2023-2024学年北京市东城区东直门中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市东城区东直门中学八年级（上）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择，填空，解答等内容，欢迎下载使用。

1．对称现象无处不在，下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A．吾B．爱C．东D．中
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5，8，12B．2，3，6C．3，3，6D．4，7，11
3．一个七边形的内角和度数为（ ）
A．360°B．720°C．900°D．1080°
4．下列计算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a3B．a3•a2＝a6
C．（a3）2＝a6D．（﹣2a）2＝﹣4a2
5．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ ）
A．M点B．N点C．P点D．Q点
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边中点，则∠CAD等于（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
7．如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系（ ）
A．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9B．（a+3）2＝a2+6a+9
C．a（a+3）＝a2+3aD．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
8．如图，AB＝AC，点D，AC上，补充下列一个条件后（ ）
A．∠B＝∠CB．AD＝AEC．∠BDC＝∠CEBD．BE＝CD
9．如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹（ ）
A．AF＝BFB．∠AFD+∠FBC＝90°
C．DF⊥ABD．∠BAF＝∠CAF
10．已知，如图在直角坐标系中，点A在y轴上，点A关于直线OB对称点D恰好在BC上，点E与点O关于直线BC对称，则∠OED的度数为（ ）
A．35°B．30°C．25°D．20°
二、填空（每题2分，共16分）
11．若（a﹣2）0＝1，则a需要满足的条件是 ．
12．工程建筑中经常采用三角形的结构，如图的屋顶钢架，其中的数学道理是 ．
13．点A（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标是 ．
14．若a+b＝﹣1，则a2+2ab+b2＝ ．
15．已知等腰三角形的周长为20，其中一边的长为6，则底边的长为 ．
16．如图，已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，若DE＝2，AE＝3 ．
17．已知a2x＝2，则a6x＝ ．
18．如图，长方形ABCD中，AB＝4，以长方形的顶点D为坐标原点，DC边所在的直线为x轴建立如图所示坐标系，使得△PAB、△PBC、△PDC、△PAD均为等腰三角形．
请写出一个符合的点P坐标： ；满足条件的点P共有 个．
三、解答（19、20题每小题8分，21、22、25、27、28每题5分，23题6分，24题4分，26题3分）
19．计算：
（1）3x2y•（﹣2xy3z）；
（2）（9x3﹣12x2+6x）÷3x．
20．分解因式：
（1）4m2﹣n2；
（2）3a2﹣6ab+3b2．
21．已知3x2﹣x﹣1＝0，求代数式（2x+3）（2x﹣3）+2x（x﹣1）
22．画图题：
（1）请画出△ABC关于直线x＝﹣1对称的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出A，B′，C′三点的坐标：
A′（ ），B′（ ），C′（ ）；
（3）△A′B′C′的面积为 ．
23．数学课上，王老师布置如下任务：如图，已知∠MAN＜45°，在射线AN上求作点C，使∠ACB＝2∠A．
下面是小路设计的尺规作图过程．
作法：①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；
②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C
根据小路设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：连接BD，BC，
∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴DA＝ ，（ ）（填推理的依据）
∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A．
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠ ，（ ）（填推理的依据）
