2025_2026学年4.乘法公式与因式分解——初中数学中考一轮分层训练中考一轮复习 [含解析]

这是一份2025_2026学年4.乘法公式与因式分解——初中数学中考一轮分层训练中考一轮复习 [含解析]，共25页。试卷主要包含了基础题，能力题，拓展题等内容，欢迎下载使用。
1． 下列运算正确的是（ ）
A．2m−3m=mB．(3a2)2=9a4C．a2⋅a3=a6D．(x+1)2=x2+1
2．如图，若x为正整数，则表示x+22x2+4x+4−1x+1的值的点落在（ ）
A．段①B．段②C．段③D．段④
3．下列运算正确的是（ ）
A．y−3xy+3x=y2−9x2B．x2⋅x3=x6
C．m+52=m2+25D．2n+3n=5n2
4．将关于x的多项式x2+nx+25因式分解得x+52，则n的值为（ ）
A．10B．−10C．5D．−5
5．用配方法解关于x的一元二次方程x2−4x−8=0，配方后的方程是（ ）
A．(x+2)2=8B．(x−2)2=8C．(x+2)2=12D．(x−2)2=12
6．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2−x−1=x(x−1)−1B．x2−1=(x−1)2
C．x2−x−6=(x−3)(x+2)D．x(x−1)=x2−x
7．因式分解：m2﹣m= ．
8．化简：(5+2)⋅(5−2) = ．
9．已知a2−b2=12，a+b=2，则a−b= ．
10．先化简，再求值：(1+3x−3)÷x2−9x2−6x+9，其中x=6.
二、能力题
11．下列运算正确的是（ ）
A．1x+12x=23xB．2y2x⋅x4y6=12y4
C．a+ba−b=b2−a2D．a+b2=a2+b2
12．如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图2所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a（a﹣b）＝a2﹣ab
13．若(x−3)2=x2+kx+9，那么k的值是（ ）
A．−6B．−3C．6D．−9
14．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而设计的几何图形．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（ ）
A．a+b=5B．ab=8C．a2+b2=12D．a−b=2
15． 如图，坪山中心广场拟开发一块新花坛，花坛如阴影部分所示。点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，已知BG=8，图中阴影部分面积为6。则S1+S2=（ ）
A．20B．35C．40D．50
16．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①，将A，B并排放置后构造新的正方形如图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为14和134，则正方形A，B的面积之和为 ．
17．设x1，x2为一元二次方程 12x2+3x+2=0 的两根，则x1−x22的值为 .
18．计算5−25+2= ．
19．因式分解 m3−4m = ．
20． 转化是解决数学问题的一种重要策略，可将不规则的图形转化为规则图形，达到化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉的目的.如图，是两个部分重合的等腰直角三角形，腰长分别为a，b(a>b)，a+b=7，a-b=2，阴影部分面积分别为S1，S2，则S1−S2= .
21．数学探究：
（1）例：代数式（a+b）2表示a、b两数和的平方，代数式（a+b）（a-b）表示a、b两数的和与这两个数的差的积；仿照上例填空：代数式a2-b2表示 ；
（2）试计算a、b取不同数值时，a2-b2及（a+b）（a-b）的值，填入下表（侯老师已经算了三个，请把剩余的值补充完整）：
（3）请你再任意给a、b各取一个数值，并计算a2-b2及（a+b）（a-b）的值：
当a= ，b= 时，a2-b2= ，（a+b）（a-b）= .
（4）我的发现：a2-b2 （a+b）（a-b）；（填“”、“＜”或“=”）
（5）用你发现的规律计算：78.352-21.652.
