径作弧，交前面的弧于；
故选C．
8．【正确答案】A
【分析】①证明∠A=∠DCB，AD=CD，∠ADE=∠CDF，根据ASA证明△得ED=FD，从而可判断①；②运用SAS证明△，得到，再由即可判断②；③当时，最短，从而可得，整理后代换即可判断③．
【详解】解：①∵，
∴△是等腰直角三角形
∴∠
∵点D是AB的中点，
∴，∠
∵∠
∴∠
∴∠
在△和△中
∴△
∴
∴△是等腰直角三角形
∴∠，故①正确；
②∵∠
∴∠
∴∠
在△与△中
∴△
∴
∵
∴，故②正确；
③∵△是等腰直角三角形，
∴
∵当时，最短，
∴
∴
即，故③错误；
∴综上，正确的是①②，
故选A．
9．【正确答案】/
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，
解得.
10．【正确答案】
【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．
【详解】．
11．【正确答案】
【分析】观察可得方程最简公分母为，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，具体方法是方程两边同时乘以最简公分母，在此过程中有可能会产生增根，增根是转化后整式的根，不是原方程的根，因此要注意检验．
【详解】解：
方程两边同乘得：
，
整理、解得．
检验：把代入．
∴是原方程的解，
故答案为．
12．【正确答案】
【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，先将点和代入函数解析式得出，，结合题意可得，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和，
∴，，
又∵，
∴，
即；
即的值为．
13．【正确答案】
【分析】本题考查了从图象获取信息，用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的思想是解题的关键．根据图中信息，可得上学途中用时不超过15min的学生有人，用总人数抽取的学生中上学用时不超过15min的学生所占比例，即可求解．
【详解】解：根据图中信息可知，上学途中用时不超过15min的学生有人，
故该校九年级学生上学途中用时不超过15min的人数为（人）．
14．【正确答案】4
【分析】先由垂径定理的推论得出，从而得，再由圆周角定理得出，然后由直角三角形的性质得出答案．
【详解】解：∵为的直径，为弦的中点，
∴，
∴，
∵，
∴.
15．【正确答案】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质．证明，可得，设正方形的边长为x，则，可求出x的值，即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
设正方形的边长为x，则，
∵，，
∴，
∴，解得：，
在中，，
∴，
解得：，
根据题意得：，
∵，
∴，
即的长为．
16．【正确答案】②；1040
【分析】本题考查了有理数的加法和乘法混合运算的实际应用，找出方案是解题的关键．
（1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的，分别根据题意求解判断即可；
（2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修，修复时间最短，据此计算即可．
【详解】解：（1）①总停产时间：分钟，
②总停产时间：分钟，
③总停产时间：分钟，
∴经济损失最少的是②.
（2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修，
分钟，
（元）
17．【正确答案】1
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，实数的混合计算．根据相关计算法则计算即可求解．
【详解】解：
．
18．【正确答案】
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
19．【正确答案】，
【分析】本题考查分式化简求值，利用完全平方公式分解因式，再约分化简，最后代入求值即可．
【详解】原式
∵
∴
∴原式
20．【正确答案】（1）见详解；
（2）．
【分析】（）利用三角形中位线的性质得，进而可得，即可求证；
（）由可得，，利用勾股定理得，再根据平行四边形的性质得，，利用勾股定理求出即可求解；
本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，掌握三角形中位线的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵分别为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
在平行四边形中，，，
在中，，
∴．
21．【正确答案】（1）出租车：元；滴滴专车：元
（2）甲、乙两地间的里程数为15公里
（3）甲、乙两地间的里程数为公里
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题目所给的收费标准以及题目中的等量关系列出方程是解题的关键．
（1）根据题目所给的收费标准计算即可；
（2）设甲乙两地的里程数为，出租车的费用滴滴专车的费用，根据等量关系列出方程求解即可；
（3）设甲乙两地的里程数为，出租车费用滴滴专车费用，根据等量关系列出方程求解即可．
【详解】（1）解：出租车：（元）
滴滴专车：（元）
（2）解：由题意可知，甲、乙两地里程数超过5公里，则设甲、乙两地间的里程数为公里，
由题意得
解得
答：甲、乙两地间的里程数为15公里．
（3）解：设甲、乙两地间的里程数为公里，由题意得
解得
答：甲、乙两地间的里程数为公里．
22．【正确答案】（1）该函数的解析式为
（2）
【分析】本题考查了一次函数解析式与图象，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）待定系数法求解析式；
（2）先求出解析式，然后联立与，依题意可得，即可求出的取值范围．
【详解】（1）解：，
函数图象经过点和．
，
解得．
该函数的解析式为．
（2）解：数图象经过点和，
解得
∴函数的解析式为，
∵当时，对于的每一个值，函数的值大于的值
∴
即
∵对于所有的，该不等式成立，
∴时，，
解得：
23．【正确答案】（1）247，246
（2）①乙；②
【分析】本题考查求中位数、众数、平均数和方差，理解定义并灵活运用是解答的关键．
（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）求得两位同学5次用时的方差，根据方差越小，发挥越稳定进行判断即可；
（3）设丙同学第5次训练用时为t，令其第5次训练用时的平均数小于248，列不等式求解即可．
【详解】（1）解：将10个数据从小到大排列：205，220，246，246，246，248，250，255，255，260 ，
∴中位数，众数是.