∴∠ACB＝2∠A．
24．已知：如图，点A、E、F、C在同一条直线上，DF＝BE，AD∥BC．
（1）求证：△ADF≌△CBE．
（2）若AE＝3，求CF的长．
25．如图，在Rt△ABC中，DE垂直平分AC，垂足为E，连接CD，若ED＝1，DC＝2
26．阅读材料：
我们已经学习过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．对于多项式x2+2x+2，虽然不能写成某个代数式的平方形式，但是可以写成x2+2x+1+1＝（x+1）2+1，即一个含x的代数式的平方与另一个数的和的形式．更一般的，对于二次项系数不为1的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），它总是可以化为a（x+h）2+k的形式，我们把这种代数式的恒等变形叫做配方．例如：2x2+4x﹣3＝2（x2+2x+1）﹣5＝2（x+1）2﹣5，这就是一个配方的过程．根据以上内容回答下列问题：
（1）将代数式x2﹣4x+1配方；
（2）已知4a2+4（a﹣b）+b2+5＝0，那么ab的值为 ．
27．如图，在△ABC中，D是BC的中点，得到线段AB′，作CE∥AB交直线AB′于点E．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段AB，AE，CE之间的数量关系
28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形W，给出如下定义：图形W关于经过点（m，0）且垂直于x轴的直线的对称图形为W'，则称点P是图形W关于点（m，0）的“关联点”．
（1）若点P是点Q（3，2）关于原点的“关联点”，则点P的坐标为 ；
（2）如图，在△ABC中，A（1，1），B（6，0），C（4，﹣2）．
①点C关于x轴的对称点为C'，将线段BC'沿x轴向左平移d（d＞0）个单位长度得到线段EF（E，F分别是点B，C'的对应点）（1，0）的“关联点”，则d的取值范围是 ．
②已知点M（m+1，0）和点N（m+3，0），若线段MN上存在△ABC关于点（m，0），求m的取值范围．
参考答案
一、选择（每题3分，共30分）
1．对称现象无处不在，下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A．吾B．爱C．东D．中
【分析】观察四个选项中的汉子，根据轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可以重合，逐项进行判断即可得到答案．
解：A．吾不是轴对称图形；
B．爱不是轴对称图形；
C．东不是轴对称图形；
D．中是轴对称图形．
故选：D．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可以重合是解题的关键．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5，8，12B．2，3，6C．3，3，6D．4，7，11
【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解．
解：A、因为5+8＞12，符合题意；
B、因为3+3＝5＜5，不符合题意；
C、3+3＝5，不符合题意；
D、4+7＝11，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
3．一个七边形的内角和度数为（ ）
A．360°B．720°C．900°D．1080°
【分析】应用多边形的内角和公式计算即可．
解：七边形的内角和＝（n﹣2）×180°＝（7﹣4）×180°＝900°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）×180°（n≥3且n为整数）．
4．下列计算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a3B．a3•a2＝a6
C．（a3）2＝a6D．（﹣2a）2＝﹣4a2
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
解：A、a与2a2不属于同类项，不能合并；
B、a5•a2＝a5，故B不符合题意；
C、（a4）2＝a6，故C符合题意；
D、（﹣8a）2＝4a2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ ）
A．M点B．N点C．P点D．Q点
【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，注意观察点M、N、P、Q中的哪一点在∠AOB的平分线上．
解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB的平分线上．
所以点M到∠AOB两边的距离相等．故选A．
【点评】本题主要考查平分线的性质，根据正方形网格看出∠AOB平分线上的点是解答问题的关键．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边中点，则∠CAD等于（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【分析】根据等腰三角形的性质可得到AD是BC边的垂线，再根据直角三角形的性质可求∠DAC的度数．