22．（1）若a−b=2，ab=1，求a2+b2的值．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（2）已知△ABC中，∠C=90°，分别以AC、BC边向外侧作正方形．如图所示，设AD=6，两正方形的面积和为20，求△ABC的面积．
三、拓展题
23．探究题：
【问题情景】
（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：
x2−6x+9=___________；25x2+10x+1=__________；4x2+12x+9=___________；
【探究发现】
（2）观察上述三个多项式的系数，有−62=4×1×9，102=4×25×1，122=4×4×9，于是小明发现：若多项式ax2+bx+ca>0,c>0是完全平方式，那么系数a、b、c之间存在的关系式为__________；
【问题解决】
（3）若多项式k+1x2−2k+6x+k+6是一个完全平方式，利用（2）中的结论求出k的值．
24．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
甲：x2−xy+4x−4y
=x2−xy+4x−4y（分成两组）
=xx−y+4x−y（直接提公因式）
=x−yx+4．
乙：a2−b2−c2+2bc
=a2−b2+c2−2bc（分成两组）
=a2−b−c2（直接运用公式）
=a+b−ca−b+c．
请你在他们的解法的启发下，解答下面各题：
（1）因式分解：a2+b2−1−2ab．
（2）已知a−b=3，b−c=−4，求式子a2−ac−ab+bc的值．
（3）已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2+b2+2c2=2ac+2bc，试判断△ABC的形状，并说明理由．
答案解析部分
1．【正确答案】B
解：A：2m-3m=-m，所以A不正确；
B：（3a2）2=9a4，所以B正确；
C：a2a3=a5，所以C不正确；
D：(x+1)2=x2+2x+1，所以D不正确。
故B。
【分析】根据合并同类项法则，可得出A不正确；根据积的乘方以及幂的乘方，可得出B正确；根据同底数幂的乘法，可得出C不正确；根据完全平方公式可得D不正确，进而得出答案即可。
2．【正确答案】B
解：∵(x+2)2x2+4x+4−1x+1=(x+2)2(x+2)2−1x+1=1−1x+1=xx+1．
又∵x为正整数，∴12≤xx+1＜1，故表示(x+2)2x2+4x+4−1x+1的值的点落在②．
故选B．
【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再根据x为正整数化简即可求出答案.
3．【正确答案】A
解：A、y−3xy+3x=y2−9x2，故本选项符合题意；
B、x2⋅x3=x5≠x6，故本选项不符合题意；
C、m+52=m2+10m+25≠m2+25，故本选项不符合题意；
D、2n+3n=5n≠5n2，故本选项不符合题意.
故A．
【分析】由平方差公式“(a-b)(a+b)=a2-b2”直接计算可判断A选项；由同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可判断B选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断D选项.
4．【正确答案】A
解：∵x+52=x2+10x+25，
又∵原多项式为x2+nx+25，
∴n=10，
故选：A．
【分析】根据完全平方公式去括号，再根据对应项相等即可求出答案.
5．【正确答案】D
解x2−4x−8=0
x2−4x=8
x2−4x+4=8+4
∴(x−2)2=12
故D.
【分析】
根据配方法解方程：先移项得x2−4x=8，再利用完全平方公式配方得到(x−2)2=12，解答即可.
6．【正确答案】C
把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．
A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；
B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；
C、符合因式分解的形式，符合题意；
D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；
故C．
【分析】利用因式分解法的定义对每个选项一一判断即可。
7．【正确答案】m（m﹣1）
解：m2﹣m=m（m﹣1）
故答案是：m（m﹣1）．
【分析】式子的两项含有公因式m，提取公因式即可分解．
8．【正确答案】1
解：原式=(5)2−22=5−4=1.
故1．
【分析】利用平方差公式展开计算即可。
9．【正确答案】6
解：∵a2−b2=12 ，
∴a+ba−b=12，
∵a+b=2 ，
∴2(a-b)=12，
∴a-b=6.
故6.
【分析】将第一个等式的左边利用平方差公式分解因式后，将a+b=2整体代入可求出a-b的值.
10．【正确答案】解：原式=xx−3×x−32x+3x−3
=xx+3
当x=6时
原式=66+3=23
【分析】根据分式的运算法则，结合平方差公式及完全平方公式化简，再将x=6代入即可求出答案.
11．【正确答案】B
解：A．1x+12x=22x+12x=32x≠23x，运算错误，不合题意；
B．2y2x⋅x4y6=12y4，运算正确，符合题意；
C．a+ba−b=a2−b2≠b2−a2，运算错误，不合题意；
D．a+b2=a2+2ab+b2≠a2+b2，运算错误，不合题意；
故选：B.
【分析】根据分式的加减法，分式的乘除法，平方差公式以及完全平方公式等计算求解即可.
12．【正确答案】A
解：图1阴影部分面积：a2﹣b2，
图2阴影部分面积：（a+b）（a﹣b），
由此验证了等式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故选：A．
【分析】根据正方形，矩形面积即可求出答案.
13．【正确答案】A
解：由题意可得：
(x−3)2=x2+6x+9
∴k=6
故A
【分析】将括号展开即可求出答案.
14．【正确答案】A
解：如图，
∵大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，
∴12ab×4+(b−a)2=13，(b−a)2=1，
∴ａ2+ｂ2＝13，ａ2+ｂ2−2ab=1，
∴13−2ab=1，ａ+ｂ2=4ab+1，
∴2ab=12
∴ab=6，ａ+ｂ2=25
∴b+a=5或b+a=−5（舍），ab=6，故Ｂ错误，Ａ正确.
