2025_2026学年北京市东直门中学八年级下学期期中考试数学检测试卷 [含解析]

这是一份2025_2026学年北京市东直门中学八年级下学期期中考试数学检测试卷 [含解析]，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，1，5B．2，1，－5C．2，0，－5D．2，0，5
2．下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．4，5，6D．6，8，10
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
5．用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．矩形是特殊的平行四边形，下列性质矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ）
A．对边平行B．对边相等C．对角线互相平分D．对角线相等
7．把直线向下平移2个单位，得到的直线是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，直线和直线相交于点，则关于x，y的方程组，的解为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在平面直角坐标系中，点，，在坐标轴上，是的中点，四边形是矩形，四边形是正方形，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，矩形中，对角线交于点，边的中点分别是点，，一动点从点出发，沿着在矩形的边上运动，运动到点停止，点为图1中某一定点，设点运动的路程为的面积为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示．则点的位置可能是图1中的（ ）
A．点B．点C．点D．点
二、填空题
11．在函数中，自变量x 的取值范围是_________________________．
12．如图，在中，点E在上，平分，若，，则_______．
13．已知、是一次函数的图象上的两点，则______．（填“”或“”或“”）
14．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是__________（写出一个即可）．
15．如图，中，点，分别是边，的中点，的角平分线交于点，，，则的长为__________．
16．据国家统计局发布的《2024年国民经济和社会发展统计公报》显示，2021年和2023年全国居民人均可支配收入分别为万元和万元．设2021年至2023年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为___．
17．如图，矩形纸片，，，折叠纸片使边与对角线重合，折痕为，则______，_____．
18．如图，正方形中，点E为边上的点（点E不与点C、D重合），以为边作正方形，连接，设，，，给出下面三个结论：
①；②；③；上述结论中，正确结论的序号有______．
三、解答题
19．计算：
（1）；
（2）．
20．解方程：．
21．下面是小明设计的作矩形ABCD的尺规作图过程．
已知：Rt△ABC中，∠ABC＝90°．
求作：矩形ABCD．
作法：如图，
1、以点A为圆心，BC长为半径作弧；
2、以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D（点D与点B在直线AC异侧）；
3、连接AD，CD．
所以四边形ABCD就是所求作的矩形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明（括号里填推理的依据）．
证明：∵AB＝______，BC＝______，
∴四边形ABCD是平行四边形（_______）．
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（________）．
22．已知关于x的一元二次方程．
（1）判断方程根的情况，并说明理由；
（2）若方程一个根为，求m的值．
23．如图，在中，，过点D作交BC的延长线于点E，连接交于点F．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
24．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围．
25．我校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题．
（1）作出函数的图象．
①列表：
其中，表格中m的值为______；
②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点；
③连线：画出该函数的图象．
（2）观察函数的图象，探索函数性质：
①当______时，函数有最大值，最大值为______；
②写出该函数的其它性质(写一条即可)______；
（3）结合该函数图象，利用该函数的性质，解决问题：
若点与都在函数的图象上，总有，则m的取值范围为______．
26．某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
方案一：没有底薪，只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
如图中的射线，射线分别表示该鲜花销售公司每月按方案一、方案二付给销售人员的工资（单位：元）和（单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（）的函数关系．
（1）直接写出方案二中的底薪是多少元；
（2）求与x的函数解析式；
（3）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过200千克，但其3月份的工资超过5000元．请你判断这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付的3月份工资，并说明你的理由．
27．如图，在菱形中，，对角线相交于点O，E为对角线上的动点（不与点C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．
（1）如图1，当E与点O重合时，连接，求证：；
（2）如图2，过点F作直线，交直线于点M，过点F作交射线于点N．
①依题意补全图形；
②请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，已知点P和直线，，点P关于直线，“和距离”的定义如下：若点P到直线，的距离分别为，，则称为点P关于直线，的“和距离”，记作d．特别地，当点P在直线上时，；当点P在直线上时，．