（2）解：①乙同学更有可能加入代表团，
理由：甲同学5次训练的用时平均数为，
方差为；
乙同学5次训练的用时平均数为，
方差为，
∵，
∴乙同学发挥更稳定，
∴乙同学更有可能加入代表团.
②设丙同学第5次训练用时为t，
根据题意，得，
解得.
24．【正确答案】（1）直线PC与圆O相切（2）
【详解】解：（1）直线PC与圆O相切．理由如下：
如图，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN，
∵AB//CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵∠BAC=∠BNC，
∴∠BNC=∠ACD，
∵∠BCP=∠ACD，
∴∠BNC=∠BCP，
∵CN是圆O的直径，
∴∠CBN=90°，
∴∠BNC+∠BCN=90°，
∴∠BCP+∠BCN=90°，
∴∠PCO=90°，即PC⊥OC，
又∵点C在圆O上，
∴直线PC与圆O相切
（2）∵AD是圆O的切线，
∴AD⊥OA，即∠OAD=90°，
∵BC//AD，
∴∠OMC=180°-∠OAD=90°，即OM⊥BC，
∴MC=MB，
∴AB=AC，
在Rt△AMC中，∠AMC=90°，AC=AB=9，MC=BC=3，
由勾股定理，得，
设圆O的半径为r，
在Rt△OMC中，
∠OMC=90°，OM=AM-AO=，MC=3，OC=r，
由勾股定理，得OM 2+MC 2=OC 2，
即．
解得，
在△OMC和△OCP中，
∵∠OMC=∠OCP，∠MOC=∠COP，
∴△OMC～△OCP，
∴，即．
∴
25．【正确答案】（1）
（2）
（3）见详解
（4）
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．
（1）当时，点运动到点处，此时点与点重合，即可求出长；
（2）由，可得的取值；
（3）描点，连线即可；
（4）做出的图形，利求出交点纵坐标即的长．
【详解】（1）解：当时，点运动到点处，此时点与点重合，
，
；
（2）∵，
即当点在点处时，，
当点在点处时，，
∴自变量的取值范围是.
（3）如图所示，
（4）当时，，如图，
作的图象，与之前函数交于点，经测量点纵坐标约为，
∴长约为.
26．【正确答案】（1）的值为1
（2）或
【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质．熟练掌握数形结合法求解二次函数的问题是解题的关键．
（1）由题意知，待定系数法求得，根据对称轴为直线，计算求解即可；
（2）由，对称轴为直线，可得二次函数的图象与轴的交点坐标为，，分当，时，当，时，当，时，当，时，四种情况，结合图象求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
将代入得，，
解得，，
∴对称轴为直线，
∴的值为1；
（2）解：∵，
当时，，
二次函数的图象过原点，
∵对称轴为直线，
∴二次函数的图象与轴的交点坐标为，，
当，时，如图1，
∵当时，都有，
∴，
解得，；
当，时，如图2，
∵当时，都有，
∴，
解得，；
当，时，如图3，此时不满足当时，都有；舍去；

当，时，如图4，此时不满足当时，都有；舍去；
综上所述，或．
27．【正确答案】（1）见详解，
（2），，见详解
【分析】（1）如图，连接，证明，得到，，，推出，即可得出之间的数量关系；
（2）如图，设交于，延长至，使，连接，证明和，即可得证．
【详解】（1）解：①补全图形如下：
②连接，
∵将线段绕点B顺旋转，得到线段，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即：，
∴，
∴；
（2），证明如下：
如图，设交于，延长至，使，连接，
∵是中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
28．【正确答案】（1）
（2）点的横坐标
（3）或
【分析】（1）根据关联图形的定义判断即可；
（2）直线的临界状态是和相切的两条直线和，求出两种特殊情况下的点N的横坐标即可解决问题；
（3）过点H作，垂足为，交于点，根据可得，由的取值此即可确定点横坐标的取值范围．
分别讨论即可得出答案．
【详解】（1）解：假设双曲线上点到原点的距离为2，
则，即，
整理，得，即，
解得，
经检验，是所列分式方程的根，
因此双曲线上点和到原点的距离为2，
故双曲线与有公共点；
如图所示，
直线和 双曲线与有公共点，直线与没有公共点，
因此是的关联图形.
（2）解：如图所示：
直线是的关联直线，
直线的临界状态是和相切的两条直线和，
当临界状态是时，连接， 则，
中，当，，当，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
点；
同理可得当临界状态是时，点，
点的横坐标；
（3）解：①当点Q在点P的上方时，如图所示，连接，，交于点H，过点H作，垂足为，交于点，
，，
，
，
轴，
，
，
设点，则，，
，
解得，
当最小时，，取最大值为2，越大，越小， ，
此时h取值范围为；
②当点P在点Q的上方时，如图所示，连接，，交于点H，过点H作，垂足为，交于点，
同理可得： ，
设点，则，，
，
解得，
当最小时，，取最小值为，越大，越大，
此时h取值范围为；
综上可得或．车床代号
A
B
C
D
E
修复时间（分钟）
8
31
11
6
17
出租车
滴滴专车
起步价：14元（3公里以内包括3公里）
超公里部分：超过3公里：元/公里
起步价：17元（5公里以内包括5公里）
超公里部分：里程费：元/公里；时长费：元/分钟
平均数
中位数
众数
243.1
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲同学日常训练用时
246
255
227
266
236
乙同学日常训练用时
246
255
239
240
250
0
1
2
3
4
5
6