∴ａ2+ｂ2＝2ab+1＝12+1＝13，故Ｃ错误.
∵(b−a)2=1，
∴a−b=±1，故Ｄ错误.
故A．
【分析】根据大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，得12ab×4+(b−a)2=13，(b−a)2=1，进一步根据完全平方公式变形得ａ+ｂ2=25，ab=6，进一步得b+a=5，a−b=±1，ａ2+ｂ2＝2ab+1＝12+1＝13即可得答案.
15．【正确答案】C
解：设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b
由题意可得，a+b=BG=8，12ab=S阴影部分=6，即ab=12
∴S1+S2=a2+b2=a+b2−2ab=40
故C
【分析】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，根据边之间的关系可得a+b=8，根据三角形面积可得ab=12，再根据正方形面积，结合完全平方公式即可求出答案.
16．【正确答案】72
解：设正方形 A，B 的边长分别为a,b，则
图①中阴影部分面积为a2−b2−2b(a−b)=a2−2ab+b2=14
图②中阴影部分面积为(a+b)2−a2−b2=134
∴a2+b2+2ab−a2−b2=134
∴2ab=134
∴a2+b2=14+2ab=14+134=72．
故72
【分析】设正方形 A，B 的边长分别为a,b，由几何图形得，a2−b2−2b(a−b)=a2−2ab+b2=14，(a+b)2−a2−b2=134，联立化简即可求出答案.
17．【正确答案】20
解：∵x1，x2为一元二次方程 12x2+3x+2=0
∴x1+x2=−ba=6，x1x2=ca=4
∴x1−x22=x1+x22−4x1x2=36−16=20
故20
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得x1+x2=−ba=6，x1x2=ca=4，再根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
18．【正确答案】1
解：5−25+2
=52−22
=5−4
=1
故1
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、平方差公式等知识。
首先观察发现，需要计算的式子和平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，利用该公式先变形，然后按照二次根式的混合运算步骤进行计算即可。
19．【正确答案】m（m+2）（m-2）
原式=m（m2-4）=m（m+2）（m-2）
【分析】先用提公因式法分解，然后利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止。
20．【正确答案】7
解：设重合部分面积为S，则S1−S2=(S1+S)−(S2+S)=12a2−12b2 ，由a+b=7，a−b=2，根据平方差公式12(a2−b2)=12(a+b)(a−b)=12×7×2=7.
故7 .
【分析】通过设重合部分面积，将S1−S2转化为两个等腰直角三角形面积之差，再用平方差公式结合已知a+b、a−b的值计算.
21．【正确答案】（1）a、b两数的平方的差
（2）-27；24；-27
（3）2；1；3；3
（4）=
（5）解： 78.352-21.652 =
（78.35-21.65）×（78.35+21.65）
=56.70×100
=5670.
（1）根据代数式意义知， 代数式a2-b2表示 ：a、b两数的平方的差，
故a、b两数的平方的差.
（2）当 a=5，b=1时 ， （a+b）（a-b） =（5+1）（5-1）=24；
当a=-3，b=-6时 ， a2-b2 =（-3）2-（-6）2=-27，
（a+b）（a-b） =【-3+（-6）】【-3-（-6）】=-9×3=-27；
故-27；24；-27.
（3）当a=2，b=1时， a2-b2= 22-12=3， （a+b）（a-b）= （2+1）（2-1）=3；
故2；1；3；3.
（4） a2-b2 = （a+b）（a-b） ，
故=.
【分析】（1）根据代数式的意义作答.
（2）将a、b代入求值即可.
（3）任意取一组a、b的值代入 a2-b2及（a+b）（a-b） 求值即可.
（4）根据（2）（3）得出结论 a2-b2=（a+b）（a-b）.
（5）根据a2-b2=（a+b）（a-b）计算即可.
22．【正确答案】解：（1）∵a−b=2，ab=1，
∴a−b2=a2−2ab+b2=4，
∴a2+b2=a−b2+2ab=4+2=6.