（1）在点，，中，关于x轴和y轴的“和距离”为3的点是______；
（2）若P是直线上的动点，则点P关于x轴和y轴的“和距离”d的最小值为______；
（3）已知点，，，点P是边上的动点，直接写出点P关于x轴和直线的“和距离”d的取值范围．
答案
1．【正确答案】B
【分析】根据一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．
【详解】解：∵一元二次方程2x2+x-5=0，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是2、1、-5，
故选B．
2．【正确答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、1+2=3，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
故选D
3．【正确答案】C
【分析】直接根据二次根式的运算法则计算即可得到答案．
【详解】，故A错；
，故B错；
，C正确；
，故D错．
故选C．
4．【正确答案】B
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【详解】解：A.，不是最简二次根式；
B.，是最简二次根式；
C.，不是最简二次根式；
D.，不是最简二次根式．
故选C．
5．【正确答案】A
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据配方法的求解步骤求解即可．
【详解】解：，
移项，得，
配方，得，
即，
故选A．
6．【正确答案】D
【分析】本题考查矩形和平行四边形的性质，熟练掌握矩形和平行四边形的性质是解题关键．根据矩形和平行四边形都有的性质：对边平行且相等，对角线互相平分等；矩形具有而平行四边形不具有的是对角线相等解答即可．
【详解】解：解：A、矩形和平行四边形的对边都平行，故不合题意；
B、矩形和平行四边形的对边都相等，故不合题意；
C、矩形和平行四边形的对角线都互相平分，故不合题意；
D、矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不相等，故符合题意．
故选D．
7．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移变换，理解一次函数图象平移规律是解题的关键．
根据一次函数图象平移中的“上加下减”原则，即可判断．
【详解】解：原直线的；向下平移2个单位长度得到了新直线，
那么新直线的．
所以新直线的解析式为．
故选A．
8．【正确答案】A
【分析】根据直线和直线相交于点，即可确定方程组，直接求解即可．
【详解】解：根据题意，可得方程组，
根据函数图象与方程组解的关系可知，函数图象的交点坐标就是联立函数解析式构成的方程组的解，则根据直线和直线相交于点得，
故选A．
9．【正确答案】B
【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，平面直角坐标系中点的坐标，矩形的性质等知识的综合运用．过点作轴，垂足为，利用证明，可得，，由是的中点，可求解，的长，进而可求解点坐标．
【详解】解：过点作轴，垂足为，
，
四边形为正方形，
，，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
在和和中，
，
，
，，
为的中点，
，
，
，
，
，，
，
，
故选B．
10．【正确答案】D
【分析】从图2中可看出当时，此时的面积为0，说明点一定在上，选项中有点和在上，此时观察图2，发现时，接近3，所以点的位置是图1中的点．本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是找出当时，此时的面积为0，说明点一定在上这一信息．
【详解】解：，，四边形是矩形，
当时，点到达点，此时的面积为0，说明点一定在上，
∵观察图2，发现时，接近3，
从选项中可得只有点最符合实际情况，
∴点的位置可能是图1中的点．
故选D．
11．【正确答案】
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式的分母不等于零列式计算即可得出答案．
【详解】解：由题意，得，
解得.
12．【正确答案】1
【分析】先根据平行四边形的性质得到，进一步证明，得到，则．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
13．【正确答案】
【分析】根据一次函数的增减性即可得．
【详解】解：一次函数中的，
随的增大而增大，
、是一次函数的图象上的两点，且，
.
14．【正确答案】0（答案不唯一）
【分析】先利用判别式的意义得到22﹣4k＞0，再解不等式确定k的范围，然后在此范围内取一个值即可．
【详解】根据题意得△＝22﹣4k＞0，
解得k＜1．
故答案为的实数均可．可填0
15．【正确答案】
【分析】根据三角形中位线定理得到，，根据角平分线，平行线的性质可得，由即可求解．
本题主要考查三角形的中位线，平行线，角平分线的性质，掌握中位线定理是解题的关键．
【详解】解：∵点、分别为边、的中点，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴.
16．【正确答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用2023年全国居民人均可支配收入2021年全国居民人均可支配收入（2021年至2023年全国居民人均可支配收入的年平均增长率），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
17．【正确答案】2；1.5
【分析】根据勾股定理可得，由折叠的性质可得，则，，则，在中，根据勾股定理求的长即可．
【详解】解：在中，
，
由折叠的性质可得，，
∴，，
∴，
设，则，，
在中，，
解得，
即．
18．【正确答案】①②/②①
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形三边关系等知识点，如图，延长交于点H，得出，利用勾股定理即可得出，故③错误，再将进行恒等变形即可判断①正确，然后利用三角形三边关系即可判断②正确，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
【详解】如图，延长交于点H，
∵点E为边上的点（点E不与点C、D重合），以为边作正方形，
∴，B，C，G三点共线，，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，故③错误，不符合题意；
∵，，
∴，故①正确，符合题意；
在中，
∵，
∴，
∴，故②正确，符合题意.