解：∵AB＝AC，D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C+∠DAC＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠DAC＝90°﹣70°＝20°．
故选：B．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，关键是熟悉等腰三角形三线合一的性质．
7．如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系（ ）
A．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9B．（a+3）2＝a2+6a+9
C．a（a+3）＝a2+3aD．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
【分析】用代数式分别表示图1、图2中阴影部分的面积即可．
解：图1中，阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差2﹣22＝a2﹣8，
图2是长为a+3，宽为a﹣7的长方形，
所以有（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，
故选：D．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
8．如图，AB＝AC，点D，AC上，补充下列一个条件后（ ）
A．∠B＝∠CB．AD＝AEC．∠BDC＝∠CEBD．BE＝CD
【分析】根据三角形全等的判定方法一一判断即可．
解：A、根据ASA即可证明三角形全等．
B、根据SAS即可证明三角形全等．
C、根据AAS或ASA即可证明三角形全等．
D、SSA不能判定三角形全等．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹（ ）
A．AF＝BFB．∠AFD+∠FBC＝90°
C．DF⊥ABD．∠BAF＝∠CAF
【分析】由作图可知DF垂直平分线段AB，BE平分∠ABC，利用线段的垂直平分线的性质一一判断即可．
解：由作图可知DF垂直平分线段AB，BE平分∠ABC，
∴FA＝FB，DF⊥AB，C正确，
∴∠AFD＝∠BFD，
∵∠FBC＝∠FBD，∠FBD+∠BFD＝90°，
∴∠AFD+∠FBC＝90°，故选项B正确．
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
10．已知，如图在直角坐标系中，点A在y轴上，点A关于直线OB对称点D恰好在BC上，点E与点O关于直线BC对称，则∠OED的度数为（ ）
A．35°B．30°C．25°D．20°
【分析】先根据平行线的性质求出∠AOB的度数，由直角三角形的性质得出∠BOC的度数，再根据点A关于直线OB的对称点D恰好在BC上得出OB是线段AD的垂直平分线，故可得出∠BOD的度数，进而得出∠DOC的度数，由点E与点O关于直线BC对称可知BC是OE的垂直平分线，故可得出∠DOC＝∠OED．
解：连接OD，
∵BC⊥x轴于点C，∠OBC＝35°，
∴∠AOB＝∠OBC＝35°，∠BOC＝90°﹣35°＝55°，
∵点A关于直线OB的对称点D恰好在BC上，
∴OB是线段AD的垂直平分线，
∴∠BOD＝∠AOB＝35°，
∴∠DOC＝∠BOC﹣∠BOD＝55°﹣35°＝20°，
∵点E与点O关于直线BC对称，
∴BC是OE的垂直平分线，
∴∠DOC＝∠OED＝20°．
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键．
二、填空（每题2分，共16分）
11．若（a﹣2）0＝1，则a需要满足的条件是 a≠2 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质得出答案．
解：若（a﹣2）0＝4，则a需要满足的条件是：a≠2．
故答案为：a≠2．
【点评】此题主要考查了零指数幂的定义，正确把握定义是解题关键．
12．工程建筑中经常采用三角形的结构，如图的屋顶钢架，其中的数学道理是 三角形具有稳定性 ．
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
解：工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，是需要记忆的内容．
13．点A（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标是 （2，1） ．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案．
解：点A（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标是（4，
故答案为：（2，1）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
14．若a+b＝﹣1，则a2+2ab+b2＝ 1 ．
【分析】根据完全平方公式直接计算即可．
解：∵a+b＝﹣1，
∴a2+7ab+b2
＝（a+b）2
＝（﹣5）2
＝1．
故答案为：8．
【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特征是解题关键．
15．已知等腰三角形的周长为20，其中一边的长为6，则底边的长为 8或6 ．
【分析】由于长为6的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论．
解：当腰为6时，另一腰也为6，
∵4+6＝12＞8，
20﹣12＝4
∴三边能构成三角形．
底边的长为8，
当底为6时，腰为（20﹣8）÷2＝7，
∵5+7＞6，
∴三边能构成三角形．
故答案为：4或6．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
16．如图，已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，若DE＝2，AE＝3 5 ．
【分析】根据角平分线的定义可得∠BCD＝∠DCE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BCD＝∠CDE，然后求出∠DCE＝∠CDE，再根据等角对等边可得CE＝DE，然后根据AC＝AE+CE代入数据计算即可得解．
解：∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝∠DCE，
∵DE∥BC，
∴∠BCD＝∠CDE，
∴∠DCE＝∠CDE，
∴CE＝DE，
∵DE＝2，AE＝3，，
∴AC＝AE+CE＝5+2＝5．
故答案为：6．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并求出CE＝DE是解题的关键．
17．已知a2x＝2，则a6x＝ 8 ．
【分析】先根据幂的乘方得出a6x＝（a2x）3，再代入求出答案即可．
解：∵a2x＝2，
∴a2x
＝（a2x）3
＝23
＝8．
故答案为：3．
【点评】本题考查了幂的乘方，能根据幂的乘方得出a6x＝（a2x）3是解此题的关键．
18．如图，长方形ABCD中，AB＝4，以长方形的顶点D为坐标原点，DC边所在的直线为x轴建立如图所示坐标系，使得△PAB、△PBC、△PDC、△PAD均为等腰三角形．
请写出一个符合的点P坐标： （2，1） ；满足条件的点P共有 5 个．
【分析】设直线l交AD于点E，交BC于点F，先确定E（0，1），F（4，1），则点P的纵坐标为1，再分三种情况讨论，一是点P为EF的中点，则P（2，1）；二是△PAB是等腰三角形，且PB＝AB＝4，点P在线段EF上，由勾股定理得PF＝＝，则PE＝4﹣，所以P（4﹣，1）；若点P在线段EF的延长线上，则P（4+，0）；三是△PAB是等腰三角形，且PA＝AB＝4，点P在线段EF上，则PE＝＝，此时P（，1），若点P在线段FE的延长线上，则P（，1），于是得到问题的答案．
解：∵直线l是矩形ABCD的对称轴，且与AC，∴直线l垂直平分AD且垂直平分BC，
∴直线l上的所有点P都满足PA＝PC、PB＝PC，
∴△PAD和△PBC是等腰三角形，且只要△PDC是等腰三角形，
∴如图1，设直线l交AD于点E，
∵A（0，2），2），0），4），
∴E（0，1），4），
∴点P的纵坐标为1，
当点P为EF的中点时，则点P在矩形ABCD的另一条对称轴上，
∴PA＝PB，PC＝PD，
∴△PAB和△PDC都是等腰三角形，
此时，P（2；
如图3，△PAB是等腰三角形，点P在线段EF上，
∵∠PFB＝90°，BF＝CF＝，EF＝7，
∴PF＝＝＝，
∴PE＝4﹣，
∴P（4﹣，3）；
若点P在线段EF的延长线上，则PE＝4+，
∴P（4+，5）；
如图3，△PAB是等腰三角形，点P在线段EF上，
∵∠AEP＝90°，AE＝1，
∴PE＝＝＝，
∴P（，6），
若点P在线段FE的延长线上，则P（，
综上所述，满足条件的点P共有5个，
故答案为：（2，7），5．
【点评】此题重点考查图形与坐标、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，根据勾股定理正确地求出PE或PF的长是解题的关键．
三、解答（19、20题每小题8分，21、22、25、27、28每题5分，23题6分，24题4分，26题3分）
19．计算：
（1）3x2y•（﹣2xy3z）；
（2）（9x3﹣12x2+6x）÷3x．
【分析】（1）根据单项式乘以单项式的运算法则求解即可；
（2）根据多项式除以单项式的运算法则求解即可．
解：（1）3x2y⋅（﹣4xy3z）＝﹣6x6y4z；
（2）（9x6﹣12x2+6x）÷5x
＝9x3÷2x﹣12x2÷3x+7x÷3x
＝3x5﹣4x+2．
【点评】本题考查单项式乘以单项式、多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解答的关键．
20．分解因式：
（1）4m2﹣n2；
（2）3a2﹣6ab+3b2．
【分析】（1）利用平方差公式进行分解，即可解答；
（2）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可解答．
解：（1）4m2﹣n5
＝（2m+n）（2m﹣n）；
（2）7a2﹣6ab+7b2．
＝3（a3﹣2ab+b2）
＝8（a﹣b）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
21．已知3x2﹣x﹣1＝0，求代数式（2x+3）（2x﹣3）+2x（x﹣1）
【分析】利用多项式乘多项式、多项式乘单项式进行计算，然后再合并同类项，化简后，再代入求值即可．
解：原式＝4x2﹣4+2x2﹣7x
＝6x2﹣8x﹣9，
∵3x6﹣x﹣1＝0，
∴7x2﹣x＝1，
∴原式＝8（3x2﹣x）﹣2
＝2×1﹣6
＝﹣7．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是关键．
22．画图题：
（1）请画出△ABC关于直线x＝﹣1对称的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出A，B′，C′三点的坐标：
A′（ 0，3 ），B′（ 1，1 ），C′（ ﹣3，﹣2 ）；
（3）△A′B′C′的面积为 5.5 ．
【分析】（1）首先找出A、B、C三点关于直线x＝﹣1的对称点，再顺次连接即可；
（2）根据图形写出坐标即可；
（3）把三角形的面积考查矩形的面积截取周围的三个三角形面积即可．
解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；
（2）A′（0，3），2）．﹣2）．
故答案为：0，5；1，1；﹣8；
（3）△A′B′C′的面积＝4×5﹣×3×6﹣×3×8＝5.5．
故答案为：7.5．
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣轴对称变换，关键是正确找出关键点的对称点，再画出图形．
23．数学课上，王老师布置如下任务：如图，已知∠MAN＜45°，在射线AN上求作点C，使∠ACB＝2∠A．
下面是小路设计的尺规作图过程．
作法：①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；
②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C
根据小路设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：连接BD，BC，
∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴DA＝ DB ，（ 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ）（填推理的依据）
∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A．
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠ BDC ，（ 等边对等角 ）（填推理的依据）
∴∠ACB＝2∠A．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解决问题即可．
解：（1）补全的图形如图所示；
（2）连接BD，BC，
∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A．
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠BDC（等边对等角），
∴∠ACB＝2∠A．
故答案为：DB；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等边对等角．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．已知：如图，点A、E、F、C在同一条直线上，DF＝BE，AD∥BC．
（1）求证：△ADF≌△CBE．
（2）若AE＝3，求CF的长．
【分析】（1）由平行线性质可得∠A＝∠C，由“AAS”可证△ADF≌△CBE；
（2）由△ADF≌△CBE可得AF＝CE，即可得结论．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，且∠B＝∠D，
∴△ADF≌△CBE（AAS）；
（2）∵△ADF≌△CBE（已证），
∴AF＝CE
∴AF﹣EF＝CE﹣EF
∴AE＝CF，
∵AE＝3，
∴CF＝3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
25．如图，在Rt△ABC中，DE垂直平分AC，垂足为E，连接CD，若ED＝1，DC＝2
【分析】由角平分线的性质可求出DB，由线段垂直平分线的性质，可求出AD，由AB＝AD+DB即可求出AB的长．
解：∵CD为∠ACB的角平分线，∠B＝90°，ED＝1，
∴DB＝DE＝1，∠DCE＝∠DCB，
∵DE垂直平分AC，DC＝7，
∴DA＝DC＝2，
∴AB＝AD+DB＝2+7＝3．
【点评】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，掌握相关性质是解题的关键．
26．阅读材料：
我们已经学习过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．对于多项式x2+2x+2，虽然不能写成某个代数式的平方形式，但是可以写成x2+2x+1+1＝（x+1）2+1，即一个含x的代数式的平方与另一个数的和的形式．更一般的，对于二次项系数不为1的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），它总是可以化为a（x+h）2+k的形式，我们把这种代数式的恒等变形叫做配方．例如：2x2+4x﹣3＝2（x2+2x+1）﹣5＝2（x+1）2﹣5，这就是一个配方的过程．根据以上内容回答下列问题：
（1）将代数式x2﹣4x+1配方；
（2）已知4a2+4（a﹣b）+b2+5＝0，那么ab的值为 ﹣1 ．
【分析】（1）原式变形后，利用完全平方公式配方即可；
（2）已知等式整理后，利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质求出a与b的值，即可求出ab的值．
解：（1）x2﹣4x+6
＝x2﹣4x+82﹣22+1
＝（x﹣2）4﹣3；
（2）∵4a4+4（a﹣b）+b2+7＝0，
∴4a6+4a+1+b6﹣4b+4＝2，
∴（2a+1）7+（b﹣2）2＝7，
∴2a+1＝7，b﹣2＝0，
解得a＝﹣，b＝2，
∴ab＝﹣×2＝﹣7．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了配方法的应用，完全平方公式，非负数的性质的灵活应用，要巧用公式进行灵活变形．
27．如图，在△ABC中，D是BC的中点，得到线段AB′，作CE∥AB交直线AB′于点E．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段AB，AE，CE之间的数量关系
【分析】（1）依照题意补全图形；
（2）由“ASA”可证△BDF≌△CDE，可得CE＝BF，DF＝ED，由“AAS”可证△ADG≌△ADH，可得DG＝DH，AG＝AH，由HL可证Rt△DFG≌Rt△DEH，可得GF＝EH，可得结论．
解：（1）补全图形如图所示：
（2）AB＝AE+CE，理由如下：
如图，连接ED，过点D作DG⊥AB于G，
∵CE∥AB，
∴∠B＝∠BCE，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
又∵∠BDF＝∠CDE，
∴△BDF≌△CDE（ASA），
∴CE＝BF，DF＝ED，
∵将线段AB沿AD所在直线翻折，
∴∠BAD＝∠B'AD，
又∵∠AFD＝∠AED＝90°，AD＝AD，
∴△ADG≌△ADH（AAS），
∴DG＝DH，AG＝AH，
又∵DE＝DF，
∴Rt△DFG≌Rt△DEH（HL），
∴GF＝EH，
∴AF＝AE，
∴AB＝BF+AF＝CE+AE．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形W，给出如下定义：图形W关于经过点（m，0）且垂直于x轴的直线的对称图形为W'，则称点P是图形W关于点（m，0）的“关联点”．
（1）若点P是点Q（3，2）关于原点的“关联点”，则点P的坐标为 （﹣3，2） ；
（2）如图，在△ABC中，A（1，1），B（6，0），C（4，﹣2）．
①点C关于x轴的对称点为C'，将线段BC'沿x轴向左平移d（d＞0）个单位长度得到线段EF（E，F分别是点B，C'的对应点）（1，0）的“关联点”，则d的取值范围是 4＜d≤6． ．
②已知点M（m+1，0）和点N（m+3，0），若线段MN上存在△ABC关于点（m，0），求m的取值范围．
【分析】（1）根据“关联点”的定义可知P，Q关于原点对称，由此即可解决问题．
（2）①作出△ABC关于直线x＝1对称的△A′B′C′，由题意平移后的线段EF与△A′B′C′的边有两个交点时满足条件，利用图象法解决问题即可．
②作出△ABC关于直线x＝m的对称的△A′B′C′，如果线段MN与△A′B′C′有交点，那么线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，由此利用图象法解决问题即可．
解：（1）∵点P是点Q（3，2）关于原点的关联点，
∴P，Q关于原点对称，
∴P（﹣5，2），
故答案为（﹣3，2）．
（2）①如图1中，
当d＝4时，线段BC′平移到HG位置，4）的“关联点”，
当d＝6时，线段BC′平移到NM位置，0）的“关联点”，
观察图象可知，满足条件的d的范围为：8＜d≤6
故答案为：4＜d≤5．
②如图2中，当m＝3时，2）的“关联点”，
如图3中，当m＝5时，3）的“关联点”，
如图4中，当m＝7时，4）的“关联点”，
如图5中，当m＝9时，2）的“关联点”，
观察图象可知满足条件的m的为：3≤m≤5或5≤m≤9．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称，中心对称，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会性质特殊点解决问题，属于中考压轴题．