（2）设正方形ACGF的边长为a，正方形CDEB的边长为b，
则a+b=6，a2+b2=20，
∵ab=a+b2−a2+b22=62−202=8，
∴36=20+2ab，
∴ab=8，
∴S△ABC=12ab=4．
【分析】（1）根据a−b=2，ab=1利用完全平方公式变形，即可可得答案；
（2）设正方形ACGF的边长为a，正方形CDEB的边长为b，根据题意得出a+b=6，即a2+b2=20，利用完全平方公式变形求出ab的值，即可计算△ABD的面积．
23．【正确答案】（1）x−32；5x+12；2x+32；
（2）b2=4ac；
（3）∵多项式k+1x2−2k+6x+k+6是一个完全平方式，
∴−2k+62=4k+1k+6，
整理得：4k2+24k+36=4k2+28k+24，解得：k=3，
∴k的值为3.
解：（1）x2−6x+9=x−32；25x2+10x+1=5x+12，4x2+12x+9=2x+32
故x−32；5x+12；2x+32．
（2）∵观察上述三个多项式的系数，有−62=4×1×9，102=4×25×1，122=4×4×9，
∴若多项式ax2+bx+ca>0,c>0是完全平方式，那么系数a、b、c之间存在的关系式为：b2=4ac．
故b2=4ac．
【分析】(1)本题考察完全平方公式的逆用（因式分解），解题时观察每个多项式的结构，判断是否符合完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2的形式。对于x2−6x+9，x是a，3是b，中间项-6x是−2×x×3，因此分解为(x−3)2；对于25x2+10x+1，5x是a，1是b，中间项10x是2×5x×1，因此分解为(5x+1)2；对于4x2+12x+9，2x是a，3是b，中间项12x是2×2x×3，因此分解为(2x+3)2。
(2)本题考察对完全平方式系数规律的总结，解题时观察(1)中三个完全平方式的系数关系：第一个多项式中b=−6，a=1，c=9，满足(−6)2=4×1×9；第二个多项式中b=10，a=25，c=1，满足102=4×25×1；第三个多项式中b=12，a=4，c=9，满足122=4×4×9，由此可归纳出完全平方式ax2+bx+c(a>0,c>0)中系数的关系式为b2=4ac。
(3)本题考察完全平方式系数关系的应用和一元二次方程的解法，解题时首先明确多项式(k+1)x2−(2k+6)x+(k+6)是完全平方式，结合(2)中得出的b2=4ac，确定该多项式中a=k+1，b=−(2k+6)，c=k+6；将其代入关系式b2=4ac，得到[−(2k+6)]2=4(k+1)(k+6)；展开方程左边得4k2+24k+36，右边得4(k2+7k+6)=4k2+28k+24；整理方程，移项、合并同类项后得到−4k+12=0，解这个方程即可求出k的值。
24．【正确答案】（1）解：a2+b2−1−2ab
=a2−2ab+b2−1
=a−b2−1
=a−b+1a−b−1
（2）解：a2−ac−ab+bc
=a2−ac+bc−ab
=aa−c+bc−a
=a−ca−b，
∵a−b=3，b−c=−4，
∴a−c=−1，
原式=3×−1=−3。
（3）解：等边三角形，理由如下：
∵a2+b2+2c2=2ac+2bc，
∴a2+b2+2c2−2ac−2bc=0，
∴a2−2ac+c2+b2−2bc+c2=0，
∴a−c2+b−c2=0，
∴a−c=0，b−c=0，
∴a=c=b，
∴△ABC是等边三角形．
【分析】（1）先分组，将a2−2ab+b2利用完全平方公式分解，然后再利用平方差公式分解即可；
（2）先分组，然后分别利用提公因式法提取公因数a和b进行分解，再提取公因式a-c得出分解结果a−ca−b，结合条件求得a−c=−1，最后整体代入求解即可；
（3）整理后，利用完全平方公式分解得出a−c2+b−c2=0，再利用偶次幂的非负数的性质即可得出a=c=b，从而确定△ABC的形状。
（1）解：因式分解：a2+b2−1−2ab
=a2−2ab+b2−1
=a−b2−1
=a−b+1a−b−1；
（2）解：a2−ac−ab+bc
=a2−ac+bc−ab
=aa−c+bc−a
=a−ca−b，
∵a−b=3，b−c=−4，
∴a−c=−1，
原式=3×−1=−3；
（3）解：∵a2+b2+2c2=2ac+2bc，
∴a2+b2+2c2−2ac−2bc=0，
∴a2−2ac+c2+b2−2bc+c2=0，
∴a−c2+b−c2=0，
∴a−c=0，b−c=0，
∴a=c=b，
∴△ABC是等边三角形．a、b的值
当a=5，b=1时
当a=-4，b=2时
当a=-3，b=-6时
a2-b2
24
12

（a+b）（a-b）

12