19．【正确答案】（1）
（2）11
【分析】（1）先化简二次根式，再计算加减法；
（2）先根据完全平方公式及二次根式的乘法公式去括号，再合并即可．
【详解】（1）解：
．
（2）
＝11．
20．【正确答案】，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】
解得，．
21．【正确答案】（1）见详解
（2）CD，AD，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．
【详解】（1）解：如图，四边形ABCD即为所求．
（2）证明：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对分别相等的四边形是平行四边形），
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
22．【正确答案】（1）方程有两个不相等的实数根，理由见详解；
（2）
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，以及不等式的性质，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．
（1）根据一元二次方程得到根的判别式，再结合，利用不等式的性质，得出，即可得到答案；
（2）将代入一元二次方程得到关于的方程，求解即可．
【详解】（1）解：关于x的一元二次方程，
其中，，，
，
，
，
，即，
方程有两个不相等的实数根；
（2）解：方程一个根为，
，
解得：．
23．【正确答案】（1）见详解
（2）的长是
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质．
（1）根据四边形是平行四边形，可得，再证，即可证明四边形是平行四边形，又，可证明四边形是矩形；
（2）根据四边形是矩形得出，，，证明是等边三角形，再根据勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
四边形是平行四边形，点E在的延长线上，
，
四边形是平行四边形，
∵，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，四边形是平行四边形，
，，，
，
是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
的长是．
24．【正确答案】（1）；
（2）．
【分析】可不是主要考查运用待定系数法求一次函数解析式以及两直线平行可相交问题
（1）运用待定系数法求解析式即可；
（2）画出图象，结合图象可知当时，两直线相交于点，当时，两直线平行，故可得出结论
【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和，
∴把和代入得，
一次函数的解析式为
（2）解：如图，
当时，两直线相交于点，
当时，两直线平行，
所以，m的取值范围为
25．【正确答案】（1）①②见详解③见详解
（2）①；2②函数图象关于直线对称(答案合理即可)
（3）或
【分析】本题考查了描点法作图、函数的性质、利用函数的增减性求参数的取值范围等，数形结合是解题的关键．
（1）根据表格，得出当时，，再代入解析式求值；②在图中描出对应的点，③在图中画出函数图象，注意点为转折点；
（2）①找到图中最高点，可得结果；②可从函数对称性，增减性方面描述；
（3）先将点关于直线对称，得对称点，再根据点与直线的位置关系分类讨论，
由，结合函数增减性，列不等式求解，最后综合得出的取值范围．
【详解】（1）由表可知，当时，，代入解析式，
可得，
描点，连线如下图所示：
（2）①由图知，当时，函数有最大值，最大值为2；
②由图知，函数图象关于直线对称；
（3）由图知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；
又函数图象关于直线对称，
点关于直线的对称点也在函数图象上，
当点在直线左侧时，点在直线右侧，
，，
由得，或 ，解得或，
或；
当点在直线右侧时，点在直线左侧，
，，
由得，或，解得或，
；
当点在直线上时，，，，
，，有，符合题意；
综上可知，当或时，总有.
26．【正确答案】（1）800元
（2）
（3）公司采用了方案一，理由见详解
【分析】（1）根据函数图象即可判断；
（1）根据图象中l2经过的点，利用待定系数法求解即可；
（3）分别根据方案一和方案二列出不等式组，根据解集情况判断即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知，方案二中的底薪是800元；
（2）解：设的解析式为．
由经过点（0，800），（40，1200），
则解得
∴的解析式为．
（3）解：可求出的解析式为．
由题意可得，
方案一：即解得．
方案二：即即无解．
∴公司没有采用方案二，
∴公司采用了方案一付给这名销售人员3月份的工资．
27．【正确答案】（1）见详解
（2）①见详解；②，见详解
【分析】本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由菱形的性质可得，，则可得，由旋转的性质可得，可证明，进而可证明，则；
（2）①根据题意补全图形即可；②取中点H，连接，由旋转的性质可得，由菱形的性质可得，可证明，则，证明，得到，，则；由平行线的性质得到，由直角三角形的性质可得，证明，得到，据此可得结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：①如图所示，即为所求；
②，证明如下：如图所示，取中点H，连接，
由旋转的性质可得，
由菱形的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∵，点H为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
28．【正确答案】（1），
（2）3
（3）
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，绝对值函数的分类讨论，点到直线的距离，勾股定理等，解题的关键是掌握绝对值函数的分类讨论方法，利用等面积法求点到直线的距离公式，分类讨论求范围的技巧．
（1）分别求出各点到x轴和y轴的距离，得到“和距离”，从而作出判断即可；
（2）设点P的坐标为，则点P关于x轴和y轴的“和距离”，
根据m的取值范围分类讨论，在每一种情况下求出的取值范围，综合比较得出的最小值；
（3）设点，利用等面积法表示出点P到直线的距离，从而表示出，
再根据点P在的边上分类讨论，求出在每一种情况下的取值范围，综合比较的取值范围．
【详解】（1）解：点到x轴和y轴的距离分别为0和3，
点P关于x轴和y轴的“和距离”为，符合题意；
点到x轴和y轴的距离分别为2和，
点P关于x轴和y轴的“和距离”为，符合题意；
点到x轴和y轴的距离分别为和4，
点P关于x轴和y轴的“和距离”为，不符合题意；
综上可知，点，，中，关于x轴和y轴的“和距离”为3的点是，．
（2）解：点P在直线上，
可设点，
点到x轴和y轴的距离分别为和，
点P关于x轴和y轴的“和距离”，
当时，，
，
随着的增大而减小，
又当时，，
．
当时，，
当时，，
，
随着的增大而增大，
又当时，，
．
综上可知，点P关于x轴和y轴的“和距离”d的最小值为3．
（3）解：设，过点作分别作轴的垂线，交直线于点，作轴的平行线交直线于点，作直线的垂线，垂足为，如下图所示：
则，，
，，
∴，即，
在中，由勾股定理得，，
在中，由，
得，
P关于x轴和直线的“和距离”．
点P是边上的动点，
当点P在边时，，，，
当时，；当时，，
当点P在边时，，，，
当时，；当时，，
当点P在边时，设直线的解析式为，
代入点，，可得，
解得，
直线AB的解析式为，
当点P在边时，，，，
当时，；当时，，
综上可得，，
即点P关于x轴和直线的“和距离”d的取值范围是.
x
…
0
1
2
…
y
…
0
m
2
1
